洛谷【P2831】愤怒的小鸟 （NOIP 2016 D2T3）

题目描述

Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于(0,0)处，每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如y=ax2+bx的曲线，其中a,b是Kiana指定的参数，且必须满足a<0。

当小鸟落回地面(即x轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有n只绿色的小猪，其中第i只小猪所在的坐标为(xi,yi)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了(xi,yi),那么第i只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第i只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于(1,3)和(3,3)，Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为y=−x2+4x的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有T个关卡，现在Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这T个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。接下来的n行中，第i行包含两个正实数(xi,yi)，表示第i只小猪坐标为(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果m=1，则这个关卡将会满足：至多用⌈n3+1⌉只小鸟即可消灭所有小猪。

如果m=2,则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少⌊n3⌋只小猪。

保证1<=n<=18，0<=m<=2，0

输出格式：

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量

输入输出样例

输入样例#1：
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
输出样例#1：
1
1
输入样例#2：
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
输出样例#2：
2
2
3
输入样例#3：
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
输出样例#3：
6

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，2只小猪分别位于（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y=−x2+4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有5只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y=−x2+6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

数据范围

题解

0.题目大意：给出第一象限的若干点，用若干条过原点的抛物线把它们完全覆盖，求最小的抛物线条数。

1.状态压缩DP

这道题数据范围较小，我们首先会想到暴搜。任选两个小猪，确定一条抛物线，然后把所有在抛物线上的小猪都打掉。把所有情况枚举一遍，取最小值。这样暴搜的复杂度是O(2nn3T)。而218⋅183⋅30=45864714240，时间复杂度太高。2n是枚举所有情况的复杂度，已经无法优化。那我们只能从n3入手。用状压dp，通过一个n3的预处理，可以把复杂度降到O(2nnT)。具体方法是用一个大的二进制数s来代表当前小猪的状态，1代表小猪被干掉了，0代表小猪没被干掉。比如(13)10=(1101)2代表第1、3、4只小猪被干掉了。

状态设计：F[s]使当前小猪的状态是s所需的最小小鸟数

状态转移：F[s|t]=min(F[s|t],F[s]+1)

初值：全赋成n(当m=1时可赋成⌈n3+1⌉)

s表示已经当前干掉的小猪，t表示下一步能干掉的小猪，‘|’是按位或运算。
要注意两个细节：
1.舍弃两个点横坐标相等的情况
2.舍弃a≥0的情况（因为此时小鸟会直接冲到地上或沿直线飞出去233）

代码：

记忆化搜索版：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define N 20
#define S (1<<N)
#define eps 1e-9
using namespace std;
double x[N];
double y[N];
int dp[N][S];
int g[N][N];//g[i][j]表示干掉i和j的同时还能干掉哪些小猪
int n,m,t,ts;
int ans;
inline bool equ(double x,double y)//防止精度误差
{
    return fabs(x-y)<eps;
}
void dfs(int x,int y,int z)//x表示当前搜到的小猪编号，y代表当前状态，z代表已经用的小鸟数
{
    if(x==n) {ans=min(ans,z);return;}
    if(z>ans) return;//剪枝
    if(z>=dp[x][y]) return;//记忆化
    dp[x][y]=z;
    if((1<<x)&y) dfs(x+1,y,z);//如果当前小猪已被干掉，直接搜下一头小猪
    else
    {
        bool double_kill=false;
        for(int i=x+1;i<n;i++) if(!((1<<i)&y)) double_kill=true,dfs(x+1,y|g[x][i],z+1);
        if(!double_kill) dfs(x+1,y|(1<<x),z+1);
    }
}
void work()
{
    memset(g,0,sizeof(g));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ts=1<<n;ans=n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<ts;j++)
            dp[i][j]=n;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=i+1;j<n;j++) if(!equ(x[i],x[j]))//舍弃横坐标相等的情况
        {
            double b=(y[i]-y[j]*(x[i]*x[i])/(x[j]*x[j]))/(x[i]-(x[i]*x[i])/x[j]);
            double a=(y[i]-x[i]*b)/(x[i]*x[i]);
            if(a>-eps) continue;//若a>=0，直接舍弃
            g[i][j]=(1<<i)|(1<<j);
            for(int k=j+1;k<n;k++) if(equ(y[k],a*x[k]*x[k]+b*x[k])) g[i][j]|=1<<k;
        }
    dfs(0,0,0);
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--) work();
    return 0;
}

