计算 旋转数组的最小数字

剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字

剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字
把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

示例 1：

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例 2：

输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

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思路1：遍历

题目的意思：输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。
话说，管他是不是旋转数组，直接找出并返回数组的最小值即可。
也就是：找出数组的最小值
从前往后比较，遇到更小的替换，最后找出最小值
不难写出代码：

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        //边界条件
        if(numbers == null || numbers.length == 0) return 0;
        
        int min = numbers[0];
        for(int i = 0; i<numbers.length; i++){
            if(numbers[i] < min)
            {
                min = numbers[i];
            }
        }
        return min;
    }
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

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思路2：遍历的优化

但是，这道题应该不是让我们这样解的，因为没有使用到原数组是排序好的数组这个信息。

假如，我们将输入的旋转后的数组再次改变为排序好的数组，那么，直接找出数组第一个元素就是最小值。
如何将输入后的旋转后的数组再次改变为排序好的数组呢？
可以从前往后找，找到一个前面的数字大于后一个数字的地方
可以从后往前找，找到一个前面的数字大于后一个数字的地方

其实，仔细想想，又没有让我们恢复排序数组，那么就没有必要对数组进行操作
那么，我们只需要找到一个前面的数字大于后一个数字的地方即可

从前往后找：

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        //边界条件
        if(numbers == null || numbers.length == 0) return 0;
        
        //从前往后，找出第一个前面的数，大于后面的数的后面的数
        int min = numbers[0];
        for(int i = 0; i<numbers.length; i++){
            if(numbers[i] < min)
            {
                min = numbers[i];
                break;
            }
        }
        return min;
    }
}

比之前的程序，只是多了一个break

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看了答案，解题是使用的二分查找
这倒也对，排序的数组，使用二分查找效率要高
但，问题是，这个数组也并不是排序的数组，而是排序数组的旋转
这样看来，这道题是考察二分查找的变种，如何在旋转后的排序数组中，使用二分查找找到最小值

思路3：二分查找

假设：
最小值所在的位置为i，值nums[i] = x;
那么，位置i之前的数据都小于x；位置i之后的数据都大于或等于x

为何前面是小于，后面是大于或等于呢？

比如[1,1,2,2,0,0]
那么，最小值的位置index可以是4，也可以是5，因为两个位置的值都是0
但，根据是排序的规则，我们可以默认第一个最小值为最小值，也就是index = 4的地方为最小值。
但是，最后求的是最小值，而不是位置，所以，index = 4或 index = 5都可以，反正最后返回的值都是0

其实，这里，你也可以规定i之前的数据都是小于或等于x，i之后的数据都是大于x。

根据上面的特征，可以得到nums[middle]的值，然后分情况讨论：

1. 如果nums[middle] > nums[height]，说明最小值在middle的右边

2. 如果nums[middle] < nums[height]，说明最小值在middle的左边

3. 如果nums[middle] == nums[height]
   

那么，最小值不能确定在左边还是右边，
不能减少为minArray(numbers, low, middle);，有可能把最小值在右边的情况忽略掉
但是，可以使得height - 1，这是因为，height - 1最多是middle的地方，也没有把最小值忽略掉

根据以上思路，尝试写代码：

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class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        //边界条件
        if(numbers == null || numbers.length == 0) return 0;
        
        return minArray(numbers, 0, numbers.length - 1);
    }

    //左闭右开
    public int minArray(int[] numbers, int low, int height)
    {
        // int middle = (height - low)/2;
        int middle = low + (height - low)/2;
                    // = low + height/2 - low/2
                    // = height/2 + low/2;

        if(low < height){
            if(numbers[middle] > numbers[height]){
                return minArray(numbers, middle + 1, height);
            }else if(numbers[middle] < numbers[height]){
                return minArray(numbers, low, middle);
            }else{
                return minArray(numbers, low, --height);
            }
        }else{
            return numbers[low];
        }

        
    }
}

需要注意的地方：
int middle = (height - low)/2;❌
int middle = low + (height - low)/2;✅
int middle = (height + low)/2;✅

–height，因为要用到height - 1的结果

为何：minArray(numbers, middle + 1, height);
为何：minArray(numbers, low, middle);
你们不觉得这很怪异吗？
为何前面的middle可以+1操作，而后面那个middle不可以做-1操作？

为何minArray(numbers, middle + 1, height);
能不能+1，是看+1后，会不会把最小值省略掉
如第一张图，nums[middle + 1] > nums[middle]，所以不会省略最小值
即使，nums[middle + 1]正好就是最小值，nums[middle + 1] < nums[middle]
而求的是minArray(numbers, middle + 1, height);，依然不会省略掉最小值，所以，此处middle + 1是可以的

为何minArray(numbers, low, middle);
能不能middle - 1，是看-1后，会不会把最小值省略掉
如第二张图所示，nums[middle - 1] < nums[middle]，不会省略最小值
问题是，如果nums[middle]此时正好就是最小值，那么，nums[middle - 1] > nums[middle]，此时minArray(numbers, low, middle - 1);就会把最小值nums[middle]给漏掉，因此，middle-1是不可以的

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