[剑指offer]礼物的最大价值

[剑指offer]礼物的最大价值

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]

输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：
0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

解题思路

• 动态规划，动态方程式为dp[i][j] = max(dp[i-1][j]，dp[i][j-1]) + grid[i][j]
• 可以优化空间复杂度

实现代码

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int row=grid.size();
        if(row==0)
            return 0;
        int col=grid[0].size();
        if(col==0)
            return 0;
        vector<vector<int>>dp(row,vector<int>(col));
        dp[0][0]=grid[0][0];
        for(int i=1;i<row;i++)//矩阵第一行，只能是从左向右移动的结果
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0];
        for(int j=1;j<col;j++)//矩阵第一列，只能是从上向下移动的结果
            dp[0][j]=dp[0][j-1]+grid[0][j];
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=1;j<col;j++){
                dp[i][j]=grid[i][j]+max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[row-1][col-1];       
    }    
};

这种解法的空间复杂度为O(n²)，可以通过使用一个一维数组替换二维数组。

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int row=grid.size();
        if(row==0)
            return 0;
        int col=grid[0].size();
        if(col==0)
            return 0;   
        vector<int> dp(col+1, 0);
        for(int i = 1; i<=row; i++)
          for(int j = 1; j<=col; j++)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-1]) +grid[i-1][j-1];//每次取的实际上也是向右移动的和 和 向下移动的和 的较大值，然后用相加的结果替换它
        return dp[col];  
    }    
};

这种解法的空间复杂度为O(n)。
然后，考虑使用原数组作为dp矩阵。

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int row=grid.size();
        if(row==0)
            return 0;
        int col=grid[0].size();
        if(col==0)
            return 0;

        for(int i=1;i<row;i++)
            grid[i][0]=grid[i-1][0]+grid[i][0];
        for(int j=1;j<col;j++)
            grid[0][j]=grid[0][j-1]+grid[0][j];
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=1;j<col;j++){
                grid[i][j]=grid[i][j]+max(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[row-1][col-1];
    }    
};

此时时间复杂度为O(1)

本文地址：https://blog.csdn.net/Sushine777/article/details/107322015