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算法系列15天速成 第十四天 图【上】

程序员文章站 2022-05-14 15:00:38
今天来分享一下图,这是一种比较复杂的非线性数据结构,之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的,而不像树那样 被几个性质定理框住了,元素之间的关系还是比较明显的,图的...

今天来分享一下图,这是一种比较复杂的非线性数据结构,之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的,而不像树那样 被几个性质定理框住了,元素之间的关系还是比较明显的,图的使用范围很广的,比如网络爬虫,求最短路径等等,不过大家也不要胆怯,

越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。       

      既然要学习图,得要遵守一下图的游戏规则。

一: 概念

       图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作:g=(v,e);

<1> 无向图

       就是“图”中的边没有方向,那么(v1,v2)这条边自然跟(v2,v1)是等价的,无向图的表示一般用”圆括号“。

        算法系列15天速成 第十四天 图【上】

<2> 有向图

       “图“中的边有方向,自然<v1,v2>这条边跟<v2,v1>不是等价的,有向图的表示一般用"尖括号"表示。

              算法系列15天速成 第十四天 图【上】

<3> 邻接点

             一条边上的两个顶点叫做邻接点,比如(v1,v2),(v1,v3),(v1,v5),只是在有向图中有一个“入边,出边“的

       概念,比如v3的入边为v5,v3的出边为v2,v1,v4。

 

<4> 顶点的度

          这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种,这个相信大家懂的。

 

<5> 完全图

         每两个顶点都存在一条边,这是一种完美的表现,自然可以求出边的数量。

        无向图:edges=n(n-1)/2;

        有向图:edges=n(n-1);           //因为有向图是有边的,所以必须在原来的基础上"x2"。

       

算法系列15天速成 第十四天 图【上】

<6> 子图

        如果g1的所有顶点和边都在g2中,则g1是g2的子图,具体不说了。

 

<7> 路径,路径长度和回路(这些概念还是比较重要的)

       路径:        如果vm到vn之间存在一个顶点序列。则表示vm到vn是一条路径。

       路径长度:  一条路径中“边的数量”。

       简单路径:  若一条路径上顶点不重复出现,则是简单路径。

       回路:       若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同,则是回路。

       简单回路:  第一个顶点和最后一个顶点相同,其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

 

<8> 连通图和连通分量(针对无向图而言的)

       连通图:     无向图中,任意两个顶点都是连通的则是连通图,比如v1,v2,v4之间。

       连通分量:  无向图的极大连通子图就是连通分量,一般”连通分量“就是”图“本身,除非是“非连通图”,

                       如下图就是两个连通分量。

            算法系列15天速成 第十四天 图【上】

<9> 强连通图和强连通分量(针对有向图而言)

        这里主要注意的是“方向性“,v4可以到v3,但是v3无法到v4,所以不能称为强连通图。

       算法系列15天速成 第十四天 图【上】

<10> 网

        边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊,呵呵。

 

二:存储

     图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。

     邻接矩阵: 手法是采用两个数组,一个一维数组用来保存顶点信息,一个二维数组来用保存边的信息,

                    缺点就是比较耗费空间。

     邻接表:   改进后的“邻接矩阵”,缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边,但是相比节省空间。

 

三: 创建图

     这里我们就用邻接矩阵来保存图,一般的操作也就是:①创建,②遍历

复制代码 代码如下:

#region 邻接矩阵的结构图
    /// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
    public class matrixgraph
    {
        //保存顶点信息
        public string[] vertex;

        //保存边信息
        public int[,] edges;

        //深搜和广搜的遍历标志
        public bool[] istrav;

        //顶点数量
        public int vertexnum;

        //边数量
        public int edgenum;

        //图类型
        public int graphtype;

        /// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexnum"></param>
/// <param name="edgenum"></param>
/// <param name="graphtype"></param>
        public matrixgraph(int vertexnum, int edgenum, int graphtype)
        {
            this.vertexnum = vertexnum;
            this.edgenum = edgenum;
            this.graphtype = graphtype;

            vertex = new string[vertexnum];
            edges = new int[vertexnum, vertexnum];
            istrav = new bool[vertexnum];
        }

    }
    #endregion

<1> 创建图很简单,让用户输入一些“边,点,权值"来构建一下图

复制代码 代码如下:

#region 图的创建
        /// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
        public matrixgraph creatematrixgraph()
        {
            console.writeline("请输入创建图的顶点个数,边个数,是否为无向图(0,1来表示),已逗号隔开。");

            var initdata = console.readline().split(',').select(i => int.parse(i)).tolist();

            matrixgraph graph = new matrixgraph(initdata[0], initdata[1], initdata[2]);

            console.writeline("请输入各顶点信息:");

            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                console.write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");

                var single = console.readline();

                //顶点信息加入集合中
                graph.vertex[i] = single;
            }

            console.writeline("\n请输入构成两个顶点的边和权值,以逗号隔开。\n");

            for (int i = 0; i < graph.edgenum; i++)
            {
                console.write("第" + (i + 1) + "条边:\t");

                initdata = console.readline().split(',').select(j => int.parse(j)).tolist();

                int start = initdata[0];
                int end = initdata[1];
                int weight = initdata[2];

                //给矩阵指定坐标位置赋值
                graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;

                //如果是无向图,则数据呈“二,四”象限对称
                if (graph.graphtype == 1)
                {
                    graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
                }
            }

            return graph;
        }
        #endregion

<2>广度优先

      针对下面的“图型结构”,我们如何广度优先呢?其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多

次访问,可以将”顶点的下标”存放在strav[]的bool数组,用来标识是否已经访问过该节点。 

    第一步:首先我们从istrav数组中选出一个未被访问的节点,如v1。

    第二步:访问v1的邻接点v2,v3,v5,并将这三个节点标记为true。

    第三步:第二步结束后,我们开始访问v2的邻接点v1,v3,但是他们都是被访问过的。

    第四步:我们从第二步结束的v3出发访问他的邻接点v2,v1,v5,v4,还好v4是未被访问的,此时标记一下。

    第五步:我们访问v5的邻接点v1,v3,v4,不过都是已经访问过的。

    第六步:有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点,此时我们重复(1-5)的步骤就可以最终完成广度优先遍历。

算法系列15天速成 第十四天 图【上】

复制代码 代码如下:

#region 广度优先
        /// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void bfstraverse(matrixgraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                graph.istrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.istrav[i])
                {
                    bfsm(ref graph, i);
                }
            }
        }

        /// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void bfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
        {
            //这里就用系统的队列
            queue<int> queue = new queue<int>();

            //先把顶点入队
            queue.enqueue(vertex);

            //标记此顶点已经被访问
            graph.istrav[vertex] = true;

            //输出顶点
            console.write(" ->" + graph.vertex[vertex]);

            //广度遍历顶点的邻接点
            while (queue.count != 0)
            {
                var temp = queue.dequeue();

                //遍历矩阵的横坐标
                for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
                {
                    if (!graph.istrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
                    {
                        graph.istrav[i] = true;

                        queue.enqueue(i);

                        //输出未被访问的顶点
                        console.write(" ->" + graph.vertex[i