数学思想方法揭秘-3(原创)
作者：王国波
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阅读顺序，建议从本系列第一篇看起。
接前文数学思想方法揭秘-2，在这里讲述我对这些题的解题思维过程，主要是在思维过程中如何运用数学思想方法和解题策略来探索解题方法，所思所想。学习者可以先试着做一做数学思想方法揭秘-2中的题，再对比下面的思维过程，多揣摩领会解题思维过程中的思想精髓，看不懂就多读几遍，直到自己有会心一笑心领神会的感觉为止。以后就可有意识的进行模仿。在以后的题目中只要有一两道题有成功的运用经验，就入门有共鸣了，就把这些消化融入到自己的知识体系中了，后面运用起来就会越来越自然，越来越得心应手，越来越深入到灵魂中。
小初高乃至大学，数学、物理包括理工科其它课程的学习总体上是不难的，是学习又不是创新，有些很前沿的知识和创新可能是艰难的，但我们学的大多是几乎烂大街很普通的成熟的知识，实在不应该难学。那在现实中我们为何觉得难学，问题在教材、教学方式和老师。我们的教学方式和教材教辅内容存在严重问题，培训机构几乎也类似，不教或不注重思想方法论和运用这些思想方法和解题策略来进行思考的思维过程，不注重解题规律的传授，阉割思维过程，而有正确数学思想方法指导下的思维过程才是关键，掌握了这套思想方法论，心中就有了解决问题的规律也就是解题之道思维之道 。用这套方法论来指导思维，那理工科的学习就不会觉得难。阉割思维过程的教学是没有灵魂的教学，这个应该是我们觉得数学难学和难以培养出高素质人才的真相。
对难题，有正确思想方法的思维过程才是关键。做过难题的都知道，在思考难题时，它们大多是开头难，没有头绪，当然也可能中间阶段卡壳，不知如何下手，看不穿本质，感觉没有思路，建立不了和已有知识点的联系，已有知识点派不上用场或不可行。此时起到关键作用的是思想和策略，先要有正确的思想策略做指导，思想先行，先用思想开路，来攻坚克难，来扫清关键的障碍，用正确的思想方法来指导/引导/驱动思维过程，碰壁时及时灵活调整自己的解题策略，再结合知识点和经验探索解题思路，找到难题的突破口或产生解题方法的雏形或框架再逐步丰富完善，只靠知识点通常是解决不了难题的。难题的解题方法不是一下子从脑子中蹦出来的，除非它是熟悉的题型，它通常是在思维过程中运用思想方法探索出来的。没思想没启发没灵魂的教育培养出来的人，碰到难题或新题型，要不就是束手无策或思维僵化，要不就是如无头苍蝇，思维到处乱窜，误打误撞，没有章法，很盲目。没有掌握思想方法，对知识的运用就是自发的，半迷糊蒙昧状态在使用，面对难题，所学的一些知识点几乎就是死的，因为无从下手，举步维艰，感觉所学的知识点用不上，不知道怎么使用知识点。要以道御术，此时对知识的运用是自觉的有意识的，在恰当的思想方法(道)指引下，多维度多视角去看问题去思考问题去尝试，帮助我们有效延伸思维的触角，这样就有更大概率做正确的事，灵活思维，高效找出解题突破口和解题方向方法，后面才是正确的做事，使用知识点。也就是先要用正确的思想方法来指导思维，探索出解题突破口和解题方向解题方法，形成解题思路，这相当于给知识搭了一个发挥作用的舞台，之后才能盘活死的知识，让这些知识有用武之地。解题思路的产生，主要是靠数学思想方法，碰到难题，怎么思考，为何这样想，为何这样思考，这就是思路，而思路的产生不是胡乱碰运气，它背后要有一定的逻辑来做指导，即使是猜想也要合情合理，思路背后的逻辑就是靠数学思想方法来指导。
教育中的智育，其目的应该是培养独立的理性思考能力，创新能力，培养自学能力，熏陶和训练思维方法，掌握思考问题的正确思想方法论。让这些思想方法论成为一种思维习惯，而不仅仅只是灌输知识，这是舍本逐末，大多数知识基本上自学就会，需要花大力气去教？而是要重点教学生怎么灵活运用这些知识：怎么用正确的思想方法论来思考问题，探索出解题思路和解题方法，以道御术，才能更好利用知识更好发挥作用。
思想方法论(包括解题策略)才是大道才是关键&核心，师者传道授业解惑，扪心自问，我们的教育传的道在哪？有啥道？万般神通皆小术，唯有空空是大道，我们的教育(学校和培训机构)和教科书上大多教的是雕虫小技，不上档次的小术，小聪明，没有智慧没有道(思想方法)。每门功课，只是考试成绩好不算好，要在学科中更上一层，也就是要能在学科中悟道才是真的好，但凭我们这样的教育方式和教科书是难以悟道的，因为它们都没有道没有思想。初高中如果有好的数学思想方法的教辅(国家层面完全可以组织力量编写权威的数学思想方法论的教辅或参考书)，学生用这些书籍自学，自己钻研领悟，大多数中等智力的学生坚持到高中阶段是可以训练好数学思维的，这个真不难，但现实却不是这样，不给学生推荐这方面的好书，不对学生强调数学思想方法的重要性，大多数学生自己怎知道要掌握数学思想方法和解题策略，到现在还不在初高中普及数学思想方法的教育，这就是误人子弟。
数学解题的一般过程
解题的本质是变：转化变化，解题就是把题目归结为转化为已经解过的题熟悉的题或熟悉的知识点，解题过程是从题目起点到题目终点(结论&答案)的一段段串起来的解题操作和逻辑(各种变形、变换、计算、推理、推导)，这些一段段串起来的解题操作和逻辑实际上就是不断地在转化问题在变化问题，从而一步步向问题终点靠拢。解题的过程就是在数学思想方法的指导下，调动和运用数学基础知识、基本技能以及经验，采取解题策略，运用数学方法的思维过程。这一段段串起来的一些关键环节是怎么想到的？很多是在数学思想方法的指导下探索出来的，特别是开头的几步。
具体而言，解题过程有4步：
第1步：理解问题。审题读懂问题，找出已知条件和要证明的结论或要求的结果答案，观察发现问题中隐藏的特征特点、关系、规律等解题线索、收集整理信息，判断题型。
第2步： 探索解题思路，制定解题方案。对简单的题，我们几乎不费力就可找出问题和知识点之间的联系，因为这种联系很浅显很直接，也就是很快知道要用哪些知识点和经验就可解题，能很快形成解题过程，实际上也是有联想类比的参与，但几乎快到感觉不到它们(联想类比)的存在。但有些题，特别是较难的题，它和知识点的联系是隐藏的、晦涩的、复杂的，间接的，我们难以一下子得出问题和知识点之间的联系，无从下手，此时就是考验数学思维能力，就需要有正确的扎实的数学思想方法论的指导才能高效探索出解题突破口和思路，高效找出问题和知识点之间的联系，建立问题和知识点之间的桥梁纽带，打通它们之间的联系。先前说过数学思想方法是问题和知识点之间的桥梁、指南针、开路先锋、药引子。研判局势，找出问题症结。这一步的最高指导原则就是变：变化转换，灵活变化，在数学思想方法论(联想、类比、抽象等等)和解题策略指导下进行各种变化转化，进而探索出解题突破口和解题方向，形成解题思路。这个是解题过程中的核心和难点，也是这几篇博文的重点内容。
第3步：方案实施。在上一步已经披荆斩棘找到问题突破口，初步形成解题思路和解题过程的情况下，这一步是按照第2步的思路方案，进行思路展开，具体实现，在纸上把解题过程(由解题操作组成)一步步写出来，从题设条件出发，一步步进行变换，逐步向结论靠拢逼近。当然有时用逆向思维或分析法，从结论向题设靠近。第2步和第3步乃至第1步之间有时没有明确的界限，无法严格划分，它们有时是一个反复的过程，例如从第2步再回到1步，或从第3步再回到第2步或第1步。
第4步：回顾与反思。无论是解题成功还是失败，最后都要反思。反思解题过程中的成与败，得与失，进行总结改进提高。这一步往往容易被忽视。另外在前面的第1步、2步、3步中也要注意运用反思来调整解题思路。
我们可以进一步把这4步划分为3个阶段：前期、中期、后期。前期阶段也叫幕后阶段，包含上面的第1步和第2步，主要是寻找解题突破口和解题方向，探索和酝酿解题思路。 中间阶段就是第3步，后期阶段是第4步。
在讲解具体题目的解题思维过程之前，讲解些自己的感悟，这些感悟可以看成是数学思维中的内功心法。内容涉及到上面提到的解题的4个过程。
第一个是辩证思维，数学思想方法结合辩证法指导下的解题策略，灵活地变变变/转化(转换、化归)。
这一节主要涉及到解题过程中的第2步，如何找到解题突破口，探索出解题思路。
大道至简，数学思想方法和解题策略归根结底就一个字：变，就是变化、改变、转变、转化、转换、变换。
碰到难题，无论是在解题开始或解题过程中，绞尽脑汁后还是处处碰壁，无从下手，举步维艰，此时唯一的最高准则就是变：变化、变换、改变、改革、转化(转换)。把解题思路变一变，换一种思路或微调思路或综合其他思路；把题目变一变，例如把已知条件中的等式做下等价变形，或有关联的非等价变化，把原题中的已知条件变一下，变成一个新题，解决这个相对容易的新问题，再把原题想法转变成新问题；把题目要证明的结论/结果做下等价变换(分析法，根据因果关系和充要条件进行等价变换，把原题中的要证明的A结论或要计算的A结果转变成B，而B比较好证明或求出来)或有关联的非等价变化(例如改变原题要求的结论或答案结果，变成一个新问题，得到新题的解决方法，再想法把原题转变成新题)，这些都是变。不变是死路一条，只有改变现状，只有变才可能找到出路。
变化就是运动，辩证法中运动是绝对的，所以解题中也要有运动变化，善于运动变化。另外先前提到过易经中的三原则：变易、简易、不易也很有意思，它们是层层递进的：变易就是说要变化，没有不变的东西，和辩证法中的运动是绝对的一个意思；简易是说变易(变化)会产生复杂性，但如果我们有智慧，掌握领悟了原理和方法之后，对变化的掌控就简单了，就不怕变，甚至会主动变化，主动利用变化来解决问题，在数学领域，掌握了数学思想方法论就容易了。不易就是说其实还有个不变的东西存在，也就是在更高层的幕后有个不变的东西，勉强给它取个名字叫道或本质，哪在数学中什么不变？
具体如何变？在数学解题中如何变化也要讲思想方法讲解题策略技巧，也就是思想加策略加技巧。思维要有正确的思想和策略、技巧来指导，这样思维才容易高效和对路。
孙悟空有72变，我们在数学解题中，也有一套数学思想方法和解题策略来指导如何变化。可以认为数学思想(联想、类比、抽象、分类思想、转化等)是指导你在思维层面如何多角度多方位来思考问题，来看问题，来展开自己的思维。但有时凭各种数学思想方法和知识点与经验还不能高效率的解决数学问题，这时就要结合解题策略来调整改变我们的思维和思路。穷则思变，碰到棘手问题束手无策或碰壁后需要调整改变思路、视角和行动。很多思想方法和解题策略的最高宗旨是试图通过各种变化来降低问题复杂度和获得解题突破口。变：变化、变形、转化/化归、改变思路、改变视角、改变题目、改变已知条件、改变目标、从一种形式变成另一种形式、变不熟悉为熟悉、变未知为已知、变复杂为简单、变不好处理为好处理。下文中的具体不行就抽象(向上抽象)、直接不行就间接，乃至辩证法中矛盾的相互转化相互利用都体现了变化。
我们在考试时，一般是先做简单的题，后做复杂的，这是一种策略。对每道数学题，也有解题策略。解题策略就是在解题过程中遵循的一些全局的、总体性的、指导性的行动方针和对策，它是概括性的方法而非具体的解题方法，解题策略例如抽象不行就具体(也叫特殊化策略。碰到抽象问题或一般性问题时，如果难以解决，就转而解决具体化的特殊性的问题，例如使用归纳法，得到经验和启发后再回到抽象问题上)，具体不行就抽象(也叫一般化策略。如果一个具体问题不好解决那就把这个问题上升到抽象问题一般性问题，解决抽象问题之后再回到具体问题）、直接不行就间接等等。解题策略介于具体的解题方法与思想方法之间，是把思想方法转化为/向下变现为解题操作的桥梁。
解题策略用于对我们的解题行动指明方向，而具体的数学方法(例如解方程的代入消元法）是直接的解题手段。解题策略指明方向体现在对我们的解题思路和思想方法起到控制调节/调整、优化、平衡、扬弃选择、约束、编排组织、纠偏变通的作用，调节的幅度一种是微调，另一种是跳跃式的调整乃至彻底否定之后的改变。就像我们开车，在前方似乎没路时，要转动方向盘调整前进方向转下弯一样，类似做事要圆融要灵活变通，做人既要有方有原则有底线也要有圆，数学思想方法好比这里的方，而解题策略就是这里的圆。
解题策略是对数学思想方法的补充和辅助，它是数学思想方法的伴侣。数学思想方法相对刚性，而解题思维本应该是灵活善变的，解题策略正好可用来增强思维的弹性、柔性、灵活性，这样刚柔相济，避免机械僵化的思维，具体问题具体分析。好的解题策略注重和谐、协调、平衡，做到不偏执不偏颇，顺应本质的解题思维规律，帮助我们少走弯路，高效实现解题目标。解题策略有时和数学思想方法合二为一，例如转化(化归)既是数学思想方法，也是解题策略，分而治之(化整为零)、整体化思想和数形结合思想等也是如此。
总体而言。数学思想方法和解题策略的关系好比地球仪上的经线和纬线，如下图，数学思想方法是经线，解题策略是纬线。数学思想方法结合解题策略就好比经纬交织，这样才能天衣无缝，才能思维严密严谨而不失全面灵活，才能全方位/多角度立体化系统化思考问题。
在第一篇中已经提到数学思想方面和辩证法的关系，辩证法的精髓就是矛盾的相互转化和对立统一，相互联系发展变化，而这些和数学思想方法和数学解题策略是非常契合的。这里不需要纠结唯物和唯心，既然讲辩证，唯物唯心合起来才比较完美，它们是对立统一的关系，偏向哪个都不对，没有谁绝对正确，都有它们解释不了的问题和现象，普通哲学解释不了宇宙的本质，人类一思考，上帝就笑了，但我们可以通过不懈的探索，逐步接近本质。
科学的科学是哲学，反过来哲学必须要能指导具体科学例如数学。
在数学解题思维中，要注重运用辩证法中的如下观点来指导我们解题，帮助我们从更高的思想层面来理解数学思想方法，制定解题策略。
联系观：万事万物普遍联系以及联系的多样性、层次性，万事万物存在千丝万缕的联系，联系无处不在无时不在。甚至连矛盾的对立双方都存在联系，蝴蝶效应，物理学中的量子纠缠更是说明联系的神奇。数学思想方法的多样性，正是普遍联系多样性的体现。有联系就有关系，联系的多样性也决定了它对应关系的多样性。联系观在数学中最直接的体现就是关系思想。关系思想：我们在日常生活中对关系是使用的非常熟练的，大多数人办事都喜欢找各种关系，利用关系网。在数学中，关系思想也是极其极其重要的思想方法，研究数学问题中的各种关系包括数量关系是数学的一个主要内容，初中的相似三角形成比例，平行线分线段成比例定理，倒数关系，相反数关系，勾股定理中斜边和两个直角边都存在关系，乃至逻辑推理、充分必要条件、因果等都是关系的体现。每道数学题中都存在关系，除了题目中一些显而易见的关系，解题时还要善于发现和挖掘题目中隐含的一些关系或联系。找关系，发现关系，进而刻画表达关系，把关系用合适的数学语言合适的形式(例如方程、函数、等式、公式、不等式、定理、数列、数学图形、图表等)表示出来翻译出来，例如数学题中已知的和隐藏的各种数量关系和各种约束、数与形的关系、题目/问题之间的关系、数学题中数学对象（数学元素）之间的关系、问题和知识点之间的关系、知识点之间的关系、概念之间的关系等。再想办法利用好这些关系来解题，利用好这些关系来变化问题、转化问题，最终解决问题。关系就是桥梁纽带，有了关系就好变化好转化，容易找到解题方法容易找到出路。
有时两个或多个数学对象之间似乎没有关系或联系，就要找出它们之间的关系/联系，或者想法让它们发生关系/联系，建立关系/联系，例如让两个或多个数学对象（例如算式或等式、变量）相乘相除等运算产生一个新的数学对象，就像化学反应一样。有时题目中缺少发生关系的数学对象，此时我们要联想到或找出关联的数学对象，然后让它们发生关系，例如题目中存在m-n这样的数学对象，此时我们要联想到和它有关系的对象m+n，再让m-n和m+n相乘发生关系，具体的例子比如碰到根号3-1，根据题目的情况，我们很可能会想到根号3-1的对偶对象/对应的对象：根号3+1，如下图，然后让它们两个相乘，发生关系。有时对象之间的结构或关系比较疏远(物理上和逻辑上)或松散凌乱或比较别扭不顺畅，显然不便于解题，我们就要想法去改造这种结构和关系，重组结构和关系，将它们的关系变亲密，结构变协调，变紧密。在几何题中，我们一般是通过作辅助线和几何变换来对存在问题的几何结构和关系进行改造。
有时我们碰到一个问题，要联想到和这个原题有关系或类似的另一个问题，或把原题变成和它有一定关系的另一个问题，解决后面这个问题，再利用它和原题的关系来解决原题，或借鉴后面这个问题的解题方法。
我们在学习某个知识点或某个概念时，要联想到和该知识点或概念有关系有联系的其他知识点，搞清楚它们之间的关系联系以及区别，建立知识点之间的横向和纵向的联系，形成立体的知识体系。例如前面说过的学到平均数知识点时，要能想到它和抽屉原理的关系，这样就能更深刻地理解抽屉原理，觉得它不难了。
关系/联系就是桥梁纽带，就是通路，我们用各种数学思想方法来建立解题需要的桥梁，找到解题突破口。不管是数学题和知识点之间的关系/联系、数学题的数学元素之间的关系/联系，数学元素和知识点之间的关系/联系、知识点之间的关系/联系、题和题之间的联系、概念和知识点之间的关系/联系、概念和概念之间的关系/联系，遵照关系思想，在学习中和解题过程中发现其中的关系/联系，看透看懂看清楚了关系/联系，发生了关系/联系，发展了关系/联系，建立了关系/联系，改造好了关系，利用好了关系/联系，我们借助它做桥梁来对问题进行变化(从一种形式变成另一种形式)，改变就是转化问题，把问题从复杂转化成简单，从陌生转化成熟悉，从未知转化成已知，有改变就有机会有可能解决问题，就有可能推进问题的解决。在日常生活中，我们找熟人关系办事，把不好办的事情转化成简单的事情，也是相同的道理。
运动发展观：在数学思想方法中的体现就是运动/动态思维、函数思想，例如让事物沿着题目中的轨迹运动，让某个变量的数值发生变化，或想象它们在发生变化，在运动中观察其中隐藏的的规律、关系、特征特点，如何运用运动思想来解题在下文中有具体运用。
矛盾观：这里进一步重点讲解辩证法中的矛盾观在数学解题思维过程中的巨大指导作用，它可以用来指导我们的解题策略，当然辩证法中的联系观、否定之否定、运动观、质变-量变也是可以用来指导我们的解题策略的。
矛盾观讲矛盾的对立统一以及矛盾的相互联系相互转化，在数学的每个知识点中几乎都存在矛盾关系，例如乘法与除法，除数和被除数，题设和结论。矛盾的双方可以相互转化，例如乘法变除法。
数学题中的条件和条件、条件(题设)和结论之间存在矛盾关系，它们统一在数学题中。在解题之前条件和结论是对立的，在成功解题之后，也就是解决了条件和结论之间的矛盾之后，它们就达成了统一。数学解题的过程就是解决矛盾的过程，就是从已知条件开始逐步转化逐步变化，最终得出结论的过程或相反从结论逆向推理。在数学解题思维过程中，我们有时可以运用矛盾分析法来分析识别已知条件和结论之间的矛盾，找出矛盾双方(已知条件和结论)的特点、特征、规律、联系、性质，比较双方之间的差异，基于这些特征、规律、联系来想法转化矛盾，来缩小差距，来解决矛盾。
除了可以使用矛盾分析法来解题，还可以用矛盾观来指导我们的解题策略，例如具体与抽象就是一对矛盾(在文中，抽象可以是名词、动词或形容词，注意理解区分),类似特殊与一般也是一对矛盾。具体（特殊）与抽象（一般）这对矛盾，在解题策略中就可衍生出一般化策略、特性化策略、抽象不行就具体，具体不行就抽象等策略。
对同一类问题,通常有多种具体情况或特殊情况，通常这些具体可以对应一个抽象。例如1*4、2*5、12356894*12356897，这3个具体对应的一种抽象模型或抽象形式可为n*(n+3)。
多个具体之间有复杂简单之分，前面的1*4、2*5这两个具体就相对比较简单，这是具体情况的简单性，12356894*12356897这个具体看上去很复杂，计算量大，这就是具体情况的复杂性。
