用TensorFlow实现戴明回归算法的示例

如果最小二乘线性回归算法最小化到回归直线的竖直距离（即，平行于y轴方向），则戴明回归最小化到回归直线的总距离（即，垂直于回归直线）。其最小化x值和y值两个方向的误差，具体的对比图如下图。

 

线性回归算法和戴明回归算法的区别。左边的线性回归最小化到回归直线的竖直距离；右边的戴明回归最小化到回归直线的总距离。

线性回归算法的损失函数最小化竖直距离；而这里需要最小化总距离。给定直线的斜率和截距，则求解一个点到直线的垂直距离有已知的几何公式。代入几何公式并使tensorflow最小化距离。

损失函数是由分子和分母组成的几何公式。给定直线y=mx+b，点（x0，y0），则求两者间的距离的公式为：

# 戴明回归
#----------------------------------
#
# this function shows how to use tensorflow to
# solve linear deming regression.
# y = ax + b
#
# we will use the iris data, specifically:
# y = sepal length
# x = petal width

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import tensorflow as tf
from sklearn import datasets
from tensorflow.python.framework import ops
ops.reset_default_graph()

# create graph
sess = tf.session()

# load the data
# iris.data = [(sepal length, sepal width, petal length, petal width)]
iris = datasets.load_iris()
x_vals = np.array([x[3] for x in iris.data])
y_vals = np.array([y[0] for y in iris.data])

# declare batch size
batch_size = 50

# initialize placeholders
x_data = tf.placeholder(shape=[none, 1], dtype=tf.float32)
y_target = tf.placeholder(shape=[none, 1], dtype=tf.float32)

# create variables for linear regression
a = tf.variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))
b = tf.variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))

# declare model operations
model_output = tf.add(tf.matmul(x_data, a), b)

# declare demming loss function
demming_numerator = tf.abs(tf.subtract(y_target, tf.add(tf.matmul(x_data, a), b)))
demming_denominator = tf.sqrt(tf.add(tf.square(a),1))
loss = tf.reduce_mean(tf.truediv(demming_numerator, demming_denominator))

# declare optimizer
my_opt = tf.train.gradientdescentoptimizer(0.1)
train_step = my_opt.minimize(loss)

# initialize variables
init = tf.global_variables_initializer()
sess.run(init)

# training loop
loss_vec = []
for i in range(250):
  rand_index = np.random.choice(len(x_vals), size=batch_size)
  rand_x = np.transpose([x_vals[rand_index]])
  rand_y = np.transpose([y_vals[rand_index]])
  sess.run(train_step, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y})
  temp_loss = sess.run(loss, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y})
  loss_vec.append(temp_loss)
  if (i+1)%50==0:
    print('step #' + str(i+1) + ' a = ' + str(sess.run(a)) + ' b = ' + str(sess.run(b)))
    print('loss = ' + str(temp_loss))

# get the optimal coefficients
[slope] = sess.run(a)
[y_intercept] = sess.run(b)

# get best fit line
best_fit = []
for i in x_vals:
 best_fit.append(slope*i+y_intercept)

# plot the result
plt.plot(x_vals, y_vals, 'o', label='data points')
plt.plot(x_vals, best_fit, 'r-', label='best fit line', linewidth=3)
plt.legend(loc='upper left')
plt.title('sepal length vs pedal width')
plt.xlabel('pedal width')
plt.ylabel('sepal length')
plt.show()

# plot loss over time
plt.plot(loss_vec, 'k-')
plt.title('l2 loss per generation')
plt.xlabel('generation')
plt.ylabel('l2 loss')
plt.show()

结果：

 

 

本文的戴明回归算法与线性回归算法得到的结果基本一致。两者之间的关键不同点在于预测值与数据点间的损失函数度量：线性回归算法的损失函数是竖直距离损失；而戴明回归算法是垂直距离损失（到x轴和y轴的总距离损失）。

注意，这里戴明回归算法的实现类型是总体回归（总的最小二乘法误差）。总体回归算法是假设x值和y值的误差是相似的。我们也可以根据不同的理念使用不同的误差来扩展x轴和y轴的距离计算。

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。