在两个排序数组中找到第Ｋ小的数

给定两个有序数组arr1和arr2，再给定一个整数k，返回所有的数中第k小的数。要求时间复杂度O(log(min{M,N}))，额外空间复杂度O(1)。

【基本思路】

　　在解决这道题之前，先解决一个小问题：在两个长度相等的排序数组中找到上中位数。本题也深度利用了这个问题的解法。以下的getUpMedian方法的功能就是，在a1[s1…e1]和a2[s2…e2]两段长度相等的范围上找上中位数。

 def getUpMedian(a1, s1, e1, a2, s2, e2):
        while s1 < e1:
            mid1 = (e1 + s1) // 2
            mid2 = (e2 + s2) // 2
            offset = (e1 - s1 + 1) & 1 ^ 1
            if arr1[mid1] == arr2[mid2]:
                return arr1[mid1]
            elif arr1[mid1] > arr2[mid2]:
                e1 = mid1
                s2 = mid2 + offset
            else:
                s1 = mid1 + offset
                e2 = mid2
        return min(arr1[s1], arr2[s2])

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• 2
• 3
• 4
• 5
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　　假设两个数组，长度较短的数组为shortArr，长度记为lenS；长度较长的数组为longArr，长度记为lenL。那么对于整数k，有以下三种情况： 
　　 
　　1、k < lenS。那么在shortArr中选前k个数，在longArr中也选前k个数，这两段数组中的中位数就是整体的第k个最小。

　　2、k > lenL。对于longArr中的前k-lenS-1个数，都不能满足要求，因为即使它们比shortArr中所有的数都大，也无法达到第k个。longArr中的第k-lenS个数，如果它比shortArr中的所有数都大，那么它就是第k小数，否则，它也不是。对于shortArr中的前k-lenL-1个数，都不能满足要求，因为即使它们比longArr中所有的数都大，也无法达到第k个。shortArr中的第k-lenL个数，如果它比longArr中的所有数都大，那么它就是第k小数，否则，它也不是。如果shortArr[k-lenL-1]和longArr[k-lenS-1]都不是第k小的数，那么shortArr[k-lenL…lenS-1]和longArr[k-LenS…lenL-1]这两段数组 的中位数就是整体的第k小数。

　　3、lenS < k < lenL。对于longArr中的前k-lenS-1个数，都不能满足要求，因为即使它们比shortArr中所有的数都大，也无法达到第k个。longArr中的第k-lenS个数，如果它比shortArr中的所有数都大，那么它就是第k小数，否则，它也不是。对于longArr中的第k个数以后部分，也都不能满足要求。如果longArr[k-lenS-1]不是第k小数，那么shortArr[0…lenS-1]和longArr[k-lenS…lenL-1]这两段数组 的中位数就是整体的第k小数。

【代码实现】

#python3.5
def findKthNum(arr1, arr2, k):
    if arr1 == None or arr2 == None:
        raise Exception("Your arr is invalid!")
    if k < 1 or k > (len(arr1) + len(arr2)):
        raise Exception("K is invalid!")
    longs = arr1 if len(arr1) > len(arr2) else arr2
    shorts = arr1 if len(arr1) <= len(arr2) else arr2
    l = len(longs)
    s = len(shorts)
    if k <= s:
        return getUpMedian(shorts, 0, k-1, longs, 0, k-1)
    if k > l:
        if longs[k-s-1] >= shorts[-1]:
            return longs[k-s-1]
        if shorts[k-l-1] >= longs[-1]:
            return shorts[k-l-1]
        return getUpMedian(longs, k-s, l-1, shorts, k-l, s-1)
    if longs[k-s-1] >= shorts[-1]:
        return longs[k-s-1]
    print(222)
    return getUpMedian(longs, k-s, k-1, shorts, 0, s-1)