抽象相对具体来说似乎是比较复杂的，其实不一定是这样，n*(n+3)和两个具体1*4、2*5相比，感性上看肯定是这两个具体简单，这个就是具体情况的简单性。但n*(n+3)和12356894*12356897相比哪个看上去复杂？显然是这个具体复杂，它计算量大，这个就是具体情况的复杂性；而它对应的n*(n+3)这个抽象就简洁得多，也简单得多，瞬间就知道它的答案。对抽象，由于排除了非本质的因素和非本质的假象，去粗取精，去伪存真，只留下本质的因素和内在的联系，所以显得简洁。简洁加上抽象的深刻性、普适性(一个抽象模型适用于多个具体情况，一以概之)，通常掌握一个抽象比和多个或无限个具体情况纠缠要轻松，所以抽象反而显得简单。这就是抽象的间洁性和简单性；抽象也可能在一些方面比具体要复杂，这个应该经常碰到，这就是抽象的复杂性，由于它不具体，人们有时对它缺少感性认识。
总结下：从上面的描述可知，具体问题/特殊问题有简单的一面（具体情况的简单性，简称具体的简单性），也有复杂的一面（具体情况的复杂性，简称具体的复杂性）；抽象问题/一般问题有简单的一面（抽象情况的简单性，简称抽象的简单性），抽象通常都是简洁的，但不一定简单，也有是复杂的一面（抽象情况的复杂性，简称抽象的复杂性），
从前面的总结中可知，具体和抽象中都有复杂性。具体的复杂性有些是偶发的表象的，是假象复杂性非本质的复杂性，也就是这种复杂性是表面上看起来复杂，不是问题本身的复杂性带来的，而是因个人的原因，被具体问题中的无关因素、个性化的因素、次要因素误导走偏或被这些假象复杂性掩盖了问题本质导致，这些因素和假象复杂性其实是噪音或干扰。由于方法不对路没有看透这些假象复杂性和非本质因素而觉得它复杂，没有掌握好或没有运用好思想方法和解题策略而导致的复杂性。如果我们有慧眼，运用正确的思想方法和解题策略，是可以避开和消除这种复杂性而看清问题本质的；而抽象的复杂性是本质复杂性，原生复杂性，它是内在的复杂性，是问题自身具有的复杂性，这种复杂性一般是大多数个体无法回避的无法消除的，要去积极面对的，例如运用创新思维。这种本质的复杂性至少在当前条件下是本质复杂性，当然随着时代的发展和思想的进步，本质复杂性以后有可能会变成偶发的复杂性。另外，具体和抽象中都有简单性，后面我们会体会到如何利用这两种简单性来帮助我们解题。具体和抽象中既有简单性，也有复杂性，具体和抽象之间的关系有点像阴阳鱼太极图中的鱼眼，你中有我，我中有你，同时每个鱼眼又是一个小太极，这个就是层次性和全息性。当然这个图更主要说明辩证法中矛盾观中的对立统一关系，双方是一个和谐的统一体，相互联系相互转化。这个图是静态的，没表现出更多的内涵，要想象成动态的动画的旋转的，也就是要用运动发展的眼光来看。例如抽象与具体的相互转化，在一道题中抽象要先转成具体或先关注具体，之后再转到抽象，在另一道题中具体要先转化成抽象或先关注抽象，也就是思想不要僵化，别一成不变，要解放思想观念，具体问题具体分析，要灵活辩证地来看待抽象和具体，此外可能一个场景下的抽象是另一个场景下的具体。不限于具体和抽象的关系，其它类似的都要如此辩证的来看。
有些抽象问题虽然是复杂的，但如果我们解决了这个复杂的抽象问题，可能会得到其简洁和普适的解决方案，比如定律、理论公式，也就是解决方案/结果是简洁的深刻的，简洁但不一定简单，但它比繁多的具体反而好掌握，因为抽象是一以概之，掌握了一个就掌握了众多具体。
抽象是一以概之，具有一般性和普适的简洁性，体现了抽象之美；而具体，有些具有个体的简单性，有些从感性上觉得复杂。具体的东西，一般比较琐碎，比较特殊，前面提到过它包含有噪声或干扰，导致一叶障目，看不清问题本质。
我们抽象的过程中就要能识别出哪些是噪声，过滤排除掉这些噪音或干扰，去抽取精，去伪存真，得到反映问题的深刻核心本质:模型；也可直接围绕问题直接抽取提炼，保留本质，自然而然就过滤掉了具体情况中的噪声，也就避开了具体情况中的复杂性。下面解题过程中将会看到，如果不排除题目中的这些噪声（降噪）和具体情况的复杂性，这些噪声和复杂性会让我们走偏走歧路，把我们带到坑里去。
碰到像12356894*12356897这种高不成低不就的具体问题，如何处理？它没有n*(n+3)抽象(高),但又没有1*4的简单性(低)，它就是前面提到的具体情况的复杂性。在日常生活中我们要看清楚事物通常有两种方式或两种方式结合，一种是近视，看近处，降低身段，俯身观察，看清楚蕴藏的细节，看周围目力所及的，熟悉的，另一种是远视，看清楚全局和整体脉络，看远处，要登高望远。
我的经验，一种解题策略是向上抽象，也就是一般化策略，抽象中体现了事物的本质和核心，能深刻描述刻画事物的规律，得到了深刻的抽象本质，看事物反而更简单了，否定之否定。利用抽象中的简单性，类似看远处，登高望远：欲穷千里目，更上一层楼，提升思想高度，把具体问题上升到抽象，提高层次，不要陷在前面所说的具体问题特殊问题的噪声和干扰中，从这种低层次的具体中逃逸出来跳出来。对这类问题进行抽象，建模建立抽象模型，规避过滤掉具体问题下的噪声，研究这个抽象模型，反而容易看清问题本质，容易得出其解决方案。在西游记中，孙悟空用眼睛看出妖怪原形来历或用照妖镜或把妖怪打回原形，知道原形来历后就不难了，不管它怎么变，知根知底，就容易想到办法收服它了，通过向上抽象建立抽象模型，从具体回到抽象模型上，返本归元，与西游记中知晓妖怪原形有些类似。这种方法就是具体->抽象->具体，否定之否定。
第二种是特殊化策略，直接向下归纳，简化问题，利用具体中的简单性，类似于俯身看近处，看周围熟悉的，归纳是从特殊性具体性到一般性的过程。归纳：对具体但感觉复杂或不好处理的一般性问题/抽象问题，我们可以使用一个或多个更简单的类似的具体问题或特殊问题，通过实验和研究这些简单问题或特殊问题，从这些简单的实验样本中得到启发、感性经验和规律，总结出推测出一些猜想。归纳是以退为进，退是为了更快的前进，类似体育课跳远时，我们先后退再起跑。在数学解题过程中，先退，退到足够简单足够具体的问题上，研究清楚了简单问题，得到感性经验和启发或理性认识，再进，再把这些(经验、启发、规律)应用到原来的问题中或一般性问题中。例如有道题是蜗牛爬井，井深100米，它白天爬4米，晚上又掉下来2米，问多久能爬上来。100米可能太复杂，如果我们继续简化，例如把100米减少到4米及以下，也可理解为把题目变一变把已知条件变一变，就明白它白天一下子就直接爬上来了，不会再掉下来，这就是在简单题目中获得的启发和经验，这些启发就是洞见。我们继续用5米、6米、7米、8米继续试一下。综合这些简单情况，启发我们原题中蜗牛白天爬上来的最后一段要尽可能接近4米，所以最后4米是一下子爬上来，开始的96米是每天爬两米(4米-2米=2米)，当然可把题目中的100米换成自然数n米，这样更能说明归纳的作用，我们可归纳得出当n为大于2的整数情况下，如果n为奇数，白天爬的最后一段为3米，为偶数，最后一段为4米；如果n米情况下的最后一段的长度用f(n)表示，在n>4时存在f(n)=f(n-2)的递归关系。f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=4,f(5)=f(3)=3,f(6)=f(4)=4。
归纳就是总结提炼多种具体问题中的共性，排除过滤掉单个特殊问题中的个性因素导致的噪声或干扰。归纳简化时的注意事项，如前所述，抽象时要求去伪存真，要保证抽象之后不失真，与此类似，简化时也要注意简化后的问题和原问题要有一定的质的相似性，不要有太多失真，失真就变味了，导致从简化问题中得出的规律/启发/认识和解题突破口/解题方法不一定能适用于原问题。
第三种是综合(组合)上面的两种解题策略，向下归纳简化结合向上抽象，先向下简化，从简化问题中得到启发、经验之后，再进行向上抽象，得到抽象问题的解决方案。之后把解决方案应用到这个复杂的具体中，解决这个具体问题。
这个1*4的例子可能不贴切，下面的解题思维中有更贴切的例子。
如果碰到抽象的问题或复杂的问题，难以找到解题思路，此时抽象不行就具体，以退为进，先简化，先用具体的简单问题来练手找感觉来解决，进行归纳，总结共性，从中得到经验窍门、启发、规律，得到感性认识，再回到抽象上，也就是抽象->具体->抽象，否定之否定。
数学思想方法也可认为是高层次的套路和思维模式。对套路和模式，运用时思维不要僵化不要局限不要有思维定势。运用之妙，存乎一心，没有一种万能的数学思想方法。例如对抽象或复杂的问题，不一定是用归纳这种数学思想方法进行简化，也可能是把抽象问题或复杂问题转化成另一种熟悉的或已知的问题，或用其他数学思想方法。我们一般是根据问题的实际情况，综合&灵活运用多种数学思想方法，例如使用转化、归纳、数形结合/形象思维等等数学思想方法中的一种或多种，并结合已有的经验教训和知识来探索解题方法，来调整思路。
感性认识和理性认识，前面已经提到感性认识，我们一般是通过简单具体的问题，通过具体问题的实践来得到感性认识，找感觉找体验，得到经验、启发、规律。这些感性认识再结合自己已有的知识，联想已有的知识，升华到理性认识。如果没有理性认识，那就先去找感性认识，再回到理性认识，否定之否定。如果一直停留在感性认识，那境界和层次就不高。如果一直停留在理性认识，那就不容易获得具体的经验。这个也是理论和实践的关系。
一般(普通)和特殊，举个例子，假设一个公式记不住，只有模糊的印象，此时用一个特殊情况，把公式明晰化。例如小孩记不住立体几何中多面体的欧拉公式，但至少知道这个公式中有加减运算和2这个数，这个欧拉公式是一般的，普适的。此时只要用一个特殊情况：4棱锥来进行验证和排除，这个特殊的也是具体的，就能把公式重新完整还原出来。
再比如，记不住三角函数sina(a+b)、cos(a+b）公式，只有模糊印象，也是类似方法,用两个特殊的角度：30度和60度代进去就知道正确的公式了。一些数学题，我们用一些特殊值具体值代进去就很快知道答案或获得启发。
抽象-具体、一般-特殊、理性认识-感性认识、复杂-简单之间的关系如下图：抽象、一般、理性认识在同一极，也就是说，抽象的通常是一般的，理性认识多一些的，它们通常是复杂的(也不绝对是这样,先前说过抽象的简洁、简单性);具体、特殊、感性认识在同一极，具体的通常是特殊的，感性认识多些的，通常是简单的（也不绝对就简单）。
矛盾观中的一分为二并不总是机械地分为二个方面两个部分，有的要一分为三，或一分为n。另外在制定解题策略时，我们并不局限于只是用矛盾观来做指导，而是具体问题具体分析，根据实际情况来灵活制定解题策略。
主要(关键、重点)矛盾和次要矛盾，矛盾的主要方面和次要方面。问题中的变量/元素对象/参数分主次，这个也和分类思想、比较思想有联系。例如在问题中有份量的、数值大的或小的、权重大的、特殊的、起决定作用主导作用的变量或参数就是关键元素或主要矛盾。敏锐地观察、比较、归类，发现问题中的关键元素或主要矛盾，意识到/识别出问题的关键元素，提纲挈领，抓住关键，利用好这些关键。从关键元素入手就几乎找到了问题的突破口，攻破了难关。突破口就像是在混沌的铁板一块的问题中打开了一道缝隙，可隐约窥见解决问题的曙光，从这缝隙深入进去，用思想方法激发的思维之光照进去，逐渐扩大思路，就很可能会探索出解题方法。有了突破口再结合次要因素和知识点就能解决问题。擒贼先擒王，打七寸，这些抓主要矛盾的策略在日常生活中是经常用到的，在数学中也是这样，所以说道在日用，在日常生活中。分类思想，除了按情况分类讨论，有时把问题中的多个元素对象/参数/变量按某个标准进行分类或按特征进行分类，具有类似特征的元素归在一起，类似合并同类项，例如在等式中把相同特征的元素移到等式左边，具有另一特征的元素移到等式右边，这个是在实践中悟出的一个小技巧。抓主要矛盾来解决问题来找问题突破口，是一个很有用的思想策略，在数学解题过程中深有体会，有空再补充实际的运用。
直接和间接，有的问题，直接不行就间接，迂回解决，在数学中这也是一种解题策略。
所以正确数学思想方法驱动/指导下的思维要灵活地结合运用辩证法来指导我们的解题策略：要灵活地相互变化或相互转化，找关系并利用关系来进行变化，或识别出关键元素或主要矛盾，从关键元素或主要矛盾入手来探索解题突破口。把题目变一变(有时把原来的题目变一变，例如把条件变一下，产生一个新的题目/新问题。研究这个新问题得到启发，通过原问题和新问题之间的联系，把启发运用到原问题，或把原问题转化成新问题)，把解题思路变一变，甚至把使用的数学思想方法变一变或增加一些。抽象不行就具体，具体不行就抽象。除了运用抽象-具体、一般-特殊、直接-间接、主要-次要来指导和产生解题策略之外，我们也要注意灵活运用好体现矛盾对立统一关系的其它的一些具体实例，例如现象-本质、原因-结果，内容-形式、数-形、本-末、运动(动态)-静止(静态)、简单-复杂、定性-定量、分析-综合、归纳-演绎、质变-量变、结构-功能、感性认识-理性认识、扬-弃（排除）、体-用、成-败，真-假、得-失、优-劣、正-反等，不限于这些实例，它们都是可以用来指导我们制定解题策略的候选项，也是可以用来帮助我们获得解题操作解题方法的源泉，我们总结的较全面的辩证关系词汇表在第一篇文章中有介绍。如何运用这些对立统一的实例，运用哪些？要根据具体的数学题来定，也就是具体问题具体分析，例如下面的第7题，我们通过观察图形和联想，从多面体的封闭想到了开放，虽然是相反联想，也可理解成是运用了封闭-开放的对立统一关系指引下做出的解题操作，就是开放，拆开多面体。
没有真懂辩证法，没有在数学解题和学习中体会到辩证法的威力，不可能在数学学科悟道，活学活用，在数学中要灵活运用辩证法来指导我们制定解题策略，提高我们对数学思想方法的深入理解。矛盾论和矛盾分析法在很多数学学习和数学解题中都有它们的身影，上面讲述的抽象和具体、特殊和一般、直接和间接等都是矛盾论和矛盾分析法的体现，在第9题中还另外用求函数最值为例来介绍了矛盾分析法。
第二个是要总结解题经验教训反思提高，提炼各种方法各种知识点的本质，形成自己的思想方法和模式套路。
这个涉及到解题过程中的第4步，回顾反思，反思解题过程中的成与败，得与失。对自己提问，自我质疑，自我反省，进而总结提高。当然在解题过程第2步我们也要善于运用反思反省和逆向思维。
任何数学思想方法都有一定的模式或套路，格物致知，要在数学思想方法层面悟道，需要在实践活动中也就是解题过程中领会数学思想方法的精妙之处。庖丁解牛的故事中技进于道，与此类似，在学习过程中我们也要有善于归纳总结的习惯，从实践活动中归纳总结，提炼升华出思想结晶和真知灼见。例如我们在解决一个问题时，有的问题中存在不变性约束，例如8个数字12345678，这些不同的数字可组成多个8位数，数量是8的阶乘，问这些数字中有多少个质数。其实敏锐的人有洞见的人根本不用归纳总结规律，或者说他们的归纳总结在脑中一闪而过，自己都没意识到有归纳总结，就能知道这里面有个不变的约束，不变的特征和规律：每个8位数的数字和都相同。联想到等差数列求和，1+8，并且这个和并不要精确算出来，精确-模糊(近似)在问题中的辩证运用，和是3的倍数，没有质数。
其他问题中也可能存在不变性约束或不变量、不变的关系，在学习中就要总结提炼出思想方法，例如变中有不变的思想。例如列方程解应用题，列方程解题在一定程度上可以认为‘’一句话本质上就是根据不变量根据关系来列出方程式，把题目的意思和已知条件翻译成/转化成各种数学语言，例如含加减乘除的数学算式、方程式或不等式。关系和一些已知条件就是不变的约束。如果两个变量只能列出一个方程式，那就要挖掘题目中隐藏的不变量、不变的约束或关系来列出另一个方程式。例如年龄问题中，两人的年龄差通常总是不变的，我们可以利用这个来列方程列等式，此处的不变也体现了'算两次思想'，从两(多)个角度或方式途径来计算同一个数学对象的量或关系。
刚才提到'一句话本质'，很多知识点和方法都有'一句话的本质'，用一两句话或少数几句话就能概括提炼出其背后的本质，本质通常是简洁而不是冗长的。对数学方法，要尽量自己推敲，归纳总结概括出'一句话本质'或掌握其背后的本质才算真领悟掌握，才能不被难题的表象所迷惑，才能有意识的清醒地自觉利用这些思想，才能较快想到适当的数学方法来解决，而不是自发地或蒙昧状态下运用。例如对集合思想，理解深刻了，对几何中的点，即使题目中没有提到集合和轨迹这两个词，根据题目情况会自觉研究点的运动轨迹(轨迹是点的集合)并利用它来解题。
解题过程中卡壳时，就要进行反思或调整思路，梳理下是否把所有已知条件都用好了用足了，考试题中的已知条件一般不可能是多余的，是否把已知条件、特征、规律、关系等解题线索都用好了，如何才能把题目的解题线索用好。是否认真观察过题目的图形和算式并完整挖掘发现了里面的解题线索。重新审题，题目中的每句话是否还蕴含有深意，是否还要深入挖掘其充要条件加以运用。归纳总结现有的解题方法和思路有何特点和问题、不足，有何共同点。基于现有方法的特点，否定该方法从而寻找新方法，打破思维定势，一计不成再生一计，或者说在原有方法基础上加以调整。
解题最后，无论是否做出来，都要回顾反思，总结经验教训。对没做出来的题包括做错的题，要对照答案对自己提问：为何没想到，原因在哪，问题在哪一步，是审题疏忽，还是因为有些知识点没掌握好，是计算失误、还是有些数学方法不会用、还是数学思想方法没有意识或不够熟练。对做出来的题，要进一步体会数学思想方法运用的精妙，能否换一种思路去解。无论自己是否能做出来，对只有解题方法，却没有提及它所用到的数学思想方法的题，都要找出其背后对应的数学思想方法或总结提炼解题方法中蕴含的数学思想方法，加以揣摩体会，消化吸收，融合到自己的解题方法知识体系中去。吃一堑长一智，就这样反思反省，找出自己的不足和薄弱点，加以改进提高。
例如我在解题总结回顾时，就体会到在使用关系思想建立关系时，有时要和稳定的对象(数学元素，例如一个点，一条线段)建立关系才合适，有时要和变化的对象建立关系，何种情况下适合和前者，何种情况下适合后者，这其中的微妙之处，就要能体会总结出来。
总之就是解题之后，对解题过程中做的好的地方，成功的地方要总结升华，运用正反馈巩固，以后越来越熟练地重用总结出的经验；做的不好的(例如错题或思考过程中没想到的)，失败的地方要反思反省，运用负反馈调节，以后要改进调整。
对一些已知条件，有的运用起来有先后顺序之分，有些条件在解题最前面用是没啥效果的，这些都是在解题过程中总结出的经验，也是些小技，还有些不写了。
第三个是观察能力、识别分辨能力，举一反三的能力
这个涉及到解题过程中的第1步，审题。
碰到问题，要先审题，把题目搞明白，还要观察，发现题目中隐藏的特征、特点、关系、规律、充要条件等，解题中很可能要利用到这些发现的东西。另一个就是根据问题的特点和性质，也就是问题的‘’形‘’，敏锐地识别出/联想/类比出它和先前问题或已有知识的类似地方，例如先前熟悉的题型和模式、知识点、已知问题，也就是‘’神‘’，本质，重用它们来解决问题。从形似到神似到本质，不能换个马甲就认不出了。识别不出来，那原有的经验和知识就利用不上，也就意味着所学的知识点是死的。
第四个是要能熟悉各种概念&知识点之间的区别和联系
对概念要熟悉其内涵和外延，基于概念来进行联想是概念的一个基本应用。先前提到过联想这种数学思想方法，联想是一种思维中的心理活动，由此及彼。联想有多种方式，基于概念来展开联想是一种方式，例如对概念，我们通常会想到其定义、内涵和外延以及关联的的知识点，例如题目中出现三角形，要能联想到三角形的内角和、面积公式、正余弦定理等等，碰到直角三角形除了这些之外肯定要联想到勾股定理等。如果是解决具体问题，联想一般不能天马行空，思维或联想的发散和收敛（定向）不说了。要注意的是,联想也有相反联想,例如从黑想到白,这个也是反向思维的运用。
