bzoj1706 [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑 矩阵乘法（倍增floyd）

题意：求长度为n的最短路。
设f[i][j]为i,j最短距离，求出矩阵f。
由floyd可以知道，我们每一次找中间点，然后更新最短路。
那么可以发现，最短路其实是由两段路径组成的（普通最短路，注意是段不是条）
那么，我们只要做k次floyd，就可以求出由k段路径组成的最短路。
由于n<=1e6，不能直接上，所以用矩阵乘法。
那么问题是题目中要求的是k条而不是k段，这我们怎么办呢？
我们可以注意到矩阵乘法中和floyd方程的不同之处。
floyd:d[i][j]=min(d[i][k]+d[k][j]);
矩阵乘法：d[i][j]=min(a[i][k]+a[k][j]);(初始化a=d)
区别就在于更新的数组不同了，floyd还是更新原数组，但是矩阵乘法便不同了，为什么这样就可以从k段变成k条呢？
因为如果直接更新原数组，那么更新过后的路径都可以被用来更新新的路径，但是不是原数组就不可以。这样讲可能还是有点模糊，我举个例子。
比如我们有一条路径1-2-3-4，长度都为1.
一开始d=a，a中只有相邻两条边的长度。
那么我们按照矩阵乘法的式子更新，可以发现，我可以更新1-3的路径，但是却不可以更新1-4的路径，因为我既不知道2-4的路径（中间点为2），也不知道1-3的路径（中间点为3）.
可能你会说，1-3我不是通过中间点为2的路径更新了吗，没错是更新了，但是是在d中，a仍然没有改变，如果是floyd中更新原数组就可以做到。
这样读者就能明白其中区别了。

可能有些读者注意到，矩阵乘法中我们要做的floyd中，k是在最内层的，但是普通的floyd，他的k是在最外层的，其实这个没有什么关系，你把矩阵乘法中的k放在最外面也没事，因为这个有点类似于递推，和顺序没有太大关系，就比如说我一开始乘一次的时候是两条路径更新，然后第二次就是两条变成了一条’，两条’就变成了四条，这个跟顺序基本没关系。

实力作死一波，直接把乘法写在快速幂里面，忘记更新，WA无数次。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e3+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int num[N];
int dis[N][N],a[N][N],c[N][N];
int s,e;
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&e);
    int tot=0;
    fo(i,1,1000)
    fo(j,1,1000)dis[i][j]=inf;
    fo(i,1,m)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
        if (!num[x])num[x]=++tot;
        if (!num[y])num[y]=++tot;
        dis[num[x]][num[y]]=min(dis[num[x]][num[y]],z);
        dis[num[y]][num[x]]=min(dis[num[y]][num[x]],z);
    }
    int b=n-1;
    memcpy(a,dis,sizeof(a));
    while (b)
    {
        if (b&1)
        {
            fo(i,1,tot)
            fo(j,1,tot)c[i][j]=inf;
            fo(i,1,tot)
            fo(j,1,tot)
            {
                fo(k,1,tot)
                c[i][j]=min(c[i][j],dis[i][k]+a[k][j]);
            }
             fo(i,1,tot)
            fo(j,1,tot)dis[i][j]=c[i][j];
        }
        fo(i,1,tot)
        fo(j,1,tot)c[i][j]=inf;
        fo(i,1,tot)
        fo(j,1,tot)
        {
            fo(k,1,tot)
            {
                c[i][j]=min(c[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
            }
        }
        fo(i,1,tot)
        fo(j,1,tot)a[i][j]=c[i][j];
        b>>=1;
    }
    printf("%d\n",dis[num[s]][num[e]]);
}

还有一种解法是倍增floyd，都是一样的思想，建议看po姐的题解，这里就不写了。。