拉格朗日插值学习小结
简介
在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日(插值)多项式。
拉格朗日插值法
众所周知,\(n + 1\)个\(x\)坐标不同的点可以确定唯一的最高为\(n\)次的多项式。在算法竞赛中,我们常常会碰到一类题目,题目中直接或间接的给出了\(n+1\)个点,让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值
一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系数,但是这样做复杂度巨大\((n^3)\)且根据算法实现不同往往会存在精度问题
而拉格朗日插值法可以在\(n^2\)的复杂度内完美解决上述问题
假设该多项式为\(f(x)\), 第\(i\)个点的坐标为\((x_i, y_i)\),我们需要找到该多项式在\(k\)点的取值
根据拉格朗日插值法
\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]
乍一看可能不是很好理解,我们来举个例子理解一下
假设给出的三个点为\((1, 3)(2, 7)(3, 13)\)
直接把\(f(k)展开\)
\(f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}\)
观察不难得到,如果我们把\(x_i\)带入的话,除第\(i\)项外的每一项的分子中都会有\(x_i - x_i\),这样其他的所有项就都被消去了
因此拉格朗日插值法的正确性是可以保证的
下面说一下拉格朗日插值法的拓展
在\(x\)取值连续时的做法
在绝大多数题目中我们需要用到的\(x_i\)的取值都是连续的,这样的话我们可以把上面的算法优化到\(o(n)\)复杂度
首先把\(x_i\)换成\(i\),新的式子为
\(f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)
考虑如何快速计算\(\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)
对于分子来说,我们维护出关于\(k\)的前缀积和后缀积,也就是
\[pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j\]
\[suf_i = \prod_{j = i}^n k - j\]
对于分母来说,观察发现这其实就是阶乘的形式,我们用\(fac[i]\)来表示\(i!\)
那么式子就变成了
\[f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{fac[i] * fac[n - i]}\]
注意:分母可能会出现符号问题,也就是说,当\(n - i\)为奇数时,分母应该取负号
重心拉格朗日插值法
再来看一下前面的式子
\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]
设\(g = \prod_{i=1}^n k - x[i]\)
\[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - x[i])(x[i] - x[j])} \]
设\(t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}\)
\[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - x[i])} \]
这样每次新加入一个点的时候只需要计算它的\(t_i\)即可
应用
经典应用
首先讲一个经典应用:计算\(\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)\)
老祖宗告诉我们,这个东西是个以\(n\)为自变量的\(k + 1\)次多项式,具体证明可以看第二份参考资料
然后直接带入\(k+1\)个点后用拉格朗日插值算即可,复杂度\(o(k)\)
那具体在题目中怎么使用拉格朗日插值呢?
首先你要证明求的东西是某个多项式,判断的依据是:
大部分情况下归纳一下就可以了
题目
由易到难排列
参考资料
推荐阅读
-
BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc(拉格朗日插值)
-
BZOJ2655: calc(dp 拉格朗日插值)
-
拉格朗日插值学习小结
-
python数据分析与挖掘实战---拉格朗日插值法
-
BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较(dp 拉格朗日插值)
-
洛谷P4593 [TJOI2018]教科书般的*(拉格朗日插值)
-
计算方法实验(一):拉格朗日插值多项式
-
插值多项式的拉格朗日形式
-
插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插值 、样条插值、 B 样条函数插值、二维插值
-
lagrange插值法:求拉格朗日插值多项式matlab实现(内附代码及例题)