对概念和知识点，在学习它们时，要主动敏锐地联想到它们和其他已经学过的知识点和概念有啥区别和联系/关系，比较它们有啥相同和不同，要知晓它们的区别和联系，在认识事物时，要有这种习惯和意识。这个也很关键，这样才能把知识点条分缕析，但又融会贯通，建立横向和纵向的联系，形成体系，形成知识网络，才能更好掌握运用，左右逢源，游刃有余，就像神经元突触相互连接的越多，通路就多，思维就灵活。例如在前面的漫谈1中已经提到学习平均数时要能想到它和抽屉原理的内在关系。学递归，就要主动想到它和递推的区别和联系；学正方形就要想到它和长方形的区别和联系。
第五个自学，就是看好书实战，自学自悟
首先要有兴趣，这个不只是针对数学学习，其他学科都要有兴趣才行。没兴趣除非是天才，不可能悟道数学思想方法。
从初中甚至小学高年级开始，要注重培养自学能力。
数学思维要在实践中训练锻炼，在掌握基础知识的前提下，有好的数学书籍，至少要有一两本数学思想方法的书籍，用适当难度适当数量的题实战，通过实战进行数学思维训练，运用和体会如何利用数学思想方法来解这些题，勤于思考，善于总结，在实战中自学数学真不难。
上培训班和学校老师主导下的不注重思维训练不注重思想方法的高强度刷题，搞题海战术，是一将功成万骨枯的玩法，追求的是短期结果，不是长久之计，误人子弟，不是正道。要知道题目题型和花样是无穷无尽的，工作后独立从事技术工作碰到的问题也是多种多样的，怎能刷的完？这样刷题，锻炼的是机械的反应，事倍功半，难以量变产生质变，难得要领，难以提升学生的思维层次，学生一旦独自面对新题型新问题就傻眼束手无策，因为他没有从刷题中掌握方法论掌握数学思想方法。再说很多教学的老师自己并没有亲自做题没有自己思考，是拿着现成的解题过程解题答案来教，这样的教学谁不会？
要在有限的时间内去面对无限可能的问题，我们应该是在做题时根据自己的实际情况，在掌握好基础知识的前提下，选择有价值的经过思考之后才能做出来的有一定难度的题来做，在做题中过程中注意锻炼自己的数学思维能力，运用和体会数学思想方法。对这些题无论是成功做出来还是没做出来，都不是解题的最终结束，最后都要进行回顾，总结反思解题过程中运用数学思想方法的得与失，经验和教训，以及暴露出来在知识点和概念掌握方面的不足。做题实战最主要的目的是为了锤炼数学思维能力，掌握一套数学思想方法论，提升自己的思维品质。思维能力锻炼出来了思维品质提升了，以后即使从事非数学专业的工作也能受益终生。铁打的营盘流水的兵，以不变应万变以少胜多才是正道，不变的少的是数学思想方法，我们通常用到的数学思想方法大概有30多种，显然远没有题目和问题多。这样学习，比题海战术效果要好很多。
书很多，时间有限，要读好书读经典。现在糟粕书很多，要能分辨好书。什么才是好书，好的数学书一般要做到深入浅出，知识体系完整，循序渐进，要对书中内容、解题方法、解题规律解题技巧进行归纳总结和比较，对知识点要有它和其他知识点之间的区别和联系的讲解，这个前面提到过。如想学习数学思想方法，想悟大道，就买有数学思想方法内容的书来看，翻开书的目录，如果有联想、类比、归纳、分类、抽象、转化(化归)、数形结合等数学思想方法，再稍微看下对应章节的内容，看一两道题，如果感觉讲的比较透彻，对自己思维有启发有收获，那基本就还不错。如果我当数学老师，讲授基本知识点之外，会给学生推荐高、中、低三种层次的好书让他们选择去自学，当然也会结合具体的数学题来讲解解题技巧、思维过程和数学思想方法，启发式教学，但不会要求初高中学生必须听老师讲课，鼓励自学，鼓励提前学。
对数学思想方法的学习,还是理论和实践结合,纸上得来终觉浅,最后还是离不开做题实战。人要自知,自己应该是最了解自己学习上的缺点和不足的,要知道数学知识体系,对照这些知识体系，对比发现自己的不足在哪里，薄弱点在哪。再找适合自己,能帮助自己提高的,要能思考下才能做出来的有价值的题来刷,有意识的运用数学思想方法和解题策略。做题最后要进行反思，这个前面已经提到过。这就是在解题中逐渐领悟数学思维之道的过程。
为学日益，知识点要掌握的多，注重知识面的广度。悟道数学思维，在思想层面要为道日损，也就是每做一道有价值的题都能对数学思想方法和解题策略的理解更加深刻，思想层次提升，越来越精炼越深邃，大道至简，对数学思想方法的运用越来越纯熟，越来越自然，不留痕迹，向无为而无不为的境界靠近，这样锻炼数学思维，不需要刷太多的题。
我们的教材和教学方式存在严重问题，培训机构性价比不高，也是缺少有深度的思想方法和思维过程的启发引导，所以学有余力的(老师的大多数作业一看就会的学生)想要培养数学思维，建议在初中阶段，在上完老师的课之后，剩下大部分时间主要是看好书好的参考书自学，自己看有思想方法的书;高中更要自学，要有*支配的时间去自学，要能自己主导自己的学习时间和学习内容,不要被别人主导。除非碰到明师，但明师有几个，所谓数学特级教师都不一定悟道，遑论悟道还有层次深浅，有名不一定有明，所以能碰到几个明师？即使有明师，也只是偶尔点拨下，还是要自己实践。通过这样的思维训练，一路下来，至少大学理工科本科阶段不用听老师讲课，自学就行。怎样检验这样的自学方式是否适合自己？如果这样学习，数学成绩或理工科成绩比大多数同学好或比别人轻松，碰到新题型新问题能较快找到解题思路和解题方法，大多数难题的解题思路用自己掌握的这套数学思想方法论和解题策略能自圆其说能自洽，并且自己确实是运用这套方法论和解题策略探索出解题思路和解题方法的，那这样自学就是对路的，否则还是跟随老师。
我们的教育方式培养出来的学生很多没有数学思维，没有掌握数学思想方法，不知道怎么学数学，没悟大道，到老都是迷糊的。等到他们做家长了，大盲带小盲，大迷糊带小迷糊，指导不了孩子的数学和物理学习，对如何解数学难题没有自己的一套思想思维方法论和解题策略。家庭条件好些的就上培训班，人傻钱多的活例子。其实只要掌握正确的学习方法，对大多数学生，只要有兴趣，愿意静下心来自学，通过自学，数学真不难，和老师和学校好坏关系不大。初高中，在老师课堂上掌握了基础知识，高中有些学生自己都能自学数学教科书上的基础知识。家长买几本好些的数学思想方法书籍让孩子在家或学校自学，自己思考，一遍看不懂就多看几遍。自己看书思考，印象深刻，几十年都不容易忘记。如果有好的数学书籍，老师用这些书籍教学或学生自学，其他情况再差，例如所谓的差学校，对大多数学生只要肯自学肯思考也是可以学好数学的。明白些的老师找些好的题目和试卷来讲解数学思想方法和训练学生的数学思维和解题技能，这个也不错，但我更推荐买好的数学书籍自学，只要一支笔几张纸几本好的书就行。自学数学也比花钱上培训班强多了，上培训班来回奔波浪费时间和金钱，并且培训班大多学的是雕虫小技，不悟大道，培养依赖老师的坏习惯，丢掉了培养自学能力的好机会，贻害终身。初中生还要上培训班学数学是很挫的，基础知识绝大多数学校都可以教好，掌握基础知识后学生自己看好书自学提高，所以数学学习和老师及学校好坏关系不大，主要是学生自己的事情，物理学习也是这样，其他学科的学习几乎也是这样，这样学习就抹平了所谓学校的差别和地域的区别，和上哪所初高中学校和大学没多大关系，即使不上大学，很多专业通过自学都能成才。现在网络基础设施和互联网、电商、资讯信息、出版业、交通、物流这样发达，不出户知天下，寒门学子农村学校的初高中孩子也能通过自学和大城市的几乎对齐，真在初高中掌握了数学思想方法，对大多数理工科专业，如果不考虑文凭，至少本科阶段不需要上大学不需要老师，在家自学也能学的很好，不就是那几本书，自学还能不受制老师和学校，挑选好书来学。除非操作性示范性强的或很前沿的，例如学游泳最好找老师。谁说没有好老师，好书就是好老师！用好书自学就是好老师在教你在点拨你，就是在与明师对话，真悟道明师本来就非常少，况且在现实生活中是很难碰到的！这是现实情况也是大实话，信不信由你。这样自学，何乐而不为？初高中，非要浪费那多时间在去培训班的路上，非要浪费钱去上没有数学思想方法的培训班？事倍功半，其出弥远，其知弥少！成为高层次人才要立足于自学。
自学，搞清楚知识体系和知识结构是怎样的，再找对应的好的书籍学习。如何找到好书，找明眼人推荐或一些网站上有推荐。对数学，讲数学思想方法的书籍，在淘宝上用‘数学思想’或‘数学思维’或’解题策略’或‘解题方法’关键词搜一下，例如有本浙江大学出版社的<更高高妙的中考数学>，我看了下目录，似乎还凑合，好像这个出版社还有高中版。也可以用'数学竞赛'或‘奥数’关键词搜，因为这些竞赛书一般都有讲数学思想方法或解题技巧解题策略，看这些竞赛书的目的不一定是参加数学竞赛，我们主要目的是掌握书中的数学思想方法，训练培养数学思维，这个才是核心。这类书籍中也有很多是滥竽充数的，有的一般般，不深刻，例如某大学校长写的<<数学基本思想18讲>>,这种书就比较鸡肋，食之无味，要注意识别。80年代，中国科大数学系几个教授写的书不错，号称奥数五虎上将：常庚哲、严镇军、单墫、苏淳、杜锡录，他们都曾是国家队奥数教练，名至实归。
也可以看些思维方法论/思维学/创新方面的书籍或认知学、思维心理学、学习心理学、教育心理学方面的书籍。
要培养这样的思考习惯和学习方法，要悟道得道，自悟数学中的大道，提升自己的思想境界，别被其他因素误导误道。
如上，在学习方法上悟道，在思考方法上悟道，知晓了这些，理工科学习真不难。大学阶段，现在有图书馆和互联网，真不怎么需要老师，不需要经常去上课，自学就行，自学很好。
这样学习这样自学，不要急功近利，开始可能感觉比平常方式学习的人要慢些，但一旦悟道，以后就不可同日而语。
声明：下面这些题的解题过程是亲自做的，没有看标准答案或解题方法，很多没有答案，所以此处不保证解题的正确性和简单性。
小学题
别轻视现在的小学题，下面的前几道小学数学题，绝大多数受过高等教育的人还真做不出，名牌大学博士教授也是束手无策，他们大多并没掌握好数学思想方法，数学上没悟道，不信就试试。
第1题
如下图，长方体长宽高之比为4:3:2，切长方体的平面六边形有很多个。六边形顶点A1在边AG上，A2在边AD上，这些六边形中周长最小的为36，其他如图。求长方体表面积。
思维过程
当时碰到这题感觉棘手，无从下手，这题型小时候似乎没见过。首先要观察题目，理解题意。周长是六条边之和，这六条边是直角三角形的斜边，勾股定理，周长就是六个根号式（两个直角边平方和再开方）相加，其最小值为36，根据这些条件列方程，显然很麻烦，很快意识到这种方法不可行。
在解题时，如果经过仔细观察，努力探索一番之后，仍感觉自己的方法很繁琐或不靠谱，应该要意识到方法可能有问题，或有更简便更巧妙的方法存在，接下来通常应该进行反思，不要陷在里面出不来，要调整解题思路，要打破思维定势，这是一个解题经验。
除非是偏题怪题，小初高的大多数数学压轴题或难题通常是考察学生综合运用知识的能力，通常要能体现数学之美，体现思维之美，体现大道至简，因为出题人的良苦用心就是用这样的题来刻意锻炼和考察学生的数学思维能力，综合运用、灵活运用知识的能力，在考察中让学生体验到思考的艺术，体验领悟到思维之美，思想方法和解题技巧之美。先前说过，我们在现实中却阉割了，忽略忽视了这种体验思维之美、思想精妙的过程，舍本逐末，也是对出题人的不尊重，怎能不扼腕叹息。如果觉得解题繁琐不靠谱，那就很可能说明解题思路有问题，思想方法没用好，不对症不对路。
思路受阻，继续思考，换一种思路。周长最小，联想起多年前读书见过的两道题，第一道题问了家里小孩，他说叫将军饮马。第二道题暂且叫壁虎爬墙：壁虎要从一面墙上的A点爬到另一面墙上的B点，求最短路线。
将军饮马是运用对称将题目转化，将不熟悉或不好处理的问题(受约束的两点之间距离最短问题，为何叫受约束，因为要求中间必须经过河流，这是个必须要满足的限制条件，它相比普通的两点之间距离最短问题是强条件的、有约束的)转化成熟悉或好处理的问题(普通的两点之间距离最短问题，相对来说是无约束的，弱条件的)，两点之间最短的线是直线。通过抽象概括，给这个将军饮马问题在数学上取个名字，称为受约束的两点最短距离问题，取名字就是下定义，定义一个概念。数学上取名字有讲究的，简练又要能概括反应问题本质，定义好的名字就能帮助我们思考，名字中承载了信息和属性，例如我们能从这个名字中的‘’受约束‘’联想到不受约束，进而联想到普通的两点之间最短距离问题。这个也能体会到抽象概括出概念的好处。
壁虎爬墙是把一面墙翻转到和另一面墙在同一个平面上,将三维问题转化成二维平面问题，最后也是利用两点之间直线最短来解决问题。
先前也看到小孩学校作业有将长方体展开成平面的题。所以综合这些，联想到将长方体展开成二维平面后，应该也会类似利用两点之间直线最短来解决问题。这里的展开就类似将军饮马中的对称和壁虎爬墙中的翻转，可以做如此类比，它们都是实现转化的具体手段，可见这题和将军饮马、壁虎爬墙都运用了转化这种思想方法，但实现转化的底层具体手段不同，将军饮马的具体实现手段是对称，这题是展开，将三维问题转化成二维。我们在讲解将军饮马这个题时，应告诉学生使用对称的目的是为了转化问题，给他们讲解‘’转化(化归)‘’这种高层思想方法的意义内涵、外延等，让他们知其然也知其所以然，这样在碰到当前这个问题时就可能会想到用转化，否则很可能会想到使用对称，这题用对称是不靠谱的。
将军饮马和这题的联想、类比，以及它们之间的对应关系如下图。
可见层次越高，越稳定，层次越低，变数越大。
将长方体围绕矩形CDHE展开，其他5个面最终和CDHE在同一平面上。把长方体当成一个纸盒子，大脑中想象沿棱CB、BA、AG、GH、HE、FE剪开，之后进行翻转展开，例如把BCEF绕棱CE向外侧向下翻转到和CDHE共面，接下来把ABFG绕棱BF继续翻转到和CDHE共面。先在纸上画出矩形CDHE，眼睛要盯着题目原图，在脑中想象展开过程，同时用笔将大脑中的展开结果一步步画在纸上，展开时要注意长方体中的一些拓扑关系在二维展开图中是不变的，在展开的平面图中把六边形的六个顶点A1~A6画在对应的边上，连成6条线段。
三维立体图形的展开，如果单纯靠空间想象能力，展开过程比较困难且容易出错，也比较缓慢。如果眼睛盯着原图长方体看，结合拓扑的不变性，就可以较快画出正确的展开图。
最终的展开图如下图，图中A1到A1'两点之间的6条线段(A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A6、A6A1')加起来就是六边形的周长。在不同的位置切，产生的A1A1'线段是平行的，任意两条A1A1'都构成平行四边形，也就是所有的A1A1'长度相等(图中只有一条A1A1'线段，可以自己再画一条验证下)。因此这6个点在同一条直线上时，就是周长最短的情况，观察图形，可发现A1A1'N是等腰直角三角形，A1N=A1'N ，因为A1和A1'在长方体中本来就是同一个点，只是展开后，A1变成了两个点，因为重名在解题时不便于描述，将其中一个点改名为A1',因此它们到N的线段长度相等是有根据的，另外展开图中A1A=A1'A=NM也好理解，也是因为A1和A1'是长方体中的同一个点，由A1A=A1'A=NM也能推出A1N=A1'N。
前面说过辩证法中的普遍联系观和数学中研究数量关系。上图中的A1N=A1'N表达了A1N和A1'N之间相等的数量关系；A1N=3a+4a+2a=9a也是表达数量关系；题中使用的勾股定理，描述了直角边和斜边之间的关系。关系在数学中几乎是无处不在。
这题中我们并不需要把a是多少和长宽高是多少算出来，题目的目标是求表面积，没有说要求a或计算长宽高，可能有的题在计算过程中要计算出长宽高才能得出表面积，但这题并不需要这样，最多只要算出a的平方即可得出我们的答案，没必要浪费时间算出a的值。我们要始终关注真正的目标是什么，这样才能少走弯路，这个也是在解题中要注意的地方。设而不求，设了未知数但并不把它求出来，因为没必要求出来，这个也是一个解题技巧。
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。运用正确的数学思想方法指导思维，就靠这点思想火花，就能扭转形势，指引我们探索出解题方法，找到解题突破口。
总结反思：使用到联想、类比思想方法，思路受阻时要及时反思灵活调整变化思路，换一换思路，不要一条死路走到底。
联想，从题目中的周长最小，联想到将军饮马和壁虎爬墙问题，这两题中都有长度最小，这是基于相同点相似点的联想或者说类比。进而再类比将军饮马和壁虎爬墙中的转化思想，三维立体向二维平面转化(复杂转简单，通常是三维复杂，二维简单，有时不是这样，反而二维复杂，三维简单，思考下有哪些是这样。所以要讲辩证，要灵活，具体问题具体分析，要看情况看条件，不能机械僵化地认为三维一定比二维复杂)，具体如何在这题中进行转化，要联想到学过的见过的长方体展开来实现三维到二维的转化。数学思想方法的运用不神秘，例如联想类比，有时就是根据题中的一些蛛丝马迹来进行联想类比，基于不起眼的一句话、一些单词词语、一些相同点或共性、一些不同点、一些概念定义(例如三角形)、一些性质、一些属性、特性、特征特点、关系、一些规律、或要解决的题想到类似的题、基于题中的一些数学对象(元素)的特征性质。
这题通过联想类比和转化，我们找到了解题突破口和解题思路：合理猜想，合理猜测，合理推理，将长方体展开，可能会用到两点之间直线最短来解决问题。试着展开后，进一步发现确实如此，验证了解题突破口和思路是对的。我当时做完这题，自己都为我自己的思想点赞了陶醉了，数学思想方法真神真有用！真的！也为这个出题人点赞，太高了，咋想到出这样的题，出这样的题比做题难，有时提问题比解决问题难，确实！于我心有戚戚焉！
从该题中可以看到，思想决定了行动，我们的思维在数学思想方法(此题中是联想、类比)的指导下，较快地找到了，探索到了解题突破口和解题思路：把长方体展开，这就是解题操作，这就是解题行动。展开在这题中是最难以想到的关键的解题操作，没有数学思想方法做指导，一般人很难想到，但如果掌握好了数学思想方法，这个展开操作很可能是可以推理出来可以较快猜测出来的，不是什么神来之笔，不是少数人才能掌握的艺术，而是多数智力正常的人可以掌握的技术，或者说我们通过运用数学思想方法和解题策略，把有挑战性、创造性的、靠灵感的含有艺术成份的事情，变成了较形式化、公式化的技术成份的事情，变成了有套路、有模式的事情，从而减低了对人的要求，普罗大众都可以掌握了，不过数学思维的艺术性也始终是存在的，只是多少而已。
当然经验和知识点也很重要，巧妇难为无米之炊，知识点是食材，必不可少。我们先前做过将军饮马、壁虎爬墙这些题，学过两点之间直线最短、长方体的展开这些知识点，如果没有这些经验和知识点，光靠数学思想方法来空想也很难做出这道题。但这些经验和知识点都是靠联想、类比这些数学思想来把它们从大脑中唤醒，先前它们是在大脑的知识库中沉睡的，没有联想、类比作为主人来召唤指挥它们驱动&运用它们&协调组织它们，它们是不会主动&有序发挥作用干活的。此外，对勾股定理这个知识点，在展开之前，对六边形的六条边使用勾股定理是没效果的，是错误的用法错误的解题操作，展开后在三角形A1A1'N上运用勾股定理才是正确的有效果的，前面也说过知识点是被动的死的没生命力的，要靠思想方法指导下的高效思维活动来盘活它们，来指挥它们做正确的事情。
其他反思：这题能体会到放与缩、强条件(加强)和弱条件(减弱)、一般和特殊(两点之间最短距离问题是一般，受约束的是特殊)的辩证关系和相互转化思想。
出题人思维
解题和出题也是一对矛盾，它们对立又统一。这里探讨下出题人如何出数学题，有些肤浅的初步体会。和数学解题一样，出题人要出题，也要进行变化，也要运用数学思想方法、解题策略和辩证法来指导进行变化。具体怎么变的方法应该有多种：一些题是基于数学概念、公式、定理进行一些组合与变形而产生。一些题来自于现实中具体问题的抽象提炼和变形。一些基于旧题加入一些变化，组合加入一些因素来增加复杂度来绕弯子，增加难度。如何变化，可能会运用矛盾辩证双方的相互转化、数学思想方法(联想、类比、转化、逆向思维、数形结合等)、关系思想，各种有联系的双方来进行变化。当然还有其他方法。
