【Lintcode】1448. Card Game

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/card-game/description

给定$n$个物品，其价值为数组$A$，成本为数组$B$，问在给定总预算$c$和最小总价值$p$的情况下，有多少个组合可以使得总成本是小于$c$，并且总价值是大于$p$的。题目保证每个物品的价值和成本都是非负的（注意，这里可以是$0$）。答案模$10^9+7$后返回。

思路是动态规划。设$f[i][j][k]$是前$i$个物品（从$0$开始计数），总价值大于等于$j$并且成本恰好等于$k$的方案数。那么根据第$i$个物品是否选，可以分为两种情况，如果不选，那么方案数就是$f[i-1][j][k]$；如果选，那么方案数就是$f[i-1][\max \{0,j-A[i]\}][k-B[i]]$，所以就有：$$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]+f[i-1][\max \{0,j-A[i]\}][k-B[i]]$$边界条件，考虑第$0$个物品是否选。如果不选，则$f[0][0][0]=1$，别的$f[0][.>0][0]=0$；如果选，则$f[0][.\le A[0]][B[i]]=1$，所以算$f[0]$的时候，要将两种情况加总。代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param n:           The number of cards
     * @param totalProfit: The totalProfit
     * @param totalCost:   The totalCost
     * @param a:           The profit of cards
     * @param b:           The cost of cards
     * @return: Return the number of legal plan
     */
    public int numOfPlan(int n, int totalProfit, int totalCost, int[] a, int[] b) {
        // Write your code here
        int MOD = (int) (1E9 + 7);
        
        // dp[i][j][k]是从前i + 1个物品里选，价值大于等于j的且成本恰好等于k的组合总数
        int[][][] dp = new int[n][totalProfit + 2][totalCost];
        
        // 如果第0个物品不选
        dp[0][0][0] = 1;
        for (int i = 0; i <= Math.min(a[0], totalProfit + 1); i++) {
        	// 这里要注意b[0] = 0的情况，所以要写成 += 1
            dp[0][i][b[0]] += 1;
        }
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= totalProfit + 1; j++) {
                for (int k = 0; k < totalCost; k++) {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    if (k >= b[i]) {
                        dp[i][j][k] += dp[i - 1][Math.max(0, j - a[i])][k - b[i]];
                    }
                    
                    dp[i][j][k] %= MOD;
                }
            }
        }
        
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < totalCost; i++) {
            res += dp[n - 1][totalProfit + 1][i];
            res %= MOD;
        }
        
        return res;
    }
}

时空复杂度$O(npc)$。

可以用滚动数组优化。代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param n:           The number of cards
     * @param totalProfit: The totalProfit
     * @param totalCost:   The totalCost
     * @param a:           The profit of cards
     * @param b:           The cost of cards
     * @return: Return the number of legal plan
     */
    public int numOfPlan(int n, int totalProfit, int totalCost, int[] a, int[] b) {
        // Write your code here
        int MOD = (int) (1E9 + 7);
        // dp[i][j][k]是从前i + 1个物品里选，价值大于等于j的且成本恰好等于k的组合总数
        int[][][] dp = new int[2][totalProfit + 2][totalCost];
        
        dp[0][0][0] = 1;
        for (int i = 0; i <= Math.min(a[0], totalProfit + 1); i++) {
            dp[0][i][b[0]] += 1;
        }
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= totalProfit + 1; j++) {
                for (int k = 0; k < totalCost; k++) {
                    dp[i & 1][j][k] = dp[i - 1 & 1][j][k];
                    if (k >= b[i]) {
                        dp[i & 1][j][k] += dp[i - 1 & 1][Math.max(0, j - a[i])][k - b[i]];
                    }
                    
                    dp[i & 1][j][k] %= MOD;
                }
            }
        }
        
        int res = 0;
		for (int i = 0; i < totalCost; i++) {
            res += dp[n - 1 & 1][totalProfit + 1][i];
            res %= MOD;
        }        

        return res;
    }
}

时间复杂度不变，空间$O(pc)$。

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