最长递增子序列LIS和最长公共子序列LCS

本文参考了《编程之美》、LeetCode中文题解以及博客
https://blog.csdn.net/George__Yu/article/details/75896330 (LIS)
https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482 （LCS）
https://blog.csdn.net/SongBai1997/article/details/81866559（LCS）
特此感谢！

一、最长递增子序列

问题描述

求一个给定序列中最长的递增子序列的长度。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

方法一：动态规划

时间复杂度：O(n^2)
思路：
状态设计：F[i]代表以A[i]结尾的LIS的长度
状态转移：F[i]=max{F[j]+1}(1<=j< i,A[j]< A[i])
边界处理：F[i]=1(1<=i<=n)

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn = 103,INF=0x7F7F7F;
int a[maxn],dp[maxn];

int n,ans = -INF;

int main()
{
    while(scanf("%d",&n) !=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            //初始值为1，即以i结尾的LIS子序列长度至少为1
            dp[i] = 1;
        }

        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
    //要求以a[x]结尾的最长递增子序列长度，我们依次比较a[x]与之前所有的a[i](i<x)
                if(a[j]<a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }

         for(int i=1;i<=n;++i)
            ans = max(ans,dp[i]);

        printf("%d\n",ans);
    }
}

/*
6
1 4 3 2 6 5
*/

方法二：贪心+二分

时间复杂度：O(n^2)
思路：
新建一个low数组，low[i]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。
因此，我们只需要维护low数组：
1）追加low数组
对于每一个a[i]，如果a[i] > low[当前最长的LIS长度]，就把a[i]接到当前最长的LIS后面，即low[++当前最长的LIS长度]=a[i]。
2）更新low数组
对于每一个a[i]，如果a[i]能接到LIS后面，就接上去；否则，就用a[i]取更新low数组。
具体方法是：
在low数组中找到第一个大于等于a[i]的元素low[j]，用a[i]去更新low[j]。如果从头到尾扫一遍low数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到low数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分low数组，找出第一个大于等于a[i]的元素。二分一次low数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn =300003,INF=0x7f7f7f7f;
int low[maxn],a[maxn];
int n,ans;
int binary_search(int *a,int r,int x)
//二分查找，返回a数组中第一个>=x的位置 
{
    int l=1,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid]<=x)
            l=mid+1;
        else 
            r=mid-1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]); 
        low[i]=INF;//由于low中存的是最小值，所以low初始化为INF 
    }
    low[1]=a[1]; 
    ans=1;//初始时LIS长度为1 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>=low[ans])//若a[i]>=low[ans]，直接把a[i]接到后面 
            low[++ans]=a[i];
        else //否则，找到low中第一个>=a[i]的位置low[j]，用a[i]更新low[j] 
            low[binary_search(low,ans,a[i])]=a[i];
    }
    printf("%d\n",ans);//输出答案 
    return 0;
}

二、最长公共子序列

问题描述

求两字符序列的最长公共字符子序列
例如，字符串s1=mzjawxu,s2=xmjyauz,仔细分析下，大体可以看出最长公共子序列是mjau。

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;




//公共子序列(非连续)
int dp[1000][1000];
int LcsNotContinus(string x,string y)
{
    for(int i=0;i<=x.length();i++)
      for(int j=0;j<=y.length();j++)
        if(i==0||j==0)
          dp[i][j]=0;
        else if(x[i-1]==y[j-1])
          dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
        else
          dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

    return dp[x.length()][y.length()];
}


//公共子串(连续)
int LcsContinus(string x,string y)
{
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=x.length();i++)
      for(int j=0;j<=y.length();j++)
        if(i==0||j==0||x[i-1]!=y[j-1])
          dp[i][j]=0;
        else{
           dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
           ans=max(ans,dp[i][j]);
        }
    return ans;
}

int main()
{
    string x = "abcdef";
    string y = "aebfc";
    cout<<LcsNotContinus(x,y)<<endl;  //3
    cout<<LcsContinus(x,y)<<endl;  //1
    return 0;
}

公共子串要求连续，而公共子序列不要求连续，这里参考文章：最长公共子串，使用基本方法、DP、后缀数组等方法解决。

附：

LIS的问题可以通过LCS解决：