将军饮马问题和壁虎爬墙的出题人，我猜测是运用了矛盾辩证中的相互联系相互转化，具体到将军饮马就是运用一般和特殊的相互转化，把弱条件问题(约束少)转成强条件(约束多)问题，把普通的一般的两点之间最短距离问题变成这个特殊的题(将军饮马)。而我们做将军饮马问题时，要反其道而行来返本归元来溯源，要反过来想办法找到解题突破口，逆向思维，想具体办法来从特殊转化到一般，强条件转化到弱条件，或从一般中获取经验启发再移植运用到或对应到特殊问题中。
利用数形结合思想，如果出题人是运用‘’形转成数‘’来出题，解题人就要数转成形来进行解题。利用抽象到具体来出题或具体到抽象也类似。
有些题，出题人将数学对象之间的关系和特点、规律通过一定的手法来隐藏或弱化或在物理或逻辑距离上分离，让题目在表象上复杂化或造成干扰误导让你上当。此时我们在解题时就要反过来，就是要善于观察出本质，观察出蛛丝马迹，要见微知著顺藤摸瓜，要综合运用数学思想方法来让隐藏的题目规律、关系、特点由隐到显，让它们凸显现形。
将军饮马可能来自现实生活，这里只是用它来举例子说明如何出题。壁虎爬墙的出题人可能是基于将军饮马(此时它就是旧题原题)通过联想类比进行变化再结合现实想出来改编出来的。
利用等式和公式的变形，例如1/a - 1/b = (b-a)/ab来出题，估计考小学生的分数裂项题就是这样来的：1/2*3 + 1/3*4+1/4*5+...+1/99*100，要分数裂项。看到这题，肯定不是蛮干，可能有简便方法，先整体观察这个式子，发现它的特点规律，再看1/2*3或把这些抽象成1/n*(n+1)，分母是n*(n+1)，要识别出这是分数(分母为相邻的自然数相乘)。如果眼拙不敏锐识别不出，一个诀窍是尝试给这个1/2*3或1/n*(n+1)取个数学意义上的名字，也就是抽象概括，就知道它们是分数了，当然这个1/n*(n+1)还谈不上抽象概括，我们只要根据它的特征，联想到意识到它是分数就是识别出它来了。基于分数这个概念，在脑子中搜索学过的一些关于分数的知识点，就可能联想到学过的分数相加减的通分规则(通过联想来做桥梁，来穿针引线，想到分数相加减的规则或相加减的公式这个知识点。联想的对象有很多，不只是联想到知识点，可以联想到问题，联想到其它，例如由甲概念联想到乙概念)，反过来想到这些1/n*(n+1)是怎么来的怎么产生的，猜测它的初步来源可能是这种形式：一个分母为n的数减去一个分母为n+1的数，分子暂时不知道不要紧，先知道大致大体的形式模式，后面一步步来确定就行。当然可排除一个分母为n的数加一个分母n+1的形式，因为这样解决不了问题，批判性地排除否定这种形式。广义来说就是基于A与B的可相互转化的关系思想相互联系的思想来出题，出题时基于A到B，题目形式是B，B比A难，就像爬坡比下坡费力，正和反的难度不一样不对称；解题时要由B想到A。要有联想类比等能力，逆向思维的能力，要理解数学思想方法和关系思想、辩证法包括矛盾观中的一些具体的实例(抽象与具体、一般与特殊)在出题中的灵活运用。
碰到1/n*(n+1)*(n+2)这样类似的一串式子相加，如果做过1/n*(n+1)相加的题，就要想法把前者(不熟悉/复杂/没经验)转化成后者(熟悉/简单/有经验)来解题，后面再结合分类/分组思想方法。再次强调‘’转化‘’是个极其重要的数学思想方法，当然其他数学思想方法也重要，例如抽象、联想、类比、数形结合等。
解铃还须系铃人，有时解题时要和出题人有同理心，这也是一个解题经验。基于题目特点和性质，按照上面介绍的出题方法来揣摩、猜测、推测、设想出题人是怎么出题的，他可能运用了哪些数学思想方法和解题策略，原题可能是啥，他想考的是啥。说不定就和他们有共鸣有心灵感应了，就是他肚子中的虫虫一个鼻孔出气了，就看穿他们的出题伎俩和花招了，此时你就是系铃人，当然就会解铃了。要有慧眼善于观察，善于总结分析，要用数学思想方法、解题策略、辩证法来武装头脑来和出题人斗智斗勇。也可以自己出题来找感觉玩一下。
第2题
思维过程
原题5行5色,好像数字很小，但要得出m似乎不容易,一下子感觉没看穿问题，说明5这个数太大，复杂。这题也是具体中的复杂性,高不成低不就的。向上抽象似乎也比较难,没有理性认识,也没获得感性认识。
那就向下归纳简化，用几个具体简单的情况来获得感性认识，得到经验启发。
归纳简化时注意别失真，所以用1行1色，2行2色，3行3色来作为简单情况。
在草稿纸上画一画这几种简单情况的满足约束的涂色方案，获得对应的m值，能归纳总结出啥规律或结论? 这里留给有兴趣的去归纳。
我在草稿纸上画了几种简单的，也归纳出了答案。列是对称的，也就是平等的，调整列的位置不影响问题答案。所以我把草稿纸中涂色方案的列做了有序化的调整：调换列的位置，把第一行中相同颜色的列放在一起，也就是每列按第一行颜色分类/分组放在一起，照这样的方式，再按第二行颜色继续进行调整，如有第三列，类似。看着草稿纸上的调整过后的涂色方案，有了些感觉和感性认识，哦，恍然大悟豁然开朗，原来出题人玩的是这伎俩，突然明白就是计数中的乘法原理的展开图，也就是有了从感性认识到理性认识质的飞跃，量变到质变的层次上的飞跃。计数乘法原理现在的小学数学培训班是学过的。
根据归纳/简化得到这题其实就是计数中的乘法原理，把这个应用到原题上，5行就是5步，每一步都可以涂5种颜色，也就是每一步有5种选择，所以是5个(对应5步)5(对应每步5种选择)相乘为3125，所以m最大为3125。如果把这题进行一般化推广，n行n色，m就是n的n次方。
总结：归纳简化、对称、分类、秩序(排序、有序化)、联想。碰到难题，不要坐在那不动，要用联想类比等数学思想方法驱动/指导自己的思维，思维再驱动自己的行为：动手和动脑筋。要在草稿纸上试着画一画做一做，看着/观察草稿纸上的解题过程和答案，结合联想类比等这些数学思想方法，可能会获得感性认识和启发，也可能会获得理性认识，看穿看透问题本质。
第3题
计算题，提示下，可以用蛮力，但最佳方法肯定不是用蛮力硬算，肯定有简便巧妙的方法.
思维过程
显然这题如果直接算，感觉计算量大，用蛮力硬算就上当了，费时费力。大道至简，要相信思想之美方法之美，应该有简便方法巧妙方法。
这题虽然全是具体数字，但题目中的数字大(2016、2017、2019)，加上有分数，直接硬算显然不是出题人的本意。对这种具体却不简单也就是具体但比较复杂的题，前面提到过通常使用两种处理手法，第一种是在保证问题质的不变性的前提下，将问题向下归纳简化(复杂变简单，简单变更简单，具体变更具体)，用归纳法简化，试算几个具体但更简单的题，利用具体情况的简单性，如下图。从中找规律找经验，再回到原题上，利用前面找到的经验和规律来解决原题。这题如下图，通过归纳，可猜想推测出原题答案是1。这种归纳法不严谨，没有考虑所有情况，归纳出的结论或启发、经验、规律可能是错误的，或不适用于原题。数学归纳法和演绎推理才是严谨的，但这题是填空题，所以可以直接写出答案1。这种方法就是运用归纳法，归纳法其实是利用了具体问题的简单性，从特殊性到一般性的推理。
第二种是直接向上抽象，抽象就是抽取问题的本质，去伪存真，去粗取精，去掉一些和问题无关的因素和关系不大的次要因素，也就是过滤屏蔽掉’噪音’或降噪或过滤/规避了具体中的假象复杂性，这些噪音和偶发复杂性其实是干扰我们正确思维的东西，如果被它们吸引，它会误导干扰我们的思维，把我们带偏带到坑里去，走上歧路，浪费我们的精力，这题中几个具体数字(2016,2017,2019)的加减乘除运算就是假象复杂性和噪音。抽象就起到降噪的作用，简化的作用和规避具体情况中的偶发复杂性的作用，让我们直接针对问题本质去解决问题。通过抽象建立问题模型，围绕抽象的问题本质模型去解决问题，得到解决方案或规律，再把这个解决方案或规律运用到原题上。这题的其中一种抽象形式(模型)/一般形式如下图。
从上面的描述中可看出，归纳是一种简化，抽象也是一种简化。这题中应用抽象这种思想方法，主要是规避了具体问题中的偶发复杂性，利用了抽象情况中的简单性的一面。
我们平时都是凭感性，习惯计算具体数字的加减乘除和各种运算，厌恶抽象。如果你有这种思维定势，那对这道题，你很可能会按惯性去计算2017、2016、2019这些具体数字的加减乘除，计算这些工作量大啊，又没有简便运算，那就被噪声或具体情况的复杂性误导，带到坑里去了，或者说这些具体的特殊的数字反而掩盖/淹没了这道题的本质，导致看不清问题的本质，容易走歧路。但如果进行抽象，进行一般化处理，此时就自然而然过滤掉了这些噪声，避开了具体情况的复杂性，利用抽象情况的简单性、简洁性和普适性，这样反而容易看清问题本质，也就是把问题从具体转化为提炼为抽象之后，问题反而变简单了。看下面的图好好体会抽象对噪声的自动过滤作用和规避具体情况的复杂性，抽象一出来，整个世界清静了，噪声何在？复杂性何在？不畏浮云遮望眼，灵活运用数学思想方法，就有慧眼，就能拨云见日，好好体会具体（这题中的2016,2017,2019）的复杂性和抽象的简单简洁性。
这个抽象问题/模型的答案/解决方案如上图，是常量1，所以原题(n=2017)答案是1。
总结：这题是一题多解，分别运用了归纳法和抽象两种数学思想方法，当然要观察发现/总结规律发现特征，绝大多数数学题少不了观察，观察能力很重要。
第4题
100可拆分成多个正整数之和，有多种拆法，例如可拆为100个1相加或一个100或2+98或2+2+96或3+4+93等，每种拆法对应的乘积分别为1、100、2*98、2*2*96、3*4*93。求这些乘积中的最大值。
思维过程
100是先前说的高不成低不就的情况，两种处理手法或综合运用两种手法。
第一种，向下简化，试一下1、2、3、4、5、6、7、8等几种简单的情况，归纳出规律，再回到原题100上。这个留给有兴趣的人试下。
第二种，向上抽象，就是一个正整数m，拆成一个或多个正整数之和，求这些正整数乘积中的最大值。继续抽象，翻译成/表示成/表达成数学语言，就是a1+a2+a3+…+an=m，n为正整数，可为1~m。a1~an为正整数，求a1*a2*…*an的最大值。
从第一种方法中的归纳简化中可以知道，5、6、7这些数拆分后的乘积最大值是大于这些数的，例如5拆分为2和3，乘积为6，6大于5，根据这些经验和启发，类似地，a1~an也可能可以继续拆分。如何来进行拆分？其实这种题的关键处理手法是局部调整思想。在碰到多变量问题或做实验时涉及多个维度的影响因素时，一种策略是固定大多数变量或因素，只让少数变量或因素进行变化来进行研究或实验，这个就是局部调整。让多个变量同时变化，搅和在一起不好评估分辨每个变量的影响效果，容易混淆其作用。日常生活中，我们排队也是两两交换位置，经过多轮这样的两两交换，一步步来重复进行，最后就按顺序排好队了。每次局部调整后,评估其效果都是正向的优化的(其实我们是事先得出正向优化效果的充分条件，按这条件来进行调整，所以调整后肯定是正向的),趋向最终目标的,向最终目标逼近的。我们在日常生活中，很多事情也不是一步就到位的，对复杂的事情或难以一次解决的事情也是分步来做，饭是一口一口吃，不积跬步无以至千里，再比如小孩子玩魔方，也是一步步变换调整最后才成功，这个也是阶段思想的体现。
在满足a1+a2+a3+…+an=m这个约束的情况下,我们固定a1~an中的n-1个变量,也就是让其中的n-1个数的大小不变，只拿出1个变量来进行调整(拆分)。拿哪个?这问题中乘积最大值按乘法交换律,a1~an相互之间地位是平等的,没有谁比其它特殊,将它们任意两个互换对题目没有影响，也就是它们是对称的,这个是对称思想(广义)。广义的对称就是地位平等或作用相等，可替换可交换,例如小学的知识点加法变乘法,就是因为几个加数相同,这些加数对结果来说其地位和作用(贡献)是平等的，也就是它们对和是对称的。狭义的对称即轴对称，中心对称这些几何对称。既然是对称的，那就拿a1来开刀研究，研究出来的结论也适用其余变量(a2~an)，因此a2~an不需要再去研究，可见运用对称性极大地减少了工作量。
如何调整?就是把a1拆分下,拆分成两个数相加，再评估其变化后的效果,也就是乘积是否变大。联想到学过的两个正数的和一定，当它们最接近时其乘积才最大,这个也很好证明,略去，另外我们也可归纳得出该结论。最接近,对正整数来说,它们最接近有可能是相等,有可能是相差1,要看和是偶数还是奇数。
当a1是偶数时,拆成两个相等的数a1/2。这两个数的乘积为a1平方/4,如果为正向效果(乘积变大),必须满足a1平方/4 >= a1,也就是a1 >= 4才是正向效果 ,为4时相等。
当a1 是奇数时,拆成两个相差为1的正整数：(a1-1)/2和(a1+1)/2.这两个数的乘积为(a1平方-1)/4,如果为正向效果，必须满足(a1平方-1)/4 >= a1,也就是a1 >=5 ,为5时拆分为正向效果。
为啥把a1拆分成两个，而不是3个，4个或其他个？因为拆分成两个最简单，并且我们熟悉这种情况，也就是前面说的，我们知道两个正数的和一定，当它们最接近时其乘积才最大。并且我们可以把拆分后的两个数继续拆(一个数拆成两个数),经过类似这样的重复多次拆分,最后就拆分成多个数了,这就是递归。递归在日常生活中也经常碰到,例如一个大西瓜，我们先把它切成几大块，对每个大块，继续切，最后切成大小合适的。如果我们知道一次性把a1拆分成几个数并且知道每个数是多少，其乘积才是最大，那我们不就知道把m如何拆分了。但现在是不知道如何一次性拆分m，我们正在寻找这个最终的拆分方案，所以我们把a1拆分成两个数，而不是多个。
综合偶数和奇数的情况，我们把a1拆分出的两个数分别按类似的手法进行拆分调整，只要他们大于等于5就继续拆分。由此推理出只有拆分为小于等于4的数才是最优，4可拆分为2+2，且2*2=4。另外显然拆分出的数中不能有1,因为(a-1)*1 < a, 所以得出这些数只能是2和3。
从上面的结论可得出存在2x+3y=m的等式关系，x、y分别为2和3的个数(x、y为非负整数)。我当时教小孩也只想到这一步了。满足这样约束关系的拆分方案有很多，要比较出最大的还是困难，可能需要进一步研究，但想不下去了。后来在高铁上，没想数学问题，但脑子中突然想到2+2+2=3+3，但2*2*2 < 3*3，这就是灵感，很多人都有灵感，它在不经意中来到，不可预期，我小时候解题时当时就会冒出些灵感。后来反思了下，应该还是用归纳法和比较法，令x=0,1,2,3,4等进行归纳和比较。这步是关键，后面的就好办了。可得出2的个数不能超过2个，假设超过两个就至少有3个，那就把2每3个拆成3+3，所以最终最多只有2个2，也就是x=0、1、2。x=0,代入2x+3y=m,也就是当m能被3整除时，全部拆成3；x=1,也就是m除以3余2时，拆成1个2，其余都是3；x=2,也就是余1时，拆成2个2，其余都是3。x和y为非负整数，m为正数，所以x和y不能同时为0，可得出2x+3y最小值是2，所以这个结论对m >= 2成立，m为1时，只能拆成1。把这个抽象问题的普适解决方案应用到具体的100中，可得出把100拆成2个2和32个3，所以其乘积最大值为4*3的32次方。
这题更容易理解的解法是从a=m开始调整，也就是从一个数开始拆分，这个其实是上面解法中n=1的情况。当a>3时把a拆分成两个正整数(按前述的奇偶性来拆分a)，再把这两个正整数按此规则(大于3就继续拆分)继续拆分，一直递归拆分下去，直到都不大于3，得出2x+3y=m。
局部调整蕴含分阶段思想和递归思想，而阶段思想和递归思想又体现过程思想和运动发展思想。
总结：归纳(简化)、抽象、局部调整、逻辑推理。这题也可以体会下抽象的简单性。
第5题
n个正数之和为定值m，显然满足条件的n个正数(变量)有无限组。求n个正数乘积的最大值。
和第4题有点类似，第4题是正整数，这题是正数。是我把第4题泛化推广到一般情况后的抽象题。适用于初中生，小学六年级学生也能听懂解题方法。
思维过程
这个题其实是初中学的一个不等式，如下图，但我们要用小学高年级也能听得懂的方法来证明。
如果做过第4题，看到这个第5题，脑子应该要能联想类比到第4题的解题方法，也是局部调整。再结合上分类法。
第1种情况，当n=1时，显然乘积为m。
第2种情况，当n=2时，2个正数的乘积最大值很容易求得，当这两个正数相等为m/2时乘积最大。现在的小学数学培训班还要学生背过口诀，和不变(定值)，积最大。
第3种情况，当n>2时，a1+a2+…+an = m。此时我们固定n-2个数，那剩下的两个数的和就是定值。回到n=2的情况，我们把这两个数调整为相等时，这两个数的积最大，也意味着n个数的乘积经过这样的调整，也变大了。经过多轮这样调整，可以预见，只有当这n个数相等时，这样的n个数的乘积才是最大。
严谨的证明，a1~an的n个数是对称的，所以我们规定a1到an的n个数按从小到大的顺序排列，a1 <=a2 <=a3 <=…<=an,这里运用到了有序化思想，基于对称性，只研究这种情况就够了。如果a1不等于an，则固定a2~an-1这n-2个数，这样只有a1和an是可变的，但它们俩的和不变，注意到‘它们俩的和不变’这句话，这个符合第二种情况，按第二种情况的结论，所以我们可以把它们俩调整为相等(和的二分之一)，此时它们俩的乘积变大，也意味此时n个数的乘积变大。调整之后重新进行排序，排序后很显然最小的数变大了（最小的数可能为原来的a2或(原a1+an）/2,无论是哪一个，都比原来最小的a1大），最大的数变小了，也就是最大数与最小数的差变小了。如果最小数（最左边的数）和最大数（最右边的数）还不相等，那就继续按类似的方法进行调整，乘积变大，而最大数与最小数的差会继续变小。只要这个差不为0，就一直调整，按上面的调整效果，只有差为0时乘积才是最大，也就是此时最大值和最小值相等，这时显然这n个数相等。
综合n的3种情况，无论n为何正整数，都是这n个数相等时，乘积才为最大，此时最大值等于不等式左边。
局部调整再举一些例子，有时我们先把条件放宽/放松或去掉一些条件或约束，求出和问题较接近的答案，再基于这个答案进行小的变动微调，得出满足题目所有条件和约束的最终答案，可以认为是放缩，先放后缩，先粗后细，先得到一个初步的结果或状态，接下来逐步进行精化/调整，逼近最终的结果或目标状态。
总结：局部调整思想、分类思想、对称思想、秩序/次序思想、逻辑推理。也可看出，对称性思想有时要结合有序化思想。
第6题
7条直线最多能将平面分割成多少个区域？10000条直线最多能将平面分割成多少个区域？
思维过程
这题也是个具体的题，直接抽象不好处理。那还是先前的思路，归纳简化，用几个简化的具体题来找规律找经验。
简化的题：1条直线能把平面最多分成几个区域？很自然，我们会在草稿纸上画图，形象思维观察，可得出是2个。 2条直线类似画图得出最多4个区域？3条直线最多7个区域，4条最多11个。从这些简单情况中可以归纳共性，总结得出所有直线都要相交才能分割出最多区域。我们可以通过研究几种具体的情况，归纳得出n条直线最多把平面分成多少个区域，对此题就是一个公式，这处就不写了，下图中有。不过归纳靠数感，靠看透内在联系内在共性的能力，靠合理猜想的能力，这些造成归纳有时比较费力费时间，即使归纳出来还要证明这个归纳出来的结论。
