天线理论与设计_第五节作业_王怀帅_202018019427053

3.3-1 对下述间距的6元等幅边射阵$({\theta }_M=0$，$\theta$角从阵法向算起)，写出其阵因子方向函数，求出$0^{\circ }\sim 90^{\circ }$角域的零点方向，并概画其极坐标方向图：

$(1)d=\lambda /2;$

$(1)d=\lambda ;$

$(1)d=0.8\lambda ;$

由题意知：

$N=6$，$\psi =0$，$u=k△r+\psi =kd\sin \theta$

阵因子方向函数：
$$F_a=\frac{\sin (\frac{N\pi d}{\lambda }\sin \theta )}{N\sin (\frac{\pi d}{\lambda }\sin \theta )}=\frac{\sin (\frac{6\pi d}{\lambda }\sin \theta )}{6\sin (\frac{\pi d}{\lambda }\sin \theta )}$$

因为单元天线采用半波阵子：

$$F(\theta )=F_1\cdot F_a=\frac{\cos (\frac{\pi }{2}\cos \theta )}{\sin \theta }\cdot \frac{\sin (\frac{6\pi d}{\lambda }\sin \theta )}{6\sin (\frac{\pi d}{\lambda }\sin \theta )}$$

零点方向：
$${\theta }_0=\pm \arcsin \frac{n\lambda }{Nd}，n=1,2,3...$$

MATLAB仿真程序：

%f = 3e10;%确定频率
lambda = 1;%设置波长
%k = 2*pi/lambda;%传播常数表达式
theta1 = 0:pi/300:2*pi;%设定角度范围
theta2 = 0:pi/300:2*pi;
N = 6;%确定阵列元数
d = lambda./2;%设定间距
f1 = cos((pi/2).*sin(theta1))./cos(theta1);%半波振子方向图函数
f2_1 = sin((N*pi*d/lambda).*sin(theta2));
f2_2 = N.*sin((pi*d/lambda).*sin(theta2));
f2 = f2_1./f2_2;%阵因子方向图函数
rho = f1.*f2;%乘积定理
polarplot(theta2+pi/2,abs(rho),'b');%绘制极坐标方向图
title('6元等幅边射阵方向图')%标题

所以，当边射阵的间距发生改变时，阵因子方向函数、零点方向、极坐标方向图如下：

$d=\lambda /2$：

$$F_a=\frac{\sin (3\pi \sin \theta )}{6\sin (\frac{\pi }{2}\sin \theta )}$$

$${\theta }_0=\pm \arcsin \frac{n}{3}，n=1,2,3...$$

$0^{\circ }\sim 90^{\circ }$角域：

$${\theta }_0=19.47^{\circ }、41.81^{\circ }、90^{\circ }$$

$d=\lambda$：

$$F_a=\frac{\sin (6\pi \sin \theta )}{6\sin (\pi \sin \theta )}$$

$${\theta }_0=\pm \arcsin \frac{n}{6}，n=1,2,3...$$

$0^{\circ }\sim 90^{\circ }$角域：

$${\theta }_0=9.59^{\circ }、19.47^{\circ }、30^{\circ }、41.81^{\circ }、56.44^{\circ }、90^{\circ }$$

$d=0.8\lambda$：

$$F_a=\frac{\sin (4.8\pi \sin \theta )}{6\sin (\frac{4\pi }{5}\sin \theta )}$$

$${\theta }_0=\pm \arcsin \frac{n}{4.8}，n=1,2,3...$$

$0^{\circ }\sim 90^{\circ }$角域：

$${\theta }_0=12.02^{\circ }、24.62^{\circ }、38.68^{\circ }、56.44^{\circ }$$

3.3-5 分别利用式(3.3-56)和式(3.3-57)计算下列$N$元等幅边射半波振子阵($d=\lambda /2$)的方向系数：

(1)$N=3$，并列;

(1)$N=4$，并列;

(1)$N=4$，共轴;

$$并列：D=1.64N\text{\hspace{1em}(3.3-56)}$$

$$共轴：D=N\text{\hspace{1em}(3.3-56)}$$

$$D=\frac{N^2}{a_{0}N+\frac{2}{kd}{\sum }_{m=1}^{N-1}(a_1\sin mkd+a_2\cos mkd)\cos m\psi }\text{\hspace{1em}(3.3-57)}$$

$N=3，并列$：

利用式(3.3-56)：
$$D=1.64N=1.64\times 3=4.92$$

利用式(3.3-57)：
$$D=5.47$$

$N=4，并列$：

利用式(3.3-56)：
$$D=1.64N=1.64\times 4=6.56$$

利用式(3.3-57)：
$$D=7.49$$

$N=4，共轴$：

利用式(3.3-56)：
$$D=4$$

利用式(3.3-57)：
$$D=4.30$$

3.3-7由$N=7$元半波振子组成的等幅边射共轴线阵(如图3.3-3所见)，$d=\lambda /2$，求$E$面方向函数，概画方向图，并求$HP$、$SLL$及方向系数$D$。

$$F(\theta )=F_1\cdot F_a=\frac{\cos (\frac{\pi }{2}\cos \theta )}{\sin \theta }\cdot \frac{\sin (\frac{7\pi }{2}\sin \theta )}{7\sin (\frac{\pi }{2}\sin \theta )}$$

$$HP=0.886\frac{\lambda }{Nd}=0.886\times \frac{2}{7}\approx 0.253$$

$$SLL=-13.5dB$$

$$D=N=7$$

3.3-8 对上题$N=7$元半波振子等幅共轴线阵($d=\lambda /2$)，今要求波束由边射方向${\theta }_M=0^{\circ }$扫描到${\theta }_M=40^{\circ }$

