数学思想方法揭秘-2(原创)

作者：王国波 

接前文数学思想方法揭秘-1，这篇是小学、初中、高中的几道数学题，都是我最近两三年利用业余时间教家里孩子和其他孩子做的题，有小、初、高的学生，绝大多数是奥数或其他类型的数学竞赛题。当时没注意保存原题和解题过程草稿纸，手机图片也清掉了，只有少数题还能找到当时的纸张。以后注意保存收集，可以出几本小、初、高真材实料的数学思维训练书籍。在数学思想方法揭秘-3中将讲述我对这些题的解题思维过程，当时的所思所想，主要是在思维过程中如何运用数学思想方法和解题策略来探索解题突破口和解题方法。

这次就用这少数几道题来演示下思维过程，管中窥豹，也兑现我对一些家长说过要写几篇数学思想启蒙的文章。让广大家长明白我们的教育问题：几乎每门功课都缺少思想方法的引导和启蒙，包括培训机构。没有思想或没有正确的思想方法论，就是没有灵魂，有知识没文化，有知识就如同新闻看得多但没有思考能力，没掌握正确的思维方式。这种教育怎可能培养出高层次的杰出和创新人才或自学能力强的高素质人才,有也是凤毛麟角般稀少。

如果能改进教材内容，在义务教育阶段的教材中补充数学思想方法的专题教育，这个很容易做到，别搞所谓渗透数学思想方法的教学了，不要把它们当宝贝装高深把它们藏着掖着，挤牙膏漏出一点点的教学了，摆上台面来明确告诉学生数学思想方法这个概念的内涵和外延，成为显学，再用具体的数学题来让学生体会模仿如何运用这些数学思想方法，把思维过程讲清楚，教学也花不了多少课时。如果在教材或统一的教辅中教这些数学思想方法的概念和应用示例，那就名正言顺，学生知道有这些思想，才会自觉的使用它们。道在日用在日常生活中，数学思想方法不神秘，只要教材中有这方面详实的内容，即使老师照本宣科，相信大多数学生至少初中生和小学高年级学生是能通过模仿熏陶进而领悟的。即使老师不教数学思想方法，在初高中阶段，有兴趣的智力中等以上的学生大多也是能通过自学掌握，只要有这方面的好的书籍，真不是难事。这个就是一层窗户纸，老师或过来人指点下再自己做题实战体会，很多学生是能掌握的。如果通过数学学习真掌握了思想方法，至少大学本科大多数课程不需要老师教，只要教材好，图书馆有好书，自学就行，除非那种操作性很强需要手把手示范的才需要。

每个领域每个行业都有大道，都有思考问题的思想方法论，我们从小学到大学，给学生教的是什么东西？除了哲学，但教哲学的老师和哲学书籍对如何将哲学思想和具体学科相结合有教不？自己有感悟不？先前搞哲学的大多是搞过具体科学的，牛顿最后去搞神学，钱学森晚年也搞系统科学、思维方法论、人体科学。这些大师大多是从具体科学上升到哲学，对形而下和形而上都熟悉的，都领悟于心的，他们对理论如何结合实践很有经验，但现在只搞哲学的懂具体科学吗？他们还能发展哲学指导科学吗？可以说当今时代哲学已死，科学当立，还是要科学反哺哲学，直接从形而上入手很难。

  
  这些题绝大多数题和题型先前都没见过，一道是小时候做过的题。做的时候没有答案，都是运用了数学思想方法想出来的，可能有错误。真在数学领域悟道的人，包括数学大师，都是不同程度上领悟了数学思想方法的。即使书上有答案和奥数培训班老师的讲解，也几乎是就事论事，大多是直接告诉解题方法，没有或很少讲清楚讲透解题方法的探索思维过程，很少讲来龙去脉。前文已经提到过，对难题，解题方法从0到1，从无到有，从模糊混沌逐渐到清晰条理规范，从隐到显的思维过程，在探索解题方法中的所思所想和采取的行动才是关键，要用正确的思想武装头脑，做正确的事，然后才是正确的做事。

  

小学题

别轻视现在的小学题，没悟道数学思想方法，绝大多数受过高等教育的人还真做不出，博士教授也是束手无策，不信就试试下面的小学题。

第1题

如下图，长方体长宽高之比为4:3:2，切长方体的平面六边形有很多个。六边形顶点A1在边AG上，A2在边AD上，这些六边形中周长最小的为36，其他如图。求长方体表面积。

 
 

 

第2题

 

 

 第3题

计算题，提示下，可以用蛮力，但最佳方法肯定不是用蛮力硬算，肯定有简便巧妙的方法.

 

第4题

100可拆分成多个正整数之和，有多种拆法，例如可拆为100个1相加或一个100或2+98或2+2+96或3+4+93等，每种拆法对应的乘积分别为1、100、2*98、2*2*96、3*4*93。求这些乘积中的最大值。

 

第5题 

    n个正数之和为定值m，显然满足条件的n个正数(变量)有无限组。求n个正数乘积的最大值。

和第4题有点类似，第4题是正整数，这题是正数。这题是我把第4题泛化推广到一般情况后的抽象题。适用于初中生，但我们要用数学思想方法来讲小学六年级学生也能听懂的解题方法。

 

第6题

7条直线最多能将平面分割成多少个区域？10000条直线最多能将平面分割成多少个区域？

  

第7题

如下图的正12面体，每个面是5边形，求它的顶点数和棱数

 

第8题

求时针和分针在一天中重合几次，时间从0点0分0秒开始到下个0点0分0秒（包括）。

这是我小时候读书时的题，这题当时不难。

 

 

 

 初中题

第9题

  解方程，求未知数X。

 

 

第10题

  函数的最大最小值分别为6和2，系数a、b为实数，求系数a、b。

      
 第11题

    如下图，一个二维长方形纸片，在纸片的任意位置任意方向挖一个任意大小的长方形洞（这个洞始终在纸片内）用一只笔、一把直尺、一把剪刀把剩余的纸片一刀分成面积相等的两半。

     

   这是一道智力题，也是蛮好的考数学思想方法的题。是我在杭州某公司面试时碰到的几道智力题之一，当时智力题都做对了，很快讲出了自己的思考过程。我后来拿来面试过10多个人，居然没人能做出来，思考过程没谱不着边际，不开窍，有211大学的，有在美国知名大学念数学和计算机专业的。

 

第12题

   这题x为自变量，k为系数。

 

第13题

如下图。ABCD为边长为2的正方形，E、F分别为中点，求四边形DEGH面积。

 

初中数学少不了几何题，如何求解几何题，如何加辅助线，在哪加辅助线，也应该有一套思想方法来指导。这题不难，不加辅助线就可解出来，不过也可添加辅助线来解，这里就用加辅助线的解法来说明如何加辅助线和它背后的数学思想方法。

 

         高中题

第14题

2018上海高考数学填空题第12题。这题我觉得不错。

 
 第15题

证明102的103次方大于103的102次方。

 

 

 

第16题

 

  第17题

     三角形ABC，BD垂直于AC，BE是角ABC的角平分线，F是AC中点，四个角相等（角ABD、DBE、EBF、FBC），求角ABC的度数。

 

 下一篇：数学思想方法揭秘-3将讲述这些题目的解题思维过程。

   王国波  2018.7.14于广州