我们通过归纳已经得到了一些经验：这些直线都要相交才能最多，不能平行。但如果觉得最后难以归纳出这个公式，我们可以结合使用递推思想。递推首先要有基础，也就是起点，第二是要有递推关系，这个其实类似数学归纳法。从起点开始，起点一般比较简单，容易研究清楚，也就是容易获得起点情况下的结论和答案，再基于起点通过递推关系从前一步(也可能是前几步，也就意味着要有多个起点)的结论和答案推出后一步的结论和答案，由前面(前驱)推出后续的，如此重复进行，递推也体现了阶段思想和过程思想。例如我们爬楼梯，不是一步登天，而是一步步来，后一步是建立在前一步的基础上的，建立在前一步的成果之上，不积跬步无以至千里。再比如我们建3层楼房，肯定不是直接就建第3层，那是空中楼阁不现实，而是先从第一层建起，这就是起点，起点的成果是建好的第一层楼，继承和利用第一步的成果，第二步在第一步第一层的基础上迅速建好第二层，第三步类似，继承和利用第二步的劳动成果，如此重复就完成了。与此类似，回到此题，一条直线就是基础，就是起点，我们很容易获得起点的结论：一条直线最多把平面分成两个区域(两半)。这个结论就是我们的劳动果实。对两条直线，只需在前面的1条直线基础上再画一条线就行，不会重新画两条线，同时也要继承1条直线时的劳动成果(结论)，不能重新从0开始数划分的区域个数，而是要研究如何在1条直线的结论(劳动成果)基础上迅速得出2条线的结论(劳动成果)。类似，对3条直线，在前一步的2条直线基础上再画一条直线就行，不会花时间重新另外画3条直线，也不会重新数3条线划分的区域个数，而是研究如何从2条的结论迅速得到3条线的结论。也就是递推时要找出前后结论之间的联系：递推关系。在画第三条直线时，要看图找规律，发现画了第3条直线后，第3条线和先前的两条线相交，在第3条线上产生了两个交点，这两个交点把第3条线分成3条小直线，每条小直线把原来的区域一分为二，所以总共增加了3个区域，因此3条直线的区域个数是2条直线的区域个数加3，增量为3，这个就是我们找出的具体情况(case)的递推关系，类似4条直线的区域个数是第3条直线的区域个数加4，增量为4。可看出对4条直线，我们没有对4条直线划分的区域个数重新开始计数，而是在3条直线的区域个数上加上增量就得出了结论。对5条、6条直线的情况也可体会一下，如果不通过这样递推，而是每次都重新从第1条线开始画，每次都重新对区域从0开始计数，显然很花时间，也浪费了我们前面的劳动果实。如此递推，我们可以较快算出7条直线的区域个数。但要用这种具体情况下的递推关系算出1万条直线的区域个数显然很费工夫,不现实。另外，我们是否能从这些具体情况下的递推关系归纳得出抽象的递推关系？
怎么办？既然具体到此不适用了，就像在接力赛中它已经尽了它的力量完成了它的使命，具体不行就抽象，这个也是先前辩证法中提到的解题策略，要变一下思路。我们还是要回到抽象道路上,上升到抽象情况。我们下一步要用抽象了，也就是要找n-1条直线划分的区域个数和n条直线划分的区域个数之间的关系，把这个抽象的递推关系找出来。抽象是一种很强大的武器，先前说过研究具体的简单的问题有时能启发我们，帮助我们看清看透问题，但不是所有的都如此。对这道题，我们研究了几种具体情况，确实得到了一些启发，对我们解题很有帮助。但有时具体情况太琐碎，从具体情况得出的具体的结论层次不高，有个性/特殊性。具体的情况也数量多，而抽象出的东西是少数，有共性一般性，它的层次更高更有普适性统一性更深刻更本质，此时抽象可能可以帮助我们更透彻更高层次看清问题或更方便处理。我们可以从上面的具体情况归纳得出抽象形式的递推关系(其实我们在前面根据1条线、2条线、3条线、4条线这些具体情况获得的启发:例如3条线的区域个数是2条线的区域个数加3，4条线的区域个数是3条线的区域个数加4，已经非常容易归纳得出这个抽象的递推关系)：n条直线区域个数等于n-1条的区域个数加n,翻译成更简洁的数学语言就是an=an-1+n。如下图，其中an代表n条线把平面分割成的最多区域数量,an中n是数列下标，不好打下标，凑合把n和a写成一样齐。这些a1、a2、an，+-这些以及这些递推关系等式都用到符号化思想，这里不介绍了，这个从小学一年级就碰到，司空见惯，对研究的对象取名字(命名)或编号也属于符号化思想。
根据这个抽象的递推关系，再结合a1=2这个基础，基础作为递推的起点，可得出an数列的通项公式，如下图。
数形结合中的形就是利用问题中的图形或广义上的形象思维来帮助我们获得洞见，利用图形的直观性来解题来发现规律来获得洞见，通过视觉观察，就能得出规律找出解题突破口。如果题目中没有图形，那就主动去想象去可视化，去找问题中对应的图形或把题目中的一些已知条件和关系转化成对应的图形。
数形结合有两个方面，第一个是数转化成形，转化成数的几何解释或对应的几何图形或图表，例如小学低年级的应用题,不会解方程，我们就教小孩把题目已知条件和数量关系转化成对应的线段，这些线段就是数对应的几何解释。初高中，把方程代数问题转化成几何和坐标系中的图形，例如圆和坐标系中的直线等。另一方面是反过来，将形转化成数或提取形中的数量关系，进行计算。这些在初高中的题中都会有体现。
对一些难题，你在草稿纸上试着把解题过程写出来，观察纸上的图形图表和解题过程，这些纸上的东西就会激发刺激你的联想和思维，很可能就找到解题突破口或获得洞见，例如前面的第2题得到感性认识和理性认识。
形象思维,主要是指人们在认识世界的过程中，利用直观的形象(可能是大脑中想象的形象和纸上黑板上的图形等)，借助这些形象,观察这些图形来获得洞见或解决问题。形象思维不只是艺术家的专利，在数学和物理中也有很多应用，例如数学中的各种图形，例如矩形、三角形、二次曲线和物理中的磁力线。视觉是个重要的信息来源，俗话说一图胜千言,图形很直观,通过观查图形,可以很快地发现其中隐藏的一些特则和规律。
如上图，我们在草稿纸上画出多条线段，观察发现提炼总结图形中隐藏的特征和规律，发现直线上的交点和数量以及小直线把区域一分为二，以及小直线和区域的对应关系。
如上图，我们通过抽象，建立了抽象模型，然后利用求数列通项公式的知识点得出了抽象模型的抽象理论公式或解决方案，在上图中就是an的通项公式。
从抽象模型到抽象解决方案的过程，这个过程可能比较艰难，有难度有门槛，好比爬雪山过草地，但一旦想法跨过门槛得到了抽象解决方案，那就苦尽甘来，就对问题有了深刻本质的认识。另一方面，我们对抽象模型并不是手无寸铁，我们已经掌握了很多处理抽象模型的知识点和经验，例如这题中涉及到的求数列通项公式的知识点，所以不要害怕抽象，有了这些处理抽象的知识点做工具，抽象之后反而海阔天空，反而比具体要简单，这个也验证了抽象中的简单性。这题如果不用抽象，一直用具体，是难以快速获得答案的。
先前提到过，有些简单的具体能帮我们看清楚问题，但抽象解决方案才是这个问题的道，用它能帮我们更深刻更全面地看清问题。先哲说过:以道莅天下,其鬼不神。我们有了an通项公式这个道,还有啥不服帖的,不清楚的,10000条直线的情况也能轻易掌握。要好好体会抽象的好处和作用。
总结：画图形象思维、归纳简化得到感性认识，得到启发或经验&规律、转化、递推、抽象、联想类比到竞赛班学过的求这类数列通项公式的题型和方法。具体不行就抽象，抽象不行就具体，这是体现辩证法矛盾观的解题策略。
递推的起点不一定只有一个，根据题目的特点，有些题要用多个简单的情况做起点，也就是有些递推关系中要涉及到多个前驱或有多个递推关系。
如下图的正12面体，每个面是5边形，求它的顶点数和棱数。
思维过程
看到这题，首先联想到的是多面体欧拉公式：V - E + F = X其中，V是多面体的顶点个数，E是多面体的棱的条数，F是多面体的面数。这里F为12，但一个方程两个未知数V和E，解不出。
观察题目中图形可得出如下特征：这些面是闭合在一起的，一条棱被2个面共有，一个点被3条棱共有。联想到闭合的反义词，就想到把这个多面体拆开成12个5边形。这些五边形共有12*5=60个顶点和60条边，这些边和顶点与多面体的棱和顶点有对应关系：1个多面体顶点拆开后变成3个，1对3；1条棱拆开后变成2条边，1对2。
因此边和棱的总数也有这样的对应关系。
所以多面体的顶点数为60/3=20，棱数为60/2=20。
总结：通过观察识别发现规律/特点/特征/关系，利用这些来解题、联想(相反联想)、对应/关系思想。
显与隐：除了题目中已知的很明显很直接的信息(特征、特点、规律、联系/关系、矛盾、约束限制条件、不利因素、性质等)，我们通常还要通过观察来挖掘出识别出题目中隐藏的信息(特征、特点、规律、联系/关系、矛盾、不利因素、性质等)。观察在日常生活中是司空见惯，无时不刻都在运用。我们每天观察各种事物，照镜子、过马路前后左右甚至上下观察。医生望闻问切，观察或检查病人病情症状,再对症下药。
在解决问题时，对这些信息要进行初步的分析和分类，分析：这些信息相互之间是否有矛盾(注意这里的矛盾是指辩证法中的矛盾，不是逻辑矛盾),是否有不和谐。分类：一般分成两类，一类是良性信息，我们感觉顺手，便于我们解题，对我们解题起助益作用的，我们比较容易利用这些信息来解题，也就是我们很容易联想到运用掌握的知识和经验利用这些来解题，另一类是矛盾信息，在感觉上，我们觉得它们比较别扭，和其他数学元素不融洽。它们是妨碍我们解决问题的，就是因为有这些信息的存在，才导致解题困难，或者说我们对这些信息不知道如何利用或感觉难以利用，不顺手不顺眼。对题目中的矛盾和妨碍解题的信息，我们要想法进行转化/改造/变换/纠正，数学思想方法就是用来帮助我们找对策来转化它们改造它们，例如联想、类比、抽象、数形结合、整体思想、构造。
这题中也运用了辩证思维，利用了封闭和展开的辩证关系。我们观察图形，发现它的其中一个特征：多面体是封闭的，闭合在一起。这个封闭的特特就妨碍我们解题，增加了题目的难度比较棘手，让我们不好处理问题，不好计算顶点、棱数。这个特征绕不过去，必须要面对它解决它，此时就要对解题起阻碍作用的特点进行改造/转化/消除/克服纠正，所以我们就反向联想到要将多面体展开(拆解开)进行改造进行变化转化，只要一想到拆开(这是一个解题突破口，一道坎)，此时对敏锐的人，在大脑中立马就意识到问题想通了，因为想到拆开之后，大脑中立即感觉问题变简单了变熟悉了，整个思路通畅了,这个也是前面说的在大脑中'走几步'。
第一篇中提到过辩证思维词汇表，如果你的词汇表中没有这里的'封闭和展开'，那通过解这道题，就应该把'封闭与展开'这个概念对加到你的辩证思维词汇表中。
在前面的解题中也提到过要观察，在后面的第9题，观察发现倒数关系，再想法利用这个有利于解题的关系（这个是良性的）；第9题还介绍了辩证法中的矛盾分析法，先观察找出问题中的矛盾，对妨碍我们解题的矛盾进行改造转化，消除矛盾转化矛盾。在第13题中加辅助线和解几何题时，也要观察几何图形的结构特点，对格局不好的地方添加辅助线进行改造或观察发现几何图形的数量方面的关系，采用数形结合的方法来解几何题，例如第17题。第15题运用抽象的思想方法来转化，讲不好处理的具体问题转化成容易处理的抽象问题，第16题是运用数形结合的方法来转化，讲不好处理的方程问题转化成几何问题或对应的几何形式。算式、等式、不等式中的各种变形(例如合并同类项、或从左边移到右边，或等式两边平方、或分数的裂项)或几个数学对象之间进行各种运算（如两个方程相加或相减，两个数学对象相乘或相除）或推理产生新的数学对象和信息，目的都是为了转化改造，在变化中寻求解决问题的机会。
观察是一项基本的技能，几乎每道题都涉及到观察，另外不只是在解题开始要观察，在解题过程中也要敏锐地观察。
第8题
求时针和分针在一天中重合几次，时间从0点0分0秒开始到下个0点0分0秒（包括）。
这是我小时候读书时的题，这题当时不难。
思维过程
这个要能联想类比，识别出是个追击问题，不能换个马甲就不认识了。时针分针就是追击问题中的两个人或车，这里的速度单位是圈/小时,里程就是圈或角度(度数)。可见我们通过联想类比，建立了问题和已有知识点以及解题经验的联系桥梁。
时针的速度是1/12圈/小时，分针速度是1圈/小时。在0:0:0重合后，使用运动思维、过程思想，结合形象思维，在草稿纸上画出追击过程，也就是时针和分针的运动轨迹(从0:0:0开始到下一次重合位置),它们的运动轨迹是圆弧。观察草稿纸上的两个轨迹，就明白下次重合，分针要多走1圈(分针走的圆弧圈数比时针多一圈)，这个1圈就是普通追击问题中的初始相距的距离，也就是要多走的距离。普通追击问题的追击路线是非封闭的，这个时钟追击问题的路线是封闭的(圆)。下次重合需要时间为1圈除以（1-1/12）=12/11小时，其中1-1/12是分针和时针的速度差，也就是每小时多走的距离为11/12圈，现在要多走1圈才能重合(追上)，所以需要1除以11/12，也就是经过12/11小时才能下次重合。后面就是周期思想了，从0点开始，每12/11小时重合一次，所以每次重合时间可归纳抽象为12n/11，n从0到22，所以有23次。
总结：联想、类比、运动思想、过程思想、形象思维、周期思想。做题一般要观察，特别是碰到算式、方程、等式、不等式、函数、和图形等，形象思维更要观察。通过观察，发现和识别出题型、概念、规律、特征、性质、特点、关系/联系。观察时要伴随有联想、类比、归纳总结、比较、判断、计算、推理等思维活动。
总体感觉，现在的小学奥数真不容易，初中竞赛的不定方程、高中的排列组合计数在小学奥数中都有，还不是那种直接套公式的简单的排列组合问题。小学生经验和知识面、理解力都很初级，又很少教思想方法和解题策略。不用数学思想方法，这些老师是怎么教的？让学生知其然不难，关键是如何知其所以然的？
如上，从小学开始，我们就应该在具体的解题过程中给学生传授数学思想方法和解题策略来训练他们的数学思维，对他们进行熏陶和启发，让他们知其然并且知其所以然，要让他们有数学思想，掌握一套切实可行的数学思想方法论，用这套思想方法论来指导自己的数学解题思维过程，这样才是真正培养数学思维的正确教学方法。
家长不要担心那些只会雕虫小技的孩子超过了自己的小孩，不要急功近利，只要按照思想方法加雕虫小技并重的方式来进行解题思维的熏陶和训练，一旦悟道数学思想方法，在思维层次上立马超过那些不懂数学思想方法的小孩。
初中题
第9题
解方程，求未知数x。
思维过程
敏锐的观察能力，敏锐地观察发现 5-根号24乘以5+根号24=1，也就是倒数关系，又碰到前面说的关系。且5-根号24 开方可化简为根号3-根号2；5+根号24开方= 根3+根2。这些是我们的观察成果，要利用好这些成果来解题，不能轻易丢弃它们，在日常生活中，我们一般是因势利导，顺水推舟，根据人和事物的特点特性性质来合理使用来扬长避短，在解题中也是这样，对已知条件和发现的特点，特征、关系、规律要善于加以合理利用。
这些都是观察发现的题目中隐藏的数学对象之间的横向联系和特点、特征、规律，另外还要注意找出数学题中对象之间的纵向联系，也就是前后之间的联系。举个非常简单的例子，例如对如下的二元一次方程组:
7a + 4b = 13
5a - 4b = 11
我们观察发现这两个方程(数学对象)之间的纵向联系、特点：这个纵向特点就是b的系数是相反数，如何利用这个特点来解题？很显然我们将这两个方程相加来消除b，很快可求出a。
观察是有目的、有计划的知觉活动。观察，不只是观，不只是从事物表面上看看听听而已，不只是被动的感觉，如果只是观，那就是有眼无珠、熟视无睹，浮光掠影，还要察，要积极主动地深入分析思考，例如分析推理、分类、识别、联想、类比等思维活动。例如在这题中，我们通过观察，发现了题目中的倒数关系。
除了题目中的横向、纵向联系，其实联系是立体的多维度多层次的，还存在问题和知识点之间的联系，问题和其他问题之间的联系。在数学解题中要能体会到辩证法的巨大指导作用：普遍联系的观点，矛盾观点等。
但难题中通常都是存在矛盾的（辩证法中的矛盾，不是逻辑矛盾），这些矛盾会阻碍我们轻易利用已知条件、特点、特征、熟悉的知识点。难题中的矛盾描述一般类似如下：
我想运用一些熟悉的知识点和解题方法、经验、已知条件、题目特点、特征来解题，但题目中却存在一些障碍因素和约束条件来阻碍我们，导致我们不能直接运用这些知识点、已知条件、题目特点、特征。
对题目中的关系、特征、特点、规律、性质、线索，不管是已知条件中的，还是通过后续的观察发现的，或推理发现的，都要想办法利用好它们。如何才能想出办法来利用好它们？通常要结合题目的目标(需要证明什么、需要求什么)，运用数学思想方法和学过的知识点以及一些低层次的解题方法、数学方法来利用好它们。为何要结合题目的目标，要有的放矢，思维不能天马行空过于发散，因为可能有多种方法来利用这些关系、特征、规律、性质，如果我们结合题目的目标，就可进行比较权衡，可能会排除掉一些不合适的或非最优的方法，得到合适的方法。
例如求下图中函数的最小和最大值。
观察这个函数，能发现什么关系、特征、规律？
显然可发现右边两个根号式中的4-2x和2x+5这两项相加为9，是一个常数。这个就是我们观察发现的题目中隐藏的特征、关系、规律。这个特征、关系看起来微不足道，和警察通过发现的蛛丝马迹断案一样，要见微知著，要利用好这些关系来解题。
此时要反问自己如何才能利用好这个关系、特征。
题目中是两个根号项相加，不好直接利用发现的关系，要利用好，须想法去掉根号，所以接下来要思考怎样才能去掉根号？
联想到根号知识点和平方，就想到要运用平方去掉根号。平方法是学过的低层次的解题方法和数学方法。
其实求这个函数最小最大值的题，我们在上面的分析中使用的是辩证法中的矛盾分析法：识别出(找出)问题中的矛盾，特别是主要关键矛盾和矛盾的主要方面，题目中的有利因素/条件以及不利因素/条件(利与弊、便利与麻烦)，主要矛盾和不利因素在解题中就是难点的制造者和根源，就是问题的死结，就是它阻碍我们顺利解题。这些矛盾、难点、死结很可能就是我们要想法迈过去的坎，是我们要关注的解题突破口和行动策略行动方向的着力点。分析这些矛盾、难点、死结，再想法来解决矛盾，来转化矛盾，来打开死结，来最终确定解题突破口和解题策略从而解决难点。注意辩证法中的矛盾是指对立不统一，不是逻辑矛盾。数学题中的已知条件(题设)和结论就是一对矛盾，它们存在内在联系，但它们从表面上看不统一，存在差异，差异就是矛盾。另外多个已知条件(解题过程中得出的一些中间结论和中间结果也可认为是已知条件)之间也可能存在矛盾。对这道函数最值题，我们进行观察、分析、比较，找差异，差异就是矛盾。矛盾1：已知条件就是问题现状，这题就是两个根号相加，这个是矛盾的一个方面;要求最值，这是矛盾的第二个方面，它们存在对立存在差异存在冲突，根号阻碍了求最值，根号就是弊，不利的因素，麻烦制造者，增加了题目的难度，也就是这些根号的存在导致不便于求最值，这就是辨证法中的矛盾，由于矛盾的对立，导致出现解题困难，产生了所谓的难题；矛盾二：根号中的两项相加为常数9(矛盾的一个方面，相加为常数9也是在题目中隐藏的特征和关系，我们观察发现的成果)，显然，如果能运用这个特征来解题那就完美了，这个特征就是题目中的利好，有利的因素。但所谓的难题就是出题人人为制造冲突，制造不统一，存在矛盾从而使问题复杂化：这两项却在根号中(矛盾的另一方面)，导致不好直接运用这个特征来解题，也就是矛盾双方存在对立冲突，无法统一。此时就看我们解决矛盾转化矛盾的能力和艺术：分析矛盾的两个方面，进行比较，找差距，找出制造矛盾的不利因素，再想法利用熟悉的知识点并结合已知条件、规律、关系、特点、特征等来转化矛盾，来消除障碍和不利因素，来转化问题，来想法缩小差距，缩小鸿沟，跨过鸿沟。
此题我们想到了用平方法这个知识点来去掉根号，消除这个解题障碍，利用好观察发现的成果和题目特征，来解决矛盾，来转化矛盾，来缩小差距。运用平方法，两边平方，如下图。
平方之后，问题最终转化为求二次函数(4-2x)(2x+5)的最小最大值(自变量范围为:-2.5<= x <=2)。这个二次函数的最值问题是熟悉的。如上图，显然该二次函数的最小值为0，最大值在x= -1/4时取得。在此基础上，显然可得出y的最值。
