二项式反演/minmax容斥初探

世界是物质的，物质是运动的，运动是有规律的，规律是可以被认识的

二项式反演

\[ g_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}if_i\rightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i \]

证明如下

\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}ig_i &=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\sum_{j=0}^i\binom{i}jf_i\\ &=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}i\binom{i}j\\ &=\sum_{j=0}^nf_i \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}j\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j \sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{n-j-i}\binom{n-j}i\\ &=\sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j} \end{aligned} \]

在默认\(0^0=1\)的情况下，显然

\[ \sum_{j=0}^n\binom{n}jf_j\times (1-1)^{n-j}=f_n\\ f_n=f_n \]

最值反演

\[ \max(s)=\sum_{t\subseteq s} (-1)^{|t|-1}\min(t)\\ e_\forall(s)=\sum_{t\subseteq s} (-1)^{|t|-1}e_\exists(t)\\ \text{lcm}(s)=\prod_{t\subseteq s} (-1)^{|t|-1}\gcd(t)\\ \]

其中，\(s,t\not=\varnothing\)。

推导第一类

设系数函数\(f\)满足
\[ \max(s)=\sum_{t\subseteq s} f(|t|)\min(t) \]

考虑\(s\)中第\(x+1\)大元素作为子集的最小值的情况数，显然
\[ \sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=0]\\ f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=0]=(-1)^x \]
于是\(f(x)=(-1)^{x-1}\)。

扩展
\[ \text{maxk}(s)=\sum_{t\subseteq s} f(|t|)\min(t) \]
此时需要满足
\[ \sum_{i=0}^x\binom{x}if(i+1) = [x=k-1]\\ f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}i[i=k-1]=(-1)^{x-k+1}\binom{x}{k-1} \]
即\(f(x)=(-1)^{x-k}\binom{x-1}{k-1}\)。
\[ \text{maxk}(s)=\sum_{t\subseteq s}(-1)^{|t|-k}\binom{|t|-1}{k-1}\min(t) \]