循环版：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define N 20
#define S 1<<N
#define eps 1e-9
using namespace std;
double x[N];
double y[N];
int g[N][N];
int mk[S];//mk表示小猪的编号
int dp[S];
int t,n,m;
inline bool equ(double x,double y)
{
    return fabs(x-y)<eps;
}
void init()//预处理
{
    memset(g,0,sizeof(g));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        mk[1<<i]=i;
        g[i][g[i][0]=1]=1<<i;
        for(int j=i+1;j<n;j++) if(!equ(x[i],x[j]))
        {
            int r,ok,k;
            double b=(y[i]-y[j]*(x[i]*x[i])/(x[j]*x[j]))/(x[i]-(x[i]*x[i])/x[j]);
            double a=(y[i]-x[i]*b)/(x[i]*x[i]);
            if(a>-eps) continue;
            for(r=(1<<i)|(1<<j),k=0;k<n;k++)
                if(equ(a*x[k]*x[k]+b*x[k],y[k])) r|=(1<<k);
            for(ok=0,k=1;k<=g[i][0]&&!ok;k++) ok=(g[i][k]&r)==r;//剔除重复的状态
            if(!ok) g[i][++g[i][0]]=r;
        }
    }
}
void solve()//dp主过程
{
    int ts=1<<n;//总状态数
    for(int i=1;i<ts;i++) dp[i]=n;//初始化
        for(int i=0;i<ts;i++)
        {
            int l=(ts-1)^i;l=mk[l&(-l)];//lowbit
            for(int j=1;j<=g[l][0];j++)
                dp[i|g[l][j]]=min(dp[i|g[l][j]],dp[i]+1);
        }
    printf("%d\n",dp[ts-1]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {init();solve();}
    return 0;
}

2.玄学做法

除了状压dp之外，还有一个玄学做法。就是把坐标数组随机打乱R次，每次按照顺序把小猪依次干掉，求所有小鸟数的最小值。时间复杂度O(n3TR)。在考场上为了求稳R可以取20000左右。然而，经过丧心病狂的实验，我发现R取46就能过，而且跑的飞快233。打乱的话可以用STL的random_shuffle函数，不要忘了更新随机种子。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define maxn 20
#define eps 1e-9
using namespace std;
struct Point{
    double x,y;
}p[maxn];
bool vis[maxn];
int g[maxn][maxn];
int n,m,t;
inline bool equ(double x,double y)
{
    return fabs(x-y)<eps;
}
void work()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int ans=n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    int R=46;
    while(R--)
    {
        int tot=0;
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        random_shuffle(p+1,p+n+1);
        for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i])
        {
            vis[i]=true;
            for(int j=i+1;j<=n;j++) if(!vis[j])
            {
                if(equ(p[i].x,p[j].x)) continue;
                double b=(p[i].y-p[j].y*(p[i].x*p[i].x)/(p[j].x*p[j].x))/(p[i].x-(p[i].x*p[i].x)/p[j].x);
                double a=(p[i].y-p[i].x*b)/(p[i].x*p[i].x);
                if(a>=-eps) continue;
                vis[j]=true;
                for(int k=j+1;k<=n;k++)
                    if(equ(a*p[k].x*p[k].x+b*p[k].x,p[k].y)) vis[k]=true;
                break;
            }
            tot++;
        }
        ans=min(ans,tot);
        if(ans==1) break;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    scanf("%d",&t);
    while(t--) work();
    return 0;
}

R=23333时：

R=46时：

后记：我好像用LaTeX用上瘾了233