(1)求所需的相邻单元最大相移$\psi$；

(2)要求不出现栅瓣，对其间距$d$有什么条件？

对于$N=7$元半波振子等幅共轴线阵，最大辐射角度为${\theta }_M$的阵因子为：
$$u=k△r+\psi =kd(\sin \theta -\sin {\theta }_M)$$

$$F_a=\frac{\sin [\frac{N\pi d}{\lambda }(\sin \theta -\sin {\theta }_M)]}{N\sin [\frac{\pi d}{\lambda }(\sin \theta -\sin {\theta }_M)]}=\frac{\sin [\frac{7\pi }{2}(\sin \theta -\sin {\theta }_M)]}{7\sin [\frac{\pi }{2}(\sin \theta -\sin {\theta }_M)]}$$

$$\psi =-kd\sin {\theta }_M=-\pi \sin 40^{\circ }\approx -2.019\approx 115.7^{\circ }$$

抑制栅瓣不出现的条件为：

$$d<\frac{\lambda }{1+|\cos (90^{\circ }-{\theta }_M)|}=\frac{\lambda }{1+\cos 50^{\circ }}\approx 0.609\lambda$$

严格要求栅瓣的主要部分不出现在可见区的条件为：

$$d<\frac{\lambda }{1+|\cos (90^{\circ }-{\theta }_M)|}(1-\frac{1}{2N})=\frac{\frac{13}{14}\lambda }{1+\cos 50^{\circ }}\approx 0.565\lambda$$

3.3-10 对工作于$\lambda =10cm$的8元等幅等距线阵，请根据表(3.3-5)算chauffeur下列线阵所需要的的元距$d$条件：

(1)边射阵；

(2)端射阵；

(3)HW端射阵；

(1)扫描角(从端射反向算起)${\theta }_M=30^{\circ }$的扫描阵；

边射阵：

$$d<\lambda (1-\frac{1}{2N})=0.1(1-\frac{1}{16})\approx 0.093$$

端射阵：

$$d<\frac{\lambda }{2}(1-\frac{1}{2N})=0.05(1-\frac{1}{16})\approx 0.046$$

HW端射阵：

$$d<\lambda (1-\frac{1}{N})=0.1(1-\frac{1}{8})\approx 0.087$$

扫描角(从端射反向算起)${\theta }_M=30^{\circ }$的扫描阵：

$$d<\frac{\lambda }{1+|\cos {\theta }_M|}(1-\frac{1}{2N})=\frac{0.1}{1+0.866}(1-\frac{1}{16})\approx 0.05$$

3.3-11 移动通信基站天线通常采用铅锤架设的4元边射共轴等幅半波振子阵，以在水平面产生全向方向图，如图3.3-20所见。早期蜂窝电话频段为$824\sim 894MHz$。

(1)为获得最大方向图系数，参考式(3.3-66)和图3.3-14，选定元距$d=0.8{\lambda }_0$，${\lambda }_0$为中心频率的波长，求$d$的值。设上、下端频的波长为${\lambda }_1$和${\lambda }_2$，分别求$d/{\lambda }_1$和$d/{\lambda }_2$的值；

(2)利用式(3.3-57)分别算出${\lambda }_0$、${\lambda }_1$、${\lambda }_2$时的方向系数$D_0$、$D_1$、$D_2$；

(3)写出${\lambda }_0$时的x-z面方向函数，画出其极坐标方向图；利用图3.2-4算出${\lambda }_0$时的方向系数；

$${\lambda }_0=\frac{c}{f_0}=\frac{3\times 10^8}{859\times 10^6}\approx 0.35$$

$${\lambda }_1=\frac{c}{f_0}=\frac{3\times 10^8}{824\times 10^6}\approx 0.36$$

$${\lambda }_2=\frac{c}{f_0}=\frac{3\times 10^8}{894\times 10^6}\approx 0.34$$

$$d=0.8{\lambda }_0\approx 0.28$$

$$d/{\lambda }_1=\frac{0.28}{0.36}\approx 0.78$$

$$d/{\lambda }_2=\frac{0.28}{0.34}\approx 0.82$$

$$F(\theta )=\frac{\cos (\frac{\pi }{2}\cos \theta )}{\sin \theta }\cdot \frac{\sin (2\pi \sin \theta )}{6\sin (\frac{\pi }{2}\sin \theta )}$$

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