反问自己如何才能利用好题目中的关系、规律、特征、性质、解题线索，此时一般要结合矛盾分析法分析问题中的矛盾和差距，想法利用好这些关系、规律、特征来转化矛盾，来缩小差距，是一个很重要的题解技巧和解题经验。在后面的解题中也有体现，例如第13题、14、17题。特别是在解题碰壁和尝试失败之后，要这样反问反省，要反问是否还有关系、规律、特征没有被发现、没有被利用(没有被用足，遗漏了一些关系、规律、特征)、没有被利用好，有时要反省失败的解题方法有啥问题，后面的新方法才能避免重蹈覆辙。
回到本题，在第一篇文章中提到过要把观察发现的东西用数学语言表达出来写在纸上，如下图第一行，我们就把发现的两项相乘等于1表达出来了，这样就变成了已知条件和已知信息。接下来要考虑如何利用好倒数关系？那就用整体思想进行代换，利用好发现的倒数关系，如下图。
另一种解法：这题观察发现两个数相乘等于1之后，结合题目已知条件:两数相加等于4,联想到一元二次方程韦达定理，构造出一元二次方程，其根为1和1/3,最后也能解出x。
总结：通过敏锐的观察能力发现其中的规律、特征、性质、关系，再想法利用好这些规律特征，一般要结合矛盾分析法来激发自己的思维。
一定要培养观察能力。 学数学要在做题中解决数学问题中悟道，体验思维之美和思想之美。在数学这个学科真悟道而不只是数学考试成绩好的人一般具有敏锐的观察、丰富的联想类比、灵活的构思、创造性思维的能力。
第10题
函数的最大最小值分别为6和2，系数a、b为实数，求系数a、b。
思维过程
这道题开始还真没啥多想的，很自然地进行等式变形。题目等式右边的分子分母都有变量x，不好处理，难以求出y的最大最小值，也不能变成只有分母或分子中有变量x的形式，既然不好处理，那就要变，要灵活，思维要转弯，不能死守着这个不好处理的等式坐在那里傻眼。具体如何变？对这道题，就是等式变形，换一种形式说不定就好处理了。
很自然地进行如下图所示的变形。
上图中的不等式 -8y平方+(24+8a)y+b平方-24a >=0,你画出左边对应的抛物线结合题目已知条件(y的最大值6，最小值2)，观察这个抛物线图就马上知道2和6是这个抛物线方程的两个根，这个也是数形结合形象思维的妙用。
转化变形成一元二次方程，马上联想到初中的一元二次方程有实数解的条件，也就是判别式delta要大于等于0。再联想初中的韦达定理。
第11题
如下图，一个二维长方形纸片，在纸片的任意位置任意方向挖一个任意大小的长方形洞，用一只笔、一把直尺、一把剪刀把剩余的纸片一刀一条直线分成面积相等的两半。
这是一道智力题，也是蛮好的考数学思想方法的题。是我在杭州某公司面试时碰到的几道智力题之一，当时智力题都做对了，也讲出了自己的思考过程。我后来拿来面试过10多个人，居然没人能做出来，思考过程没谱不着边际，有211大学的，有在美国知名大学念数学和计算机专业的。
思维过程
看到这题，马上联想到初中物理中的重心概念和找重心的方法。一条直线联想到几何中的两点确定一条直线。结合重心概念和两点确定一条直线，就要找出两个点，特殊点？重心？看图观察，立即猜想到分别是两个矩形对角线的交点，这两个点确定一条直线。再用逻辑推理验证或证明确认下，矩形对角线交点是重心也是对称中心。
踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫，思路对真的很快。数学思想方法就是一层窗户纸，明眼人轻轻点破，没啥神秘的。
面试中，很多人说要用尺把两个矩形的边长量出来，假设面积分别是a、b。然后想法把矩形剩余部分切出(a-b)/2,这个想法一看就不是通用的，在洞很小时或靠大矩形的一侧时，才可能切出面积为(a-b)/2的矩形。这种思维没有质疑验证的习惯，挖个非常大的洞，并且还是倾斜的，就知道不可行，题目中尺子没说有刻度，怎么量。
还有的说多次切分，调整逼近。
数学思维是塑造人的思维品质：思维严谨缜密、思维灵活性、系统性思维、考虑问题全面、批判（质疑）精神。我们的教育在这方面是失败的。
总结：联想、类比、猜想&验证确认&证明猜想
第12题
这题x为自变量，k为系数。
思维过程
首先按x的区间进行分类讨论。
第一种情况，当x <= 1/2时
第二种情况，当1/2 < x < 1时
第三种情况，当1 <= x < 3时
第四种情况，当x >= 3时
如下图。
总结：分类、因果关系思想/深入挖掘和推敲隐含的必要条件、形象思维(通过数轴合并值域时运用到)。
第13题
如下图。ABCD是边长为2的正方形，E、F分别为中点，求四边形DEGH面积。
初中数学少不了几何题，如何求解几何题，如何加辅助线，在哪加辅助线，也应该有思想方法来指导。这题不难，不加辅助线就可解出来，不过也可添加辅助线来解，这里就用加辅助线的解法来说明如何加辅助线和它背后的数学思想方法。
关于几何部分，在讲述上重复的地方较多，需要耐心多读几遍，有空重新整理下文字描述。
思维过程
解几何题，特别是觉的没头绪的难题，仍然要综合运用各种数学思想方法，例如：
观察&形象思维&数形结合：必不可少的肯定是要敏锐地观察。结合题目文本形式的已知条件，提取文本中的关键信息，例如几何对象类型(例如三角形、矩形)，线段长度、位置关系和各种数量和数量关系、各种特征：中点、直角、相切等，观察图形特点特征，例如图形结构、几何图形元素的位置关系、各几何元素的方向朝向、数量的的各种关系、把几何题中的已知条件和发现的特征、关系转化成公式、方程、等式、坐标等进行数量上的计算。除了数值计算，另一点当然就是关注形，广义上就是形象思维，观察几何图形，发现图形中的特征，运用直观想象能力，有些题就很快知道如何作辅助线了，或试着作辅助线后继续观察，思路和想法就逐步清晰完整了。这些方法是有机结合的，通常没有严格的界限，例如在观察时就已经在根据已知条件、结论和观察出的信息，结合其他方法在进行思考，例如结合联想、分析与综合进行思考，例如找各种数量上的相等关系、相似关系、全等关系。对几何题运用数形结合，一般涉及到计算和解方程，所以方程思想甚至是函数思想在几何题中通常都会运用到。
分析与综合：熟知的常用方法。但我们通常所学的分析法却不知道要结合辩证法中的矛盾分析法，对辩证法的的矛盾观视而不见，本系列引入了矛盾分析法来通过分析来识别和凸显数学题中的矛盾。
联想：特别是基于特征的联想，观察图形结构，基于几何题中图形的整体和局部的结构特征、数量关系特征、数值特征、结论上的特征等进行联想。回忆联想起对应的几何定理等知识点、几何构造形(几何模型)等。
关系思想：找关系，找出题目中的明显的或隐藏的关系(例如相等关系、全等关系、相似关系、成比例关系、倍数关系等等，还有很多，例如根据勾股定理来列等式或方程也是直角三角形的三条边之间存在平方和等于斜边平方的关系)、创造关系(如构造全等关系、构造相等关系、构造相似关系等)、改善关系、转化关系，利用题中的关系来进行转化和运算，例如三角形相似关系，把关系用等式、方程、函数等形式表示出来。作辅助线和几何变换来改善关系、沟通关系、凸显关系、创造新关系。在分析和推理过程中随时都要利用关系来不断地转化问题，不断地延伸和推进从起点(已知条件)到终点(结论)解题通路(也可能是终点到起点)，例如运用相等关系，比例关系或其他关系。
分析法综合法：这个一般都有运用，此处强调要运用矛盾分析法。
合理大胆地设想&猜想&想象：基于题设(已知条件)、结论具有的特征，在运用矛盾分析法基础上，顺应题目已知条件和结论(证明题中的结论也相当于已知条件)，设想可能的理想的合理的解题途径和中途点状态。 这个在帮助我们探索如何做辅助线和几何变换很有作用。
反思：结合其他思想方法，例如矛盾分析法、合理设想等，反问自己是否利用好了已知条件和结论；是否能直接利用它们；如果不能直接利用，需要创造什么条件来便于利用它们，通常是作辅助线和几何变换来改造几何图形的结构来创造条件。如果当前方法解题受阻时，反思当前的方法特点是什么，如何调整它来做出改变来找出新方法。
构造法：根据需要构造的图形，作辅助线和几何变换(旋转、平移、反射等)对几何图形进行改造或构造出新的几何结构或几何构造形。
整体思想：要有大局观和整体观念，从残缺不全的几何图形结构见微知著(从部分到整体，从小见大)地联想想象出完整的几何图形，作辅助线或几何变换来把图形补全补完整。
转化：这个绝对不可缺少，对条件和结论的转化变换，对几何对象的结构、位置、方向朝向、关系的转化变换。对图形进行切割作辅助线就体现了转化思想。
局部调整：例如对几何中的多动点最值问题，我们可以固定其余的动点，只让一个动点变化，分析得出取最值的必要条件。
不限于这些思想方法，很多情况下也应用到比较、方程思想、函数思想、递归递推等。
首先要介绍下有难度的几何题，它之所以难的根源。我们知道生物学上有个说法是结构决定功能，要具有怎样的功能，就要具有相应的结构，两者要对应要匹配。几何结构应该是包含几何图形中的各种几何元素的位置、方向朝向、几何元素各种属性的度量(例如某条线段的长度，某个角的度数)、几何元素相互之间的各种关系。与此类似，几何题的结论要成立，可能就要求几何图形的结构要是怎样怎样的，也就是对结构长啥样有要求，但出题人要提高题目难度，就故意扭曲这种结构，故意制造几何结构和结论之间的矛盾，也就是不一致不对应，此时解题者就要识别出不一致，想办法对这些不一致的地方进行改造。这种不对应，一般是几何题的图形格局不好，例如图形残缺不完整，或几何对象之间位置上相距较远导致关系不密切，不便于沟通合作，或方向朝向上不协调，例如一条线段朝东，一个朝北，是背向的，或结构上不适应结论。几何题结论（含有数与关系)与几何图形在形上的关系就类似于生物学中功能和结构的关系。总之几何题的难度一般来自于几何结构、几何位置、方向朝向、数与形、关系与形、关系之间、已知条件与结论之间的各种矛盾和不协调，不合理，各种背向。
我们解几何难题就要识别出这些矛盾，来想法化解这些矛盾，想法改善和转化矛盾，想法牵线搭桥，想法移形变位：移位置、调方向、改结构、调关系改善关系转化关系。
解几何题，要化解如上的矛盾，通常离不开加辅助线和几何变换(平移、对称、旋转、位似等等)，如何加辅助线和如何进行几何变换，是个学问。 也就是辅助线和几何变换不是凭空就产生的，是因为有移位置、调关系、调方向、该结构的需求才产生的。
如何作辅助线和几何变换，离不开上面的需求，离不开综合运用数学思想方法，下面会讲解作辅助线和几何变换的方法论。
首先说明为何要加辅助线和几何变换，是因为几何体中的已知条件之间的关系或和已知条件与结论之间的关系不直接或不顺畅。具体表现就是原几何题的几何结构，图形的格局(形式局势)不好，隐去了一些东西(图形结构残缺不全，类似缺胳膊少腿，或处于混沌原始未开垦状态，或未发育成熟状态，该有的没有)或结构上或位置关系上比较分散(例如两条线段相距较远不在一起或关系松散)或结构关系扭曲变形，方向朝向上不协调，感觉比较别扭，不和谐不合理，这些都会造成已知条件到结论之间存在较大鸿沟和差异(鸿沟和差异就是辩证法中的矛盾)，导致我们学过的知识点或经验不容易和题目匹配对应上，不便于我们利用先前学过的知识点和经验，心理上感觉自己被钳制住了，已有的知识点使不上劲，有点梗阻，解题思路受阻。图形局势不好就是条件不好，条件不成熟，环境不好。没有条件或条件不成熟就要创造条件：加辅助线和几何变换来创造条件，改造几何格局，对鸿沟牵线搭桥，辅助线和几何变换就是沟通题设(已知条件)和结论的桥梁纽带，化解矛盾转化矛盾改造局势的太极推手。
桥梁用来有效沟通两地交通，类似地，辅助线也是起到桥梁和媒介的作用，用来沟通已知条件之间的关系以及已知条件与结论之间的关系。具体而言，辅助线和几何变换作为桥梁，有两个作用，第一个是通过加辅助线和变换，改造出构造出熟悉的(学过的或好处理的)几何构造形(几何模型)，借此改变原题的图形格局/结构，消除思维梗阻点。第二个是重组整合、转化调整。原题中的各种已知条件、结论、各种几何结构关系、位置关系、数量关系不好处理，或感觉几何题中数学对象(例如线段)之间虽然存在关系，但比较疏远不融洽，缺少相互呼应相互唱和或比较生硬别扭(物理上或逻辑上，例如几个几何对象在物理距离上相距较远，存在鸿沟)或零散，不好利用或不好沟通，或感觉几何体中的数学对象之间是相对孤立零散的，不协调，一盘散沙合不起来，相互之间没有亲和力，没有形成解题合力。这些都是导致已有的知识点和经验使不上劲，解题举步维艰，不好推进。通过观察和分析识别出这些通过加辅助线和几何变换进行牵线搭桥之后，产生新的几何图形结构，新的几何构造形。在新的几何构造形中对这些已知条件、结构、位置、方向朝向、关系进行了重构重组和新的整合调整，产生了新的关系和结构或拉近了先前疏远生硬的关系(例如把先前相距较远的对象或其替身拉近，聚拢集中在一起)使它变密切变顺畅或在它基础上衍生出新的便于沟通便于利用的亲密关系。这样整合之后，变得好处理了，容易下手了，知识点能利用上去了。另外通过这样的改造，对要证明的结论或要求的答案结果也可能进行了转化，例如原来是求A线段的值，现在可以转化成求B线段(这个相对容易)，因为整合之后，A线段和B线段有数量关系(相等或有其他数量关系）。
几何构造形就是几何定理对应的几何图形和熟悉的好处理的几何图形，例如下图中的平行线分线段成比例定理对应的几何构造形(几何模型)，我们可借助这些几何构造形蕴含的知识点(几何定理和关系)来解题。
这个加辅助线和几何变换，要分析&研判题目的局势，找出症结和梗阻点。有点像看风水，要有全局观，要能画龙点睛，找穴点穴。加了辅助线，格局立马变活了变畅通了。或者说在一块贫瘠的土地上，进行土壤改造，土壤条件变好了才能长出好的庄稼。
解几何题卡壳时，要试着加辅助线。如何作辅助线，有的书总结了一些方法低层次的低级的具体套路、模式、口诀、经验，各种割补法，例如倍延中线(将三角形中线延长一倍，再和一个或两个三角形顶点相连)，直角三角形要连斜边中线，要关注斜边中线。这些口诀和讨论都很不错，前面的博文提到过，但这些不是高层次的思想方法论。学生看了这些书，只是死记硬背地记住了如何作辅助线，但为何这样作，这样作是如何推导出来的，大多不清楚，也就是不知其所以然，碰到新题可能就傻眼了，套路口诀越低级，适用面就越小越机械呆板，我们要悟大道，要有方法论和解题智慧和思考问题的智慧。这些口诀和套路其实大多是基于几何对象和几何图形的特征来作的，例如中点就是一个特征点，相切也是一个特征，对应这样的特征作出相应的辅助线之后，就能用上一些几何性质和几何定理，就能较好地沟通已知条件和结论的关系进而达到转化问题的目的。
下面讲解总结出来的作辅助线和几何变换的经验。
首先，对一道觉得棘手的几何题，可能并不需要加辅助线就可较快做出来也就是别一上来就想作辅助线或几何变换，除了仔细审题，要先观察评估图形结构格局。如何从思想方法和实作层面把辅助线和几何变换推理出来或高效试探出，首先观察图形，先识别判断图形中哪个部位的构造格局不好，导致已知条件不好利用、导致关系不好利用，或导致结论不好求解。要对题目中几何图形构造格局的好和不好有感觉，要对局势敏感，钳制住我们思维的地方和我们的知识点掌控不了的地方就是不好的，要改造的。几何图形格局不好的部位就类似人身体中的病灶部位，要识别出病灶在哪之后动手术动刀，我们发现几何图形格局不好的地方后，再想法改造这个格局，如何改造一般是加辅助线或几何变换。
我觉得如何作辅助线和几何变换还是离不开先前说的数学思想方法论和解题策略，把先前的思想方法论分成两套指导思想来指导如何添加辅助线和几何变换。
第一套是基于特征联想、矛盾分析法、合理设想&直观想象为主干的方法：观察题目的几何图形结构，对题目中的结构特征、位置特征、关系特征、数字特征、结论特征做矛盾分析找出题目中已知条件之间的矛盾以及已知条件和结论的矛盾，理想和题目现实的矛盾，结合已有的知识点和经验，运用联想、类比、逆向思维、转化、合理设想、逻辑推理(分析法和综合法)、关系、比较等数学思想方法。借助这些方法来推理出如何作辅助线或几何变换或找出熟悉的几何构造形或几何变换。这里强调下要注重基于联想(特别是基于特征的联想、见微知著的联想，用来对付残缺的几何图形)和合理设想&直观想象，马上就会看到它们具体运用。矛盾就是差异，把这些熟悉的几何构造形、几何变换和题目的几何图形进行对比，就知道题目图形还缺少啥线段(不一定是直线)，就知道如何加辅助线或几何变换了：缺啥补啥，在题目图形中补上缺少的线段，把差异补齐，这就是辅助线，其实这也表现为构造法思想。
通过联想、类比、矛盾分析、关系思想(找关系、创造关系、改善关系、转化关系)、合理设想来作辅助线和几何变换，例如题目中说两个圆相切这个特征，我们就联想到两圆相切，有切线和半径垂直于切线的图形，这就是熟悉的几何构造形。题目中的三角形出现中线，我们一般延长会将中线延长一倍，有时也会取另一条边的中点，形成中位线。出现直角三角形，我们一般会考虑斜边上的中线。这些都是基于图形性质特征的联想，很多几何参考书上都总结出了如何基于性质特征作辅助线的口诀和套路，作辅助线时可以优先按这些口诀来对症下药。但这样生搬硬套有时不一定管用，所以我们要结合类比、矛盾分析、转化、关系思想、合理设想等来具体问题具体分析，从而作出合适的辅助线。
几何中的很多知识点，例如几何定理都有对应的/关联的几何构造形，就是几何知识点(几何定理)对应的几何图形，这些几何构造形(图形结构)是我们所熟悉的。我们用联想类比出来的熟悉的/学过的几何构造形去改造题目中格局不好的地方/部位，用这个熟悉的构造型和题目原图中格局不好的部位比较，有比较就知道差异和不足，然后想办法弥补缩小差异，缺哪条线就加上哪条线，缺啥补啥。这样通过联想类比和比较之后，添加辅助线，就将不熟悉/不好处理的部位转化成熟悉/好处理的几何构造形。比较是一种很重要的思想方法，日常生活中我们经常用到比较，货比三家，有比较就知道差异在哪，也就知道下一步的目标和方向。有些数学题，把结论或要求的答案和已知条件进行比较，也就是把目标和现状(题目的已知条件和已知状态)进行比较对比找差异之后，很容易就知道下一步的行动方向，知道如何做了，就知道如何采取行动来缩小差距了。有时结合因果关系/充要条件结合逆向思维进行分析和综合，进行推理。基于特征的联想来作辅助线，一般有两个看上去有些相反的方式，一个是顺应题目中的特征(位置关系、数量关系、几何结构、已知条件、结论)，顺势而为来作辅助线，另一个是为了改造重组题目中的特征(不理想的位置关系、数量关系、几何结构、已知条件、结论)来作辅助线和几何变换。第一种方式是针对顺手的特征，一般可以直接利用，对不理想的特征，一般不能直接利用，需要改造和转化之后再利用。
第二套是实验法探索加逆向思维，反思反省。这种思想的具体运用举例：a)从题目要证明的结论或要求的结果入手运用分析法(分析法一定程度上是逆向思维，通过因果关系、充要条件、等价变形等来从结论反推)，结合题目特点，通过直观设想和经验&口诀来探索添加辅助线，例如要证明A线段长度等于B线段和C线段之和，那我们就设想延长B线段，产生一条新的长度等于C的线段，再设法证明由这两条线段拼接而成的线段等于A线段，或在A线段上截取B线段的长度，再证明剩余线段长度等于C线段；b）对自己提问，反问自己，质疑自己：是否利用好了已知条件等解题线索、是否联想到了和题目有关系的知识点并加以利用、如何才能利用好题目中的已知条件、现在的方法有啥不足和特点，在分析现有方法的不足和特点的基础上如何调整或彻底否定现有的方法打破思维定式。通过这样反思反问，就能激发自己思考，就可能想出合适的辅助线。
例如有如下的一道简单的几何证明题：
