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CH0503 奇数码问题(逆序对)

程序员文章站 2022-03-11 11:58:42
题面:奇数码问题思路:找了好久,没有找到奇数码问题和 n∗mn*mn∗m 数码问题的详细证明。先记个结论。奇数码游戏两个局面可达,当且仅当两个局面下网络中的数依次写成不含零的 111 到 n∗n−1n*n-1n∗n−1 的序列后,逆序对个数的奇偶性相同。结论必要性证明:空格(即 000 )左右移动的时候,我们列出出来的序列是不变的;空格上(下)移动时,相当于某个数与它后(前)边 n−1n-1n−1 个数交换了位置,因为 n−1n-1n−1 是偶数,所以逆序对数的变化也是一个偶数。拓展到 nnn 为...

题面:奇数码问题

思路:

找了好久,没有找到奇数码问题和 nmn*m 数码问题的详细证明。先记个结论。

奇数码游戏两个局面可达,当且仅当两个局面下网络中的数依次写成不含零的 11nn1n*n-1 的序列后,逆序对个数的奇偶性相同。

结论必要性证明:空格(即 00 )左右移动的时候,我们列出出来的序列是不变的;空格上(下)移动时,相当于某个数与它后(前)边 n1n-1 个数交换了位置,因为 n1n-1 是偶数,所以逆序对数的变化也是一个偶数。

拓展到 nn 为偶数的情况,此时两个局面可达,当且仅当两个局面对应的网络写成序列之后,逆序对数之差两个局面下空格所在的行数之差奇偶性相同。
nmn*m 数码问题也是根据上面两个结论来进行判定有解性的。具体的,慢慢找。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define sc scanf
#define pf printf
using namespace std;
const int N = 250010;

int a[N], b[N], w[N];

//归并排序求逆序对数
int merge(int l, int r, int x[])
{
    if(l == r)    return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    int res = merge(l, mid, x) + merge(mid + 1, r, x);
    
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while(i <= mid && j <= r) {
        if(x[i] <= x[j])    w[k++] = x[i++];
        else {
            res += mid - i + 1;
            w[k++] = x[j++];
        }
    }
    while(i <= mid) w[k++] = x[i++];
    while(j <= r)   w[k++] = x[j++];
    for(i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) x[i] = w[j];
    return res;
}

void read(int *x, int len)
{
    int k = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        int num; sc("%d", &num);
        if(num != 0)    x[k++] = num;
    }
}

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n) {
        read(a, n * n);
        read(b, n * n);
        int cnt_a = merge(0, n * n - 1, a);
        int cnt_b = merge(0, n * n - 1, b);
        //要使得两个局面可达
        //当且仅当两个局面的不含空格的序列的逆序对个数的奇偶性一致
        if((cnt_a & 1) == (cnt_b & 1))  puts("TAK");
        else    puts("NIE");
    }
}

本文地址:https://blog.csdn.net/qq_45371462/article/details/107876269