求1到n里面约数最多的数的约数个数

题目:求1到n里面约数最多的数的约数个数

分析:首先明白一个数的约数的求法。

根据约数和定理:对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个，

暴力算出每一个数的约数的个数，超时！

根据唯一分解定理，我们知道每一个数都可以用质因子的积表示，而约数的个数只与指数有关！

我们知道pn>...>p3>p2>p1，那么假设我们存在某一个ak>a1 那么我们交换pk与p1的指数，显然约数个数不变，但是数变小了！！！

也就是说对于任何n,m如果pn>pm那么an<am 要好一些，是不是最优的，不确定！但是在已经为我们淘汰了许多了。

我们枚举每一个质因子的质数，保证其指数递减。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int p[20] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51};
ll ans,n;

void dfs(int pos,ll num,ll sum,int len)//当前枚举p的位置，约数个数，数sum,前一个质因子的指数最大值
{
    if (sum>n) return ;
    if (sum<=n) ans=max(ans,num);
    for (int i=1;i<=len;i++) {
        ll res=pow(p[pos],i);
        if (sum>n/res) break;//注意不要用sum*res>n，炸long long
        dfs(pos+1,num*(i+1),sum*(res),i);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    ans=0;
    dfs(1,1,1,30);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}