神经网络（一）—— 单层感知机

感知机

介绍

感知机是一个二类分类的线性分类模型，用来做分类的，类别用+1和-1表示。

样本中的各个特征组成了空间中的不同的点，点被分成两类，+1和-1。我们的目的就是找到一个超平面将这两类点分开。超平面可以用wx+b表示，或者将b改写成$w_0$w0​，将x的第一列加上偏置项（全1）。那么我们就可以用wx来表示这个超平面。将样本数据x代入，若所得wx>0,则说明该点在此超平面上方，<0则说明在此超平面下方。大于0时我们将输出值设置为1，小于0时我们将输出值设置为0。这个操作用数学来表达就是
$f(x)=sign(wx+b)$f(x)=sign(wx+b)

$sign(x)=\begin{cases} +1,x\geq0\\ -1,x<0 \end{cases}$sign(x)={+1,x≥0−1,x<0​

一开始的w是随便定的，所以我们要不断地调整w，以使得输出值与样本原有的分类值相同，这就代表我们成功地训练出了w。

当然这一切都有个前提，那就是我们的样本本身是线性可分的，也就是说我们可以用一个超平面将不同类别的数据点分隔在两边。

比如对于异或问题，单层感知机是不能解决的。如果你把（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四个点在坐标轴上画出来（其中00和11为1，01和10为-1），你就会发现无法画一条直线将两类点分开，因为他们线性不可分，单层感知机无法解决。

损失函数

我们不断修改w的值来修正输出值以符合原有类别，这个过程可以解释为不断减少误分类点的个数的过程。在空间中，点$x_0$x0​到超平面$wx+b$wx+b的距离有如下公式：
$d = \frac{|wx_0+b|}{||w||}$d=∣∣w∣∣∣wx0​+b∣​

我们假设$x_0$x0​是一个误分类的点，那么公式就可以转化为：
$d=\frac{-y_0(wx_0+b)}{||w||}$d=∣∣w∣∣−y0​(wx0​+b)​
就是去个绝对值，因为$y_0$y0​是取正负一。

假设所有误分类的点都在集合M中，那么所有误分类的点到超平面的距离之和就可以写成
$-\frac1{||w||}\sum_{x_i\in M} y_i(wx_i+b)$−∣∣w∣∣1​xi​∈M∑​yi​(wxi​+b)
我们就是要让这个值化为0，也就是说所有点都分对了。

于是损失函数就是这个
$L(w,b)=-\sum_{x_i\in M} y_i(wx_i+b)$L(w,b)=−xi​∈M∑​yi​(wxi​+b)
或者
$L(w)=-\sum_{x_i\in M}y_i(wx_i)$L(w)=−xi​∈M∑​yi​(wxi​)

梯度下降

我们对损失函数中的w求导可得
$\nabla L(w)=-\sum_{x_i\in M}y_ix_i$∇L(w)=−xi​∈M∑​yi​xi​
w的迭代函数就为
$w:=w+\eta yx$w:=w+ηyx
若我们将M扩展为所有点，则迭代公式还可以改写成
$w:=w+\eta (y-t)x$w:=w+η(y−t)x
其中$\eta$η代表学习率，t代表上一次的输出(分类)结果。

简单实现

# encoding:utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 输入数据
X = np.array([[1,3,3],
             [1,4,3],
             [1,1,1],
             [1,0,2]])
Y = np.array([[1],
              [1],
              [-1],
              [-1]])

# 权值初始化到-1~1
W = (np.random.random([3,1])-0.5)*2
# 学习率
lr = 0.1
# 临时输出
O = 0

# 更新权值
def update():
    global X,Y,W,lr
    O = np.sign(np.dot(X,W))
    W_C = lr*(X.T.dot(Y-O))/X.shape[0]
    W = W + W_C

# 迭代
for i in range(100):
    update()
    O = np.sign(np.dot(X,W))
    if(O == Y).all():
        break

# 正样本
x1 = [3,4]
y1 = [3,3]
# 负样本
x2 = [1,0]
y2 = [1,2]
# 计算斜率和截距
k = -W[1]/W[2]
b = -W[0]/W[2]
plt.scatter(x1,y1,c='b')
plt.scatter(x2,y2,c='g')

xdata = (0,5)
plt.plot(xdata,k*xdata+b,'r')
plt.show()