我们就用这道题来讲述如何运用数学思想方法(联想、矛盾分析法、合理设想想象、数形结合&计算、关系、构造)来证明这道几何题，来演示怎么高效推导出作辅助线和几何变换，而不是靠那些低级的辅助线口诀和套路。
方法1：
观察几何图形特征，例如90度等腰，结论中的特征：几个边长的平方，以及有边长的平方和。结合这些特征，很容易想到用勾股定理，但AD不是斜边也不是直角边，也就是它不是图中某个直角三角形的边，这就是运用矛盾分析法找出的良好的理想与现实的矛盾，题设和结论的矛盾。BD、CD是同一条直线，它们的平方法和不能够直接对应某个直角三角形两条直角边的平方和。这些都是矛盾，就是不尽人意的地方，格局不好的地方，妨碍我们解题的地方。
我们通过观察和矛盾分析法找出矛盾后，接下来就要想法化解题目中的矛盾或转化矛盾。
基于这道题的特征，我们可以合理设想AD是某个直角三角形的斜边就好了，眼睛要观察图形特征，角BAC为直角，对照几何图形，我们自然就能想到要作辅助线DE垂直AB于E，构造出直角三角形ADE。这样作了辅助线之后，继续观察改造之后的图形局势，在脑子中感觉评估，推理走几步，BD的平方也有了着落和对应，它是直角三角形BDE的斜边。类似，我们容易想到作辅助线DF垂直AC于F。如下图，这样作辅助线，构造出熟悉的几何构造形就化解了矛盾。
根据已知条件中的等腰直角，我们很容易得出如下相等关系：
BE=DE；AE=DF=FC，这样作辅助线DF之后，通过AE=DF的相等关系传递，拉近了AE和CD的关系，沟通了它们的关系，也凸显出它们之间先前隐蔽的关系：AE和CD离的远，但AE的替身或等价物DF和CD靠的近，关系密切就便于沟通便于解题，这不就是用辅助线来'拉关系'吗，这不就类似日常生活中拉关系走关系，这不正说明道在日用！此外添加辅助线之后，可发现图形中出现了平行线特征和平行线分线段成比例的关系或相似关系，不过这些比例关系解题用不着。
显然基于这道题的几何结构特征和数量关系特征，这题中的各个线段的边长都能用AB和BE的长度来表示(最小维度思想，此题中计算线段长度需且只需知道AB、BE两条线段的长度即可，类似充要条件)。为了表达的简洁，我们设AB长度为a，BE长度为b，则AE= a-b。
根据勾股定理：斜边AD平方=AE平方+DE平方 = b平方+(a-b) 平方；
BD平方=BE平方+DE平方=2*b平方
CD平方=DF平方+FC平方=2*(a-b)平方
基于上面的3个等式，很容易推出：BD平方+CD平方= 2*b平方+ 2*(a-b)平方 = 2*AD平方。
方法1运用到的数学思想方法：基于特征的联想、矛盾分析法、合理设想、关系思想、构造、数形结合进行计算。
方法2
基于题目几何特征，和结论中的特征：2*AD的平方，BD平方+CD平方。看到BD平方+CD平方，我们联想和设想它们是某个直角三角形两条直角边平方和就好了(这是理想和如意算盘)，但现实是BD和CD是同一条直线，它们不是两条直角边的关系。看到2*AD平方，联想和设想有个直角三角形斜边为根号2*AD就好了，但这个也不是现实，另外看到2这个数字特征，也能联想和设想如果有个边长为AD的等腰直角三角形就好了(这样勾股定理两条直角边平方和就是2倍AD平方)，现实也不是这样，图中没有这些。这就是理想和现实的矛盾，题设(已知条件、现状)和结论的矛盾。存在矛盾也就意味着这个题的几何格局不好，矛盾越多越大一般也意味着题目越难，这是出题人故意制造的矛盾，就考我们化解矛盾的能力你。我们要通过加辅助线和几何变换来对这些不好的格局进行改造和转化，来消除矛盾来转化矛盾，在数学思想方法的指导下无中生有，来牵线搭桥转化矛盾，调和关系和矛盾。
既然BD平方+CD平方不能直接对应某个直角三角形的两条直角边平方和，那我们就间接地侧面地来对应，间接进行数量上的等值转化。对2*AD平方，构造出根号2*AD的直角边感觉比较麻烦，我们设想为转化构造一个等腰直角三角形(直角边长度为AD)，题目中已经有条边为AD，很自然就想到要以这条边为基础，作出另一条直角边，这条边和AD垂直于A点。基于AB=AC，我们用几何变换中的旋转变换来表达对图形格局的改造：将三角形ABD绕A点逆时针旋转90度，AB边旋转到AC，D点旋转到E点，如下图。旋转之后可得出：AD=AE，AD垂直于AE，三角形ADE为等腰直角三角形；BD=CE，角ABD=角ACE，这样很容易得出角DCE为直角，也就是三角形DCE为直角三角形。
可见经过旋转变换后，DE的平方=AD平方+AE平方=2*AD平方；BD平方+CD平方也转化为CE平方+CD平方=DE的平方，原题得证：2*AD平方=BD平方+CD平方。可见原题中BD平方+CD平方这种不好表达的平方和关系和BD、CD这种直线关系，我们通过旋转，对关系进行重组整合，改造调整为三角形DCE中的关系，改造为CE平方+DC平方；对2*AD平方，我们改造为三角形ADE中的关系，改造为AD平方+AE平方。也可以看出通过几何变换，我们可以在空间上对结构格局、关系结构进行改造调整和重组整合，在空间上进行腾挪。
方法3
不用辅助线，联想到正弦定理，角B和角C均为45度；角BAD和角DAC为互余关系，所以这两个角的正弦平方和为1。对两个三角形ABD、ACD运用正弦定理很容易证明结论。
方法4
不用辅助线，坐标法。以A点为原点，两条直角边为X轴和Y轴，设直角边长度为a。斜边bc直线方程斜率为-1，截距为a，方程为y=-x+a。则D点坐标为(x0,-x0+a)，B点坐标(a,0)，C点(0,a)。根据两点间距离公式计算出这三条线段的平方，其余省略。
从这个一题多解应该可以得出：对大多数几何题运用数学思想方法，例如运用联想特别是特征联想(基于已知条件和结论中的数字特征例如这题中的2AD平方中的2、结构特征，例如这题中的等腰直角、BD和CD是同一条直线、题设和结论中的关系结构特征，例如结论中的BD平方+CD平方这种平方和关系结构)，矛盾分析(找出理想和现实的矛盾、题设与结论的矛盾，再次强调此处的矛盾是辩证法中的矛盾，是可以调和，可以间接化解，可以转化的矛盾，不是逻辑矛盾，不是非此即彼的矛盾，不是反证法中的矛盾)、合理设想&猜想&想象、关系思想、数形结合(4个方法中均有计算，方法3和4纯计算)等思想方法，是可以推导出如何作辅助线和几何变换的，辅助线和几何变换不是神来之笔。同时从上面的方法1和2的解题过程也可以看出，如何作辅助线和几何变换并不是完全用严格的逻辑推导出来的，还是有些设想想象猜想和非逻辑的非理性的直觉和经验因素在里面，另外受限于个体的经验、能力、身体状况等因素，有时我们并不能很顺利地作出正确的辅助线和几何变换，所以我们还要用实验法试探和反思，在草稿纸上多画一画，边画边观察(形象思维)和推理，不断变换思路尝试，不断进行反省调整。
基于特征的联想和设想猜想，这里再提及下，几何和代数题中都广泛运用基于题设和结论中的结构特征、关系特征、数字特征的联想和合理设想猜想。例如基于数值特征的联想，看到30度角和45度这些特殊角度会想到什么，或会设想作出什么样的辅助线。看到15度角会作出什么辅助线？这里没有对所有题都合适的标准答案，只是为了提醒要对基于特征联想的内涵外延和实践多关注多体会总结。
回到这道题上，观察题目的图形格局，结合这两套思维方法，指导我们我们添加辅助线和几何变换。如下图，加辅助线或几何变换之后，能用上熟悉的几何定理等知识点了，也盘活了已知条件，感觉几何题图形的形势格局变活了，矛盾化解了，变顺畅了，思路走通了，梗阻点消失了，已知条件和知识点能用上去了能发挥作用了。这里的已知条件利用好能发挥作用的评判标准通常是指通过这些已知条件能推导出过更多的新东西或结论或关系，再通过这些东西推导出后续的更多新东西，好像雪球越滚越大，繁殖出越来越多的信息，越来越逼近/接近解题目标，而在没加辅助线之前，这些已知条件几乎发挥不了多少作用，也就是通过这些已知条件推导不出多少新的东西。
如上图，观察->审查分析题目中几何图形的结构格局，眼睛要亮，找出格局不好的地方，联想类比出学过的熟悉的几何构造形或熟悉知识点对应的几何构造形，例如在大脑中回想起上图中部左侧的平行线构造型,这个平行线构造是学过的。熟练了,凭感觉直觉就能很快知道在哪里加什么样的辅助线，快到感觉不到这个思维过程。
如上图加辅助线改造格局，就是把不好的部位改造成我们熟悉的几何构造形，这样就能用上这些熟悉构造型对应的几何定理知识点了。F是CD中点，AD平行于BC(BI)这些条件现在变活了，能使上劲了，也就是能充分发挥它们的作用，通过这些已知条件，又能联想派生出更多熟悉的知识点，推导出更多的信息，思路顺畅了，这样才算把这些已知条件用好。
DEGH四边形不规则，不好直接求面积，那就变为用间接方式，转化成容易的，好处理的，用三角形ADH面积减去三角形AEG的面积，这两个三角形面积比较容易求出来；也可把DEGH分割成两个三角形，分别求出这两个三角形的面积，评估判断这种方法，似乎麻烦一些，放弃这种方法，这是权衡比较之后做出的取舍选择。直接不行就间接，这个解题策略先前在辩证法矛盾观中提到过。后面的已经很简单，解题方法已经很明朗了，跃然纸上，现在问题转化成求三角形ADH和AEG的面积，观察现在的图形格局，结合已知条件和知识点/经验进行分析综合可知：求三角形AEG的面积，ABE的面积很容易求出来，它的两直角边长度是已知的。三角形AEG面积和三角形ABE的面积之比为EG:BE,这两三角形等高，面积之比为EG:BE就属于我们通常说的关系，也体现了前面说过的数形结合思想中的把形转化成数，提取形中的数量关系。辩证法中讲万物之间的普遍联系或存在关系，关系思想，数学题说白了，很大程度上是对关系的处理，有关系就能用数学语言把关系刻画表达出来，例如表示成图形、不等式、方程、等式等等。这题中，我们把关系表示成等式，接下来就可以根据需要，对等式进行计算、变形变换、解方程等等；求EG:BE,可转化为求EG:BG,而EG:BG根据平行线间的相似比是AE:BI,AE是已知的，BC也是已知，所以求BI就转化成求CI，F是CD中点，根据平行线间的相似比，很容易得出CI等于AD，为2，就这样一步步分析综合进行推导，串起来形成解题过程，所以AEG面积可求出来，同理ADH类似。
第二种方法，还是分析综合法，要求AEG的面积，AE是已知，所以如果能求出AE边上的高，问题就解决。这个高如何求？关系思想，高也不是孤立的，它和其他事物也存在联系存在关系：这个高和三角形BGI的BI边上的高之和为AB，也就是和为2，这是一个等式关系；这两个高之比也是平行线之间的相似比，为AE:BI，这个AE:BI很容易得出，这是第二个等式关系。根据这两个关系可列出二元一次方程，两个高为未知数，两个等式，很显然可求出高。当然对这两个简单的关系，我们通常不用显式的列方程解方程，而是用另一种形式，基于关系使用逻辑推理来进行算术计算即可求出高。
清楚了加辅助线的思想方法论，如果讨论范围扩大到如何解几何难题，仍然是借助数学思想方法，联想、类比、转化，数形结合等等。这里强调几何题中的数形结合和关系思想，几何题中除了形，还有数，很多几何题可能不需要加辅助线，直接通过计算就能完成，有的是结合辅助线和数(计算)来解决。数形结合中的形：观察图形中的特征和规律，挖掘题目中的数学对象（长度、角度、面积、顶点数）之间的各种关系。数：把这些已知条件、数量、特征、规律、约束、关系用数学语言刻画表达出来之后，例如用公式（方程、等式)把关系表示出来后，剩下的一般就是计算和推理。反过来，代数题有时可结合几何图形来帮助解决，这个在后面有介绍。
另外运用几何图形的几何变换，例如平移变换、反射变换、旋转变换、拉伸、位似变换等，这也是运动思想的体现，通过变换，对已知的条件和关系、几何图形格局进行新的组合，产生新的几何构造形。
前面说过这题可以不加辅助线，这里就讲第三种方法，不加辅助线，结合已知条件联想学过的知识点：平行线分成比例定理、三角形相似，进行纯分析综合推理和计算，这个也体现数形结合中的提取形中的数量关系，并利用这些数量关系进行计算和推理。
DF平行于AB,可得出DF:AB=DH:BH=1/2，这个就是数量关系。得出DH:BD=1/3,三角形ADH面积是ABD的1/3。ABD面积为2，所以ADH面积为2/3。接下来求AGE的面积。ADF和ABE全等，所以1）角DAF=角ABE。角DFA=角AEB，又角DFA=角FAB，所以 2) 角AEB=角FAB。从1）和2）可得出三角形AEG和ABG相似，相似比为AE:AB=1/2,相似三角形面积之比为相似比的平方，所以AEG面积:ABG面积=1/4。进而AEG面积为ABE面积的1/5，ABE面积为1，所以AEG面积为1/5。四边形DEGH面积 = 三角形ADH面积 - 三角形AEG = 2/3-1/5=7/15。
总结：观察、联想类比、矛盾分析、合理设想、比较思想、分析综合法进行推理、转化、关系思想、方程思想。从这题中可看出，几何题大多涉及到计算。另外几何题通过加辅助线或几何变换，构造产生出或拼凑出几何构造形，也体现了构造法思想，构造法的进一步说明见第16题中的总结部分。
几何变换和辅助线对结构关系的改造和转化可以看三角形费马点(体会下求费马点使用的旋转变换对三条线段结构上的改变，从交于一点的星形结构变成了首尾相连的线段)和第一题中的将军饮马问题(运用反射变换)。
有些几何题之所以难主要是结构上、位置上、方向朝向上存在问题导致，例如AB线段和CD线段在物理位置上相距较远，有的对象之间相对的方向朝向不协调不合理，就像有些建筑群，A栋建筑和B栋建筑位置和方向朝向不协调，不相互呼应，整体效果上就会出问题打折扣，1+1就会小于2，在几何题中如果存在类似问题，就会增加解题难度。对几何题图形格局在结构上、位置上、方向朝向上、关系上存在的矛盾，我们要相伴法进行调节改善纠正，而几何变换例如平移、反射、旋转等就可以通过移形变位来移位置、调方向、改结构、变关系，平移是移位置，反射是调方向，旋转是调方向和改位置，它们最终都改变了几何结构和转化了题目中的关系。
几何变换背后隐含运用了几何对象在数量关系上的等价传递性，例如平移线段或三角形时，平移前后的对应线段长度是相等，平移后的线段是平移前线段的替身，题目中和原线段相关的都可以传递到替身上，后面的解题转化为用替身，和真身相关的关系都转到提升上，例如已知条件和结论中和真身相关的都传递到替身上。再比如旋转，除了使用旋转前后对应线段的长度和角度相等(不变)这个等价传递性之外，一般还运用等边三角形来改方向，可以看下费马点问题中旋转60度之后产生的等边三角形。等边三角形和等腰三角形，平行四边形都有这样的长度和角度上等值传递的效果，例如一个等边三角形ABC，三条边在长度上可相互替换(在涉及到长度的地方可以相互做替身)，但三边具有不同的方向朝向，也就是等边三角形具有保长度变方向的特性,如下图。如果有道几何题要调整线段方向，那等边三角形的这种特性(保证长度不变情况下改方向的特性)可能就可排上用场，例如我们原题中涉及到AB线段的地方用BC作为它的替身(例如结论中涉及到AB的地方用BC来代替)，因为BC的方向朝向、位置和其他对象整体上比较协调。和角度相关的也类似。这些其实都是通过等价关系的传递性来做替身，用替身来转化问题。另外我们有时找全等的三角形，证明它们全等，有时也是利用这种等价传递性。如果题目中几何元素的替身不存在，那我们就主动作辅助线和几何变换构造出对应的替身，利用替身的等价传递性来改善几何结构中的矛盾，如通过旋转构造一个等边三角线和全等三角形(具体例子参见费马点问题的旋转)或通过非旋转的方式构造全等三角形或平行四边形。除了这种等价传递，其实只要能构造出关系能改善关系的辅助线和几何变换都是我们在解几何题时要考虑采用的。
调节几何结构，化解几何题中的矛盾(不一致)
另外关于旋转，如果题目中同一顶点有两条边相等，可能提示我们可尝试绕这个顶点进行旋转，旋转角度一般是这两条边的夹角。
高中题
第14题
2018上海高考数学填空题第12题。这题我觉得不错。
思维过程
首先观察题目，根据题目条件和问题，想到什么？ 平方和为1，联想类比到圆方程（圆是两实数平方和为正数常量的几何解释）、坐标、三角函数正弦与余弦平方之和为1，x1x2+y1y2=1/2,也能联想到余弦cos(a-b)的公式这些知识点。看到最大值的式子想到什么？好像和自己学过的什么东西有似曾相识的感觉，在大脑中比对匹配和哪些知识点比较相似，其实看到这个式子要能联想类比到‘点到直线的距离公式’这个知识点，这个最大值的式子和点到直线的距离公式长得很像很接近，按数形结合中提到的数转化成形，这个代数式子的两个组成部分的几何解释就是直角坐标系中点到直线的距离。所以这个题目是求圆上两点到直线x+y-1=0距离之和的最大值，也就是把问题转化为求两个点到直线距离和的最大值。转化/化归是非常重要的数学思想方法。
通过观察、联想类比、转化、对应，思路已经清晰。设x1=cosa, y1=sina,x2=cosb，y2=sinb.
x1x2+y1y2=1/2,就是cosa*cosb+sina*sinb=1/2, cos(a-b)=1/2,也就是a-b=60度，别考虑-60和其他度数，用60度已经够了。两个角之差为60度，也是个不变的约束。求圆上两点到直线的距离之和，很自然想到数形结合，画图如下，也就是构造(创造)产生如下图形。两个点(x1,y1)、（x2、y2）到原点的直线，其夹角为60度。
观察上图，可以直观的看出如果两个点都在第1象限(AB小圆弧)，它们到直线AB（其方程为x+y-1=0）的距离肯定不是最大，继续观察如果有个点在第1象限，另一个点在第2或第4象限，距离和也不是最大。也就是只能在2、3、4象限才有可能最大。
此时这些直角坐标已经意义不大，我们重新画图，把直线AB画成水平线，如下图，便于观察思考。先前观察已经得知两个点在小圆弧AB上距离和不可能最大，只有在AB大圆弧上才有可能。此时分3种情况，第1种情况是两个点都在AM圆弧上，第2种是一点在AM圆弧上，另一点在MB圆弧上，第3种是两个点都在BM弧上，这和第一种类似，是对称的，结果是一样的，不用再重复考虑。
对第1种情况运用运动(动态)思维，运动，让事物动起来，从静止到运动或速度从慢到快等都是运动，运动思想就是辩证法中运动发展变化的思想，让事物发展变化，把题目条件变一变，或让一些变量值或参数值或影响因素从小到大逐渐变大或相反从大变小，和函数思想也有联系。在事物的运动过程中或变化发展过程中观察/发现其中隐藏的规律和特点或相互联系。具体在这个题目中，运动思想就是让点动起来，想象点C、D如上图顺时针沿圆弧运动。观察它们在运动中的规律和变化趋势。C1点和D1点到圆心O的夹角为60度，保持夹角不变，想像C1运动到C2点，D1运动到D2点，通过观察和比较，显然C2、D2点到直线AB的距离和比C1D1的大，也就是随着向上顺时针运动，距离和是增加的，这种情况最大值时的点为C3、D3（D3和M点为同一点）。当然不用这种方法，也可用余弦函数的增减性得出其增大趋势，但用这种运动加形象思维的方法更直观高效。在运动中发现规律和解题突破口，有些图形会随着参数的变化而变化，那我们就让参数变化，分析对应的曲线如何运动变化，例如抛物线开口随着二次系数的变化其开口会扩张和收缩，随着常系数c的变化抛物线随着Y轴平移，直线随着斜率变化而出现旋转。我们就在这些运动过程中捕捉它们的变化规律和趋势。如果涉及到几何图形，一般可结合形象思维的直观性来获得洞见，例如这题。另外运动思想/变化思想在物理题中有时也很管用，静态解决不了问题就动态，想象下事物的运动或运动趋势，从中得到洞见。
继续分析，第1种情况取最大值的两个点其实是第2种情况下的特殊case，所以我们只考虑第2种情况。如上图下部分图形，设角COM为a，则角MOD为60-a。
园半径为1，GE=HF=ON=根号2/2，CG=CO*cosa=cosa，DH=cos(60-a）.
