Problem A

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5685

 分析: 此题本质是求Ar*A(r+1)*...An%p，亦即[(A1*A2*...An)/(A1*A2*...Ar-1)]%p，由于模运算的除法运算不能类比四则运算，即(a / b) % p ≠ (a % p / b % p) % p，我们需要用到乘法逆元，在此，先对乘法逆元有关的知识做些介绍。

1. 对于正整数a和p，如果有a*k≡1 (mod p)，那么同余方程中k的最小正整数解叫a模p的逆元
2. 乘法逆元有如下定理：(a*k) mod p结果与(a/b) mod p等价，其中k为b关于p的乘法逆元(证明见后面的补充)
3. 费马小定理：已知p是质数且gcd(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p),  所以 a*a^p-2 ≡ 1 (mod p)

由以上三点知识，我们容易确定最终结果为h[b]*h[a-1]^(p-2) mod p，对于h[a-1]^(p-2)，用快速幂或者扩展欧几里得算法来计算即可，时间效率为O(lgP)

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring> 

using namespace std;
const int LEN = 100005;
const int P = 9973;

int N;
char s[LEN];
int h[LEN];

void PrePro(){
	int len = strlen(s);
	h[0] = 1;
	for(int i=1;i<=len;i++){
		h[i] = h[i-1]*(s[i-1]-28)%P;
	}
}

int KSM(int a, int n){//快速幂
	int ret = 1;
	int tmp = h[a-1];
	while(n){
		if(n&1) ret = ret*tmp%P;
		n >>= 1;
		tmp = tmp*tmp%P;
	}
	return ret;
}
void GetHashValue(){
	int a,b;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		//h[b]*h[a-1]^(P-2)modP
		printf("%d\n",h[b]*KSM(a,P-2)%P); 
	}
}

int main(){
	while(scanf("%d",&N)!=EOF){
		scanf("%s",s);
		PrePro();
		GetHashValue();
	}
	return 0;
}

乘法逆元定理的证明：

由b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1，k=(p*x+1)/b，将k代入(a*k) mod p，得：

[a*(p*x+1)/b]mod p=[(a*p*x)/b+a/b]mod p(注意:只要a整除b,自然有(a*p*x)整除b)

={[(a*p*x)/b] mod p +(a/b)} mod p

={[p*(a*x)/b]mod p +(a/b)} mod p，而p*[(a*x)/b] mod p=0

=(a/b) mod p

参照：

• http://blog.csdn.net/jklongint/article/details/51415402
• http://blog.csdn.net/nickwong_/article/details/38797629
• http://www.cnblogs.com/tiankonguse/archive/2012/08/14/2638949.html