【算法】广度优先搜索——最短路径问题

目录

1. 广度优先搜索

1.1 查找最短路径

1.2 队列

2. 算法实现

3. 运行时间

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1. 广度优先搜索

广度优先搜索是一种用于图（图的介绍）的查找算法，可帮助回答两类问题。

1. 第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？
2. 第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？

当要计算地点A到地点B的最短路径时，你可以使用广度优先搜索。这个问题属于第二类问题：哪条路径最短？下面来详细研究这个算法，你将使用它来回答第一类问题：有路径吗？

假设你经营着一个芒果农场，需要寻找芒果经销商，以便将芒果卖给他。然而，你并不认识芒果经销商。为此，你可以在朋友中查找。

这种查找很简单。首先，创建一个朋友清单。

然后，一次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果经销商。

假设你没有朋友是芒果经销商，那么你就必须在朋友的朋友中查找。

检查名单中的每个人时，你都将其朋友加入名单。

这样一来，不仅在朋友中查找，还在朋友的朋友中查找。别忘了，你的目标是在人际关系网中找到一位芒果经销商。因此，如果Alice不是芒果经销商，就将他的朋友也加入到名单中。这意味着你将她的朋友、朋友的朋友等中查找。使用这种算法将搜索你的整个人际关系网，直到找到芒果经销商。这就是广度优先搜索算法。

1.1 查找最短路径

再次重复，广度优先搜索可回答两类问题:

1. 第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？
2. 第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？

刚才你看到了如何回答第一类，下面来尝试回答第二类问题——谁是关系最近的芒果经销商。例如，朋友是一度关系，朋友的朋友是二度关系。

在你看来，一度关系胜过二度关系，二度关系胜过三度关系，以此类推。因此，你应先在一度搜索中搜索，确定没有芒果经销商后，才在二度关系中搜索。广度优先搜索就是这样做的！在广度优先搜索的执行过程中，搜索范围从起点开始逐渐向外延伸，即先检查一度关系，再检查二度关系。顺便问一句：将先检查Claire还是Anuj呢？ Claire是一度关系，而Anuj是二度关系，因此将先检查Claire，后检查Anuj。

你也可以这样看，一度关系在二度关系之前加入查找名单。

你按顺序依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果经销商。这将先在一度关系中查找，再在二度关系中查找，因此找到的是关系最近的芒果经销商。广度优先搜索不仅查找从A到B的路径，而且找到的是最短的路径。

注意，只有按添加顺序查找时，才能实现这样的目的。换句话说，如果Claire先于Anuj加入名单就需要先检查Claire，再检查Anuj。如果Claire和Anuj都是芒果经销商，而你先检查Anuj再检查Claire，结果将会如何呢？中安到的芒果经销商并非是与你关系最近的，因为Anuj是你朋友的朋友，而Claire是你的朋友。因此，你需要按添加顺序进行检查。有一个可实现这种目的的数据结构，那就是队列（queue）。

1.2 队列

队列的工作原理与现实生活中的队列完全相同，假设你与朋友一起在公交车站排队，如果你排在他前面，你将先上车。队列的工作原理与此相同。队列类似于栈，你不能随机地访问队列中的元素。队列只支持两种操作：入队和出队。

如果你将两个元素加入队列，先加入的元素将在后加入的元素之前出队。因此，你可使用队列来表示查找名单！这样，先加入的人将先出队并先被检查。

队列是一种先进先出（First In First Out， FIFO）的数据结构，而栈是一种后进先出（Last In First Out，LIFO）的数据结构。

知道队列的工作原理之后，即可实现广度优先搜索。

2. 算法实现

先概述一下这种算法：

首先，创建一个队列。在Python中，可使用函数deque来创建一个双端队列。

from collection import deque
search_queue = deque()    #创建一个队列
search_queue += graph["you"]    #将你的邻居都加入到这个搜索队列中

别忘了，graph["you"]是一个数组，其中包含你的所有邻居，如["alice", "bob", "claire"]。这些邻居都将加入到搜索队列中。

下面来看看其他的代码。

while search_queue:    #只要队列不为空
    person = search_queue.popleft()    #取出其中的第一个人
    if person_is_seller(person):    #检查这个人是否是芒果经销商
        print person + " is a mango seller!"    #是芒果经销商
        return True
    else:
        search_queue += graph[person]    #不是芒果经销商，将这个人的朋友都加入搜索队列
return False    #如果达到了这里，就说明队列中没人是芒果经销商

最后，你还需要编写函数person_is_seller，判断一个人是否是芒果经销商。如下所示：

def person_is_seller(name):
    return name[-1] == 'm'

这个函数仅通过检查人的姓名是否是以m结尾：如果是，他就是芒果销售商。这种判断方法有点搞笑，但就这个示例而言是可行的。下面来看看广度优先搜索的执行过程。

这个算法将不断执行，直到满足以下条件之一：

1. 找到一位芒果供应商；
2. 队伍变成空的，这意味着你的人际关系网中没有芒果经销商。

Peggy既是Alice的朋友又是Bob的朋友，因此她将被加入队列两次：一次是在添加Alice的朋友时，另一次是在添加Bob的朋友时。因此，搜索队列将包含两个Peggy。

但你只需要检查Peggy一次，看她是不是芒果经销商。如果你检查两次，就做了无用功。因此，检查完一个人后，应将其标记为已检查，且不再检查他。

如果不这样做，就可能会导致无限循环，假设你的人际关系网类似于下面这样。

一开始，搜索队列包含你的所有邻居。

现在你检查Peggy。他不是芒果经销商，因此你将其所有邻居都加入搜索队列。

接下来，你检查自己。你不是芒果经销商，因此你将你所有的邻居都加入到搜索队列。

以此类推，将形成无限循环，因此搜索队列将在包含你和包含Peggy之间反复切换。

检查一个人之前，要确认之前没检查过他，这很重要。为此，你可使用一个列表来记录检查过的人。

考虑到这一点后，广度优先搜索的最终代码如下：

def search(name):
    search_queue = deque()
    search_queue += graph[name]
    searched = []      #这个数组用于记录检查过的人
    while search_queue:
        person = search_queue.popleft()
        if not person in searched:    #仅当这个人没检查过时才检查
            if person_is_seller(person):
                print person + " is a mango seller!"
                return True
        else:
            search_queue += graph[person]
            searched.append(person)    #将这个人标记为检查过
    return False


search("you")

3. 运行时间

如果你在你的整个人际关系网中搜索芒果销售商，就意味着你将沿每条边前进（记住，边是一个人到另一个人的箭头或连接），因此运行时间至少为O(边数)。

你还使用了一个队列，其中包含要检查的每个人，将一个人添加到队列需要的时间固定的，即为O(1)，因此对每个人都需要的总时间为O(人数)。所以，广度优先搜索的运行时间为O(人数+边数)，这通常写作O(V+E)，其中V为顶点（vertice）数，E为边数。