【模板】矩阵快速幂
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2022-07-10 11:40:55
题目背景 矩阵快速幂 题目描述 给定n*n的矩阵A,求A^k 输入输出格式 输入格式: 第一行,n,k 第2至n+1行,每行n个数,第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素 输出格式: 输出A^k 共n行,每行n个数,第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素,每个元素模10^9+7 说明 n<= ......
题目背景
矩阵快速幂
题目描述
给定n*n的矩阵A,求A^k
输入输出格式
输入格式:
第一行,n,k
第2至n+1行,每行n个数,第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素
输出格式:
输出A^k
共n行,每行n个数,第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素,每个元素模10^9+7
说明
n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000 算法:矩阵快速幂
思路:
一道模板矩阵快速幂
首先理解一下什么是矩阵乘法
比如说f[][]矩阵乘j[][],设答案矩阵为ans[2][2]
则ans[1][1]=f[1][1]*j[1][1]+f[1][2]*j[2][1]+.....+f[1][k]*j[k][1]
ans[1][2]=f[1][1]*j[1][2]+f[1][2]*j[2][2]+.....+f[1][k]*j[k][2]
。
。
。
也就是说ans[a][b]=Σf[a][1~k]的每一个元素乘上j[1~k][b]的每个元素
如图:
任务的一半结束,但还差快速幂
我相信你不会天真到在k=10^12的情况下还o(k)地扫一遍
怎么办??
快速幂来救场
关于快速幂可详见我的另一篇博客
时间降到o(logn);
过了
代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #define rii register int i #define rij register int j #define rik register int k using namespace std; long long x[105][105],zcq[105][105],ls[105][105],n,k,mod=1e9+7; void cf2() { long long ans=0; for(rii=1;i<=n;i++) { for(rij=1;j<=n;j++) { ls[i][j]=zcq[i][j]; } } for(rii=1;i<=n;i++) { for(rij=1;j<=n;j++) { for(rik=1;k<=n;k++) { ans+=(x[i][k]*ls[k][j])%mod; ans=ans%mod; } zcq[i][j]=ans%mod; ans=0; } } } void cf1() { long long ans=0; for(rii=1;i<=n;i++) { for(rij=1;j<=n;j++) { ls[i][j]=x[i][j]; } } for(rii=1;i<=n;i++) { for(rij=1;j<=n;j++) { for(rik=1;k<=n;k++) { ans+=(ls[i][k]*ls[k][j])%mod; ans=ans%mod; } x[i][j]=ans%mod; ans=0; } } } void ksm(long long k) { if(k==0) { return; } if(k%2==0) { cf1(); ksm(k/2); return; } else { cf2(); ksm(k-1); return; } } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&k); for(rii=1;i<=n;i++) { for(rij=1;j<=n;j++) { scanf("%d",&x[i][j]); zcq[i][j]=x[i][j]; } } ksm(k-1); for(rii=1;i<=n;i++) { for(rij=1;j<=n;j++) { printf("%ld ",zcq[i][j]); } printf("\n"); } }
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