距离和CE+DF=CG+GE+DH+HF=cosa+cos(60-a)+根号2=2*cos30度*cos(30度-a)+根号2=根号3*cos(30度-a)+根号2，最大值为根号3+根号2。
这题是填空题，不需要严谨的证明。
总结：这道题所用的数学思想方法：联想、类比、转化、数形结合/形象思维、运动思想、分类、对称、比较。
数形结合，数学大师华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明揭示数之间的某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是以数解形，而第二种情形是以形助数。
数形结合思想也好理解，既然数中有形，形中有数，这就是数和形的关系，它们可相互转化，在第9题中说过要想办法利用好关系来解题，那我们就应该尝试利用数与形的关系来解题。
这题中的数形结合也隐含使用了构造法这种数学思想，构造出如上的几何图形。关于构造法的进一步说明见第16题。
是否有更简便的解法?
第15题
证明102的103次方大于103的102次方。
思维过程
这题就是具体中的复杂，其它数学思想方法例如联想、类比等似乎对此题都不管用，直接计算似乎也不行，除非用计算机，常用计算器会溢出。怎么处理？常用处理手法前面已经说过。碰到这种数字大，变量多，一种是向下简化，把数字变小，用简单的数字来研究下其中的规律。
这题用向下简化的手法解决不了问题，只能发现从3开始，3的4次方大于4的3次方。联想到数学归纳法，递推法，试一下也不行。看来还是只有回到先前提到过的，向上抽象。
把这题推广泛化，向上抽象，建模，建立的抽象模型如下图，证明方法也在图中。
求函数导数很容易证明函数f(x)在x >= 3（更严格是x>e）时是递减的。
抽象问题解决，把m=102代入抽象定理中就完成证明。
总结：抽象、转化/变换、分析法（因果关系/充分条件/必要条件/充要条件）推理、函数思想、联想。这题中也隐含使用了构造法，构造出函数f(x) = lnx/x.关于构造法的说明见第16题。这题中函数求导，微积分中的求导这个知识点就是处理这个抽象对象f(x)的工具，不要怕抽象，再次证明我们在抽象面前不是手无寸铁，此题中，我们在具体复杂性面前才是手无寸铁，对具体无可奈何，这题用抽象反而简单反而能解决问题，再次利用抽象中的简单性来解题。
不变(恒定固定)和变，是一对矛盾。讲辩证，矛盾通常并不是贬义词，矛盾通常并不是不可调和的你死我活的冲突，就是两种相互制约、相互联系相互依存相互转化的两种性质的因素而已，就是阴阳，就是男女，就是正电和负电，它们很多时候还要相互依存才能和谐平衡，孤阴不生，孤阳不长，失去一方，另一方也长久不了。天行健，宇宙也是运动的，发展变化的，不变是不可能的，随着时间，事物每天都不一样，人也每天在成长和衰老 ，但变中有不变，变化中有不变的规律，不变的联系和相对不变的本体、道。宇宙都是变化的，我们既然讲辩证，变化就并不可怕，我们要接受变化并利用好变化，我们人类是有智慧的，发明了很多办法和工具来掌控处理好变化，利用好变化，有时还要主动变化，从变化中寻找规律。学数学，不应该偏爱具体、常量、有限有界，不喜欢&害怕抽象、变量、无限、无穷，要统一的平等的辩证的(我们一直被教育要辩证看问题，为何还是不能辩证的平等的看待矛盾的双方)来看待这两组概念和这两组对象。如果偏爱前者，裹足不前，那就是不讲辩证，用非数学领域的观点或幼儿时期形成的肤浅的感性认识来认识数学来学数学，还徘徊在数学的大门之外来看数学问题，认为前者简单可控，后者不好掌控。其实是没吃过前者的亏，没体验到后者的好，没体验到符号字母、变量和抽象的一以概之和普适性、简洁性、弹性表达性，没体验到方程的好处，特别是没体验到处理变化描述变化的非常有用的数学工具：函数、微积分等知识的好，没深刻体验到抽象思维的好，还在用小学低年级的算术思维来学初高中乃至大学数学；对通过抽象产生的抽象数学模型，我们也能运用很多数学知识点和手段来进行处理，所以从初高中开始不应该还有这样的偏见和习惯。数学思想方法的最高宗旨也是变，数学思想方法中的‘’转化‘’也是为了变，很多情况下，变比不变好，抽象比具体好；很多时候寻找事物之间的联系/关系，建立关系，挖掘出关系也是为了能利用关系来进行变化，从而把事情从不好办变成好办，把问题从不好处理变成好处理。
不要自己限制自己的思维，不要自我设限。心包万物、心包万理，心生万法，心物一元，心游万仞，整个宇宙包括各种规律都是可以被人类所认识，无边无际的宇宙都可以在你脑中在你思维中，天人合一天人相应，就看你是否悟道和层次高低。
在数学中也是这样，数学中的复杂性可变性抽象性也是可以被刻画被描述被掌握的，现在无法掌握，心生万法，以后肯定会有。对未知变量，无论是有界和*，还是无限无穷，是连续还是离散，我们可以用变量(任它未知、可变、无限大、无限小、无限远、无边无际，似乎感觉很难办，但在数学中用几个x、y、z这样的符号就轻松囊括了它，收服了它，代表了它，化解了它，举重若轻，都可装在我们的思维乾坤袋中)、方程、函数、函数论、泛函分析来描述刻画它们，来指代它们，来研究它们；对各种变化，可以用微积分等数学工具来研究它，来掌控它们，它们逃不出我们的思维手心。所以在数学中，不要害怕抽象、不要害怕未知、不要害怕变化、不要害怕无限。
这题可加深对抽象和具体、变与不变的辩证关系的理解。
第16题
思维过程
观察， 发现是个3元二次方程组，不好直接解出来，并且题目目标也不是要求x、y、z的值，是求两两乘积之和。调整思路，发现了啥，1+2=3、联想到a的3次方 - b的三次方=（a-b）(a的平方+ab+b的平方)，有些似曾相识的地方，但用这些发现的线索和知识点也不好解题。
在脑中继续搜索知识点进行比对/比较：联想到余弦定理和这个很相似，再进一步确认是120度角的三角形。数形结合中提到的数转化成形，这三个代数方程式的图形化的解释、几何解释就是三角形余弦定理，夹角都是120度，我们构造如下几何图形，形象思维/数形结合，x、y、z是三角形的边长，把方程转化成几何图形。ABC是直角三角形。
在三角形中，xy是啥，它是三角形两条边的乘积，联系联想到三角形面积知识点中有根据两条边的乘积计算面积的公式：1/2xysin120这个式子对应的几何解释/几何意义就是三角形的面积(三角形面积等于1/2*两个边长的乘积*夹角的正弦，此处根据两边长乘积xy联想到这个面积公式是见微知著的联想，从局部联想到整体，小中见大，窥一斑而见全豹)，此处的三个夹角相同，都是120度，联想到可以提取公因数。3个小三角形的面积之和等于直角三角形ABC的面积。
总结：观察、联想、类比，碰壁再调整思路，数形结合、构造、转化。这个代数题通过数形结合，综合运用代数和几何图形。
这题中的数形结合也体现了或者说综合运用了构造法思想，根据题目的题设(已知条件)特点，返本归元返本溯源，对应地构造出几个三角形结构，根据此题的结论和解题目标，构造出对应出三角形面积。先前说过转化是一种基本的很高层次的数学思想方法，其他数学思想方法其实是实现转化的一种手段。数形结合思想、构造法思想也是最终体现了转化变化的数学思想，这题通过数形结合和构造法，将代数问题转化为几何图形和几何问题，将问题从一个领域(范畴)或一种形式转到另一个领域或形式，或将一个领域或形式的问题，延伸出、变化出额外的领域或形式，综合交叉多个领域或形式来一起解决问题。
这题和前面的第14题都是用了数形结合思想，都是数转化成形，结合形来解题。反过来，形结合数的情况就更多了，几何题几乎大多都涉及到各种代数运算和变形。
构造法：根据题目的题设(已知条件)和结论的特点、联系、特征、性质，运用数学思想方法(例如联想、类比、抽象、数形结合等等)，转化问题(不熟悉变熟悉、局势从不好变好、未知变已知、复杂变简单、晦涩隐含变明确清晰、抽象一般变具体特殊或相反)，在使用常规方法的定向思维受阻时，从新的角度用新的观点观察、分析、理解审视数学问题中的条件和结论，使用题目中的已知条件为原材料，运用已有知识点和理论作为工具，主动果断地重起炉灶，另辟蹊径重新溯源而上，灵活巧妙构造出、创造出恰当的满足条件或结论的新的数学模型(此题是构造出几何图形，在第14和15题中也隐含运用了构造法，14题是构造出几何图形，15题是构造出函数f(x) )。
这些数学模型可能是图形、图表、集合、方程、函数、数列、等式、不等式、向量等等，不限形式，没有固定的形式，是非常发散的，这也体现了构造法的创造性、跳跃性。基于这个新的构造物来进行思考，把思考重心从原题挪开，跳到这个模型上，围绕这个模型来解决问题。通过构造，转化了原问题，原问题的结论是这个模型结的一个果实、开的一朵花。很多解题思维过程中和数学思想方法中都隐含有或显式就具有或综合运用了构造法思想或转化(化归)变化思想，所以在第一篇漫谈中提到转化和构造法是两种基本的高层的数学思想方法。
第17题
三角形ABC，BD垂直于AC，BE是角ABC的角平分线，F是AC中点，四个角相等（角ABD、DBE、EBF、FBC），求角ABC的度数。
思维过程
数形结合思想中，形中有数有关系，那就计算，列方程等等，代数中的东西都可用。
几何题，表面看起是形，但形中有数，形也对应数，通常离不开数，任何事物包括虚拟的事物，都有形，都有数，就看你是否能发现并加以利用。几何题中各种数学对象（角度、长度、面积等等）之间都存在各种数量关系，对几何题应该要重视数形结合思想。’得意忘形’，加辅助线和几何变换改造了几何图形的格局之后，观察提取了几何图形中的关系、特征之后，把这些关系、特征、已知条件翻译转化成数学语言之后，才可以忘形，后面就是计算和推理。
观察图形，可以发现有个统一的模式，那就是AD、DE（等于AD）、DF、DC和高BD都有三角函数正切(tan)的关系，并且结合题目目标，所求的答案也是和角度相关，感觉方向思路是对的。另外也可反问自己如何利用好发现的形方面的这些关系，就激发自己想到数形结合，把形中蕴含的数方面的特征表达出来，也就是用三角函数正切表达出来。解题方法如下图。
这个角ABD的角度符号不好打字，这里用a来代替。在这道题的解题过程中间，要能观察发现题目中的2a=3a-a，并利用这个发现的特征线索。这个特征看上去微不足道，但别轻视忽略它，要见微知著，有些观察发现的微不足道或不起眼的关系、特征、规律或蛛丝马迹，不要轻视忽略它们，这些都可能是解题的线索和已知条件，要把它们用数学语言翻译出来表达出来，抽象出来，这个2a=3a-a就是翻译成转化成数学中的等式，还要写在草稿纸上,可视化。这样就从视觉上提醒你，不要藏在脑中，藏在脑中就容易被忽视，它们有时会起到重要的作用，这个也是经验之谈。
其实我当时解题时看到上图中的2tan2a= tan3a-tana这个等式，发现式子中的2a=3a-a，在脑子中立马联想到了三角函数正切公式tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanxtany，脑子迅速意识到下一步等式两边会出现tan3a-tana相约的情况，不需要草稿纸，这样一下子就把解题路径打通了，形成了通路，快速越过了难走的泥泞道路，推进问题解决。这个类似下棋，高明的棋手能在脑子中推演后面的棋局，要能洞见&预见到后续几步的局势发展情况，当然首先要有这样的思考习惯：在大脑中"走几步"。要培养锻炼这样的习惯、能力、直觉和数感。
另外我们用综合法进行逻辑推理，也是"走几步"，一步步逼近问题答案和目标，有时综合法结合分析法乃至排除法，让它们在中途点相遇。有时要运用合理推理、合理猜想、合理假设来从多种可能性中选取问题下一步最可能的情况进行试探，用最可能的情况来猜来试探。注意此处的合理，合理是在符合一定的逻辑和约束之下做出的一些合情合理的选择、判断或一些猜测。合理假设，举个例子，我们用待定系数法来进行因式分解，就体现了合理猜想和合理假设，实际上是先合理猜想合理设想出这个因式分解大体上的结构模式(结构上的总体框架模式)，但在具体的细节层面还不确定，也就是系数未知还不确定，后面再运用对应和方程思想来确定系数。在待定系数法中的未知系数过多，并且方程次数超过2次，例如3次或4次的复杂情况下用蛮力解出这些系数是比较难的，此时要继续用合理假设和实验法来把部分系数(也是方程中的未知数)设置成几种最可能的具体数值来进行试探，因为因式分解出题人通常就是按最可能的情况来出题的。实验法在因式分解中也有另外的运用，有些因式分解，特别是超过2次的或多元的，有时也可以用求根法，也就是把式子当做方程，用几个特殊的具体数值(例如x=0、1、2、3、-1、-2等)或x=y代进去，实验一下看式子是否为0，如为零，则必有因式:x-根，例如x-2。有时因式分解，我们在草稿纸上使用待定系数法和求根法得出答案，但在写到试卷上和作业本上时，可以写成用拆项法，这就体现了里与表的辩证。
有时在解题第一步或中间步骤可能出现多种方案，特别是等式变形，可能有几种变形方式，我们也可在大脑中很快对每种变形方式预先走一两步，比较评估下每种方式，再做出选择，有些题通常是看到题目，一两秒就直接知道可行的方案了，做出正确的决策。
前面的一些题，我们在数学思想方法指导下找到解题突破口和关键的解题操作之后，很快就感觉豁然开朗，解题局势大变样，其实这也是我们的思维在解题突破口和解题操作基础上，走了一两步的结果。例如第7题，我们通过联想将多面体拆开之后，立即就觉得此法可行；第13题，加辅助线之后，立即觉得形势好转。
解题和警察破案有些类似，通过各种手段收集提取各种线索和证据，包括到案件现场勘验、查看视频监控，调查被害人和犯罪嫌疑人的情况特征和社会关系(例如家庭关系、朋友关系和关系人之间的通讯记录)，展开推理和推测，用证据验证自己的推理，进行扬弃。
再次强调：关系关系关系、关系思想。从一定角度上看，除了对象和属性的数值信息，一切皆关系,对象之间，对象内部都存在各种关系。我们学过的知识点中几乎都存在关系或者说是对关系的刻画和表达，例如长方形面积等于长乘以宽，各种定理、等式、函数、方程、公式、结构、模型、问题已知条件和特征特点、规律、图形中都存在关系都表达了关系。问题和知识点之间、知识点和知识点之间、概念之间，概念和知识点之间、问题和问题之间也是如此，关系无处不在。从上面的这些解题过程中可知，发现和挖掘出题目中隐藏的关系，研究好关系，利用好关系，处理好关系极其重要，可以说关系决定成败。
结尾
学数学关键是为了锻炼数学思维，培养严谨性、全面系统性、批判性等思维品质，从初等到高等数学，工作之后我们大多数人能用到多少数学知识？还记得多少数学知识？知识是容易忘记的，但通过数学学习锤炼出来的对数学思想方法的领悟掌握和思维严谨性、灵活性、全面系统性、批判性这些思维品质，即使不从事数学教育和当数学家，这些思维品质在各行各业中都是不可或缺的，例如在软件行业，看到很多思维混乱，逻辑性差，思维不严谨的人，他们就是数学教育失败的受害者。
具体的解题过程就讲完了，再总结下，做到4个善于：
第一善于观察：善于发现和挖掘题目中隐藏的解题线索和蛛丝马迹：特征特点、规律、关系、充要条件。找关系找联系很重要，关系、联系很重要。如果没有关系，没有联系，就要找出对应的关系，找出对应的联系，甚至主动创造关系，主动创造联系。关系/联系通常是存在于多个对象(两个或两个以上)之间的，有时题目中缺少关系，甚至缺少联系对应的对象，例如题目中只有甲对象(元素)，没有甲对象关联的乙对象，此时我们就要通过联想、类比、对偶等数学思想方法积极主动找出关联的乙对象，再让甲乙发生关系建立关系；
第二善于变化：善于运用各种数学思想方法和解题策略指导我们进行变化(转化转换)，通过变化处理好利用好题目中的已知条件、特征特点、规律、关系、结论和答案，在变化中找到解题突破口和解题思路。
第三善于反思总结。
第四善于自学。
通过3篇博客，基本上对大多数数学思想方法以及解题策略都有所涉猎，对逻辑推理中的因果关系思想在上面的解题思维过程中也有运用，体现因果关系思想的综合法(由条件到结论)和分析法(由结论/答案反推必要充要条件)在学校的教学和解题实践中用的很多，在几何、代数中都有广泛的使用。对构造法思想也有初步讲述。关于估值思想、主要-次要抓关键等策略的运用示例，合理推理和合理猜想、解题过程中的反思的实际运用(就是在解题过程中碰壁时，对当前方法进行反思否定，包括反思是否把题目中的已知条件用好用足，从而调整和改变解题方法，最终解决问题)，有空在数学思想方法揭秘-4中讲述，代数中的待定系数法其实体现的就是合理推理、合理猜想和对结构模式的假设，普通的因式分解题，常人一眼就能看出是否要使用待定系数法，但有些竞赛题要靠对待定系数法有本质的理解和洞见才能有意识地想到用它，才能用对它，因为这些题出的很巧妙，从题目表面上看，从形上看，它不是因式分解题，难以看穿它要用待定系数法。原因就在没有提炼出待定系数法背后的本质和没有自觉联想到使用它。除此外，不限于待定系数法，其他类型的题目有时也要运用合情合理的推理、猜想假设/估算估值、实验、从模糊逐步到精确等方法相结合才能找到解题突破口。
需要注意的是，没有哪种数学思想方法是万能的，法无定法，运用之妙，存乎一心，对具体的数学题，我们一般是综合运用多种数学思想方法和解题策略来引导我们的思维过程。
真掌握了这些思想和解题策略，我们几乎就是出题人肚子中的虫虫，和他们一个鼻孔出气，能较快识破看穿他们当时出题的伎俩，虽然没见面，也能有会心一笑的感觉和共鸣。最关键的是通过用正确的数学思想方法来锻炼思维能力，培养自学能力，思维灵活，养成良好的理工科思维品质，以后在大学阶段理工科学习就如虎添翼。
道不远人，数学思想方法的学习就是一个闻道，然后悟道的过程。开始闻道，感觉道在天边，对这些不熟悉，但只要你在实践中用心体会它，有意识的去训练它运用它，格物致知，日久成自然，可能有一天就顿悟了，就真正消化领悟了，这些思维模式就成为潜意识中的习惯了，此时道和你合二为一。有人说观察力和联想能力或其他能力不行，缺啥补啥，那你就有意识的去训练这方面的能力，去通过上面的解题思维过程体会如何联想等等这些。
上士闻道，勤而行之，下士闻道，大笑之。信手写来，加上写作水平一般，造成有些章节位置排版不合理的地方，又想力图讲清楚，造成有较多重复的地方，但如果感兴趣，可以把数学思想方法的三篇文章完整多读几遍，特别是第一篇和第三篇，前后联系起来读，应该会有所收获，有所领悟后再去解题实战中运用，在实践中进一步加深对数学思维之道的领悟和体会。有些观点虽然有些偏颇偏激片面，其实是想针砭时弊，不妥的地方多包涵。
小初高的题再扩充下数量，每种数学思想方法为主一个章节，把内容重新整理下，可以出三本分别适合小学、初中、高中的数学思想方法的思维训练书籍，它们涉及到的思想方法基本上是一样的，只是考察的知识点有所不同。
思想方法是思维之道，教育的目的是要传道悟道，至少要悟学科思维之道，有的甚至进一步悟人生之道，悟宇宙之道，要有悟性，要提高悟性。
看过一些数学思想方面的书籍和文章，说实话，不满意，感觉深度和广度都不够，几乎难以看到有醍醐灌顶让人思想通透，让人有与君一席谈胜读十年书的感觉的书。会当凌绝顶，一览众山小，这篇文章融汇哲学思想，较全面深刻地对数学思想方法和解题策略做了较深入浅出的阐述，帮助我们从高屋建瓴的层面用高观点来进一步理解数学思想方法和解题策略。并用亲身的解题思维过程来讲解如何灵活运用数学思想和解题策略，都是用自己的语言来讲，是我如何学数学的肺腑之言经验之谈，彻底揭开数学学习和数学解题的真谛，这也是我很久之前就想做的。
推荐书籍
1.波利亚著 <<怎样解题>> 波利亚是有名的数学家
2.陶哲轩著 <<解题·成长·快乐-陶哲轩教你学数学>> 陶是天才数学家。这本书没看过，只是觉得应该不错，这样的数学家肯定有一套解题方法和思想方法论在指导他解题和研究问题 ，否则不可能有过人之处。
3.华罗庚著 <<华罗庚科普著作选>>
4.* <<矛盾论>> ，这里有早期的版本，这个足够了，吸取里面的精华营养。学数学要懂些哲学，要悟道数学思想方法至少要懂辩证法。对矛盾论和矛盾分析法在数学中的作用要有体验和实践，不要纸上谈兵空谈哲学，空谈误国更误自己。另外既然讲辩证，就别纠结唯物唯心，它们是一对矛盾，从更高层次来看，它们是统一的。
下篇：数学思想方法揭秘-4，在简书网站上。
王国波 2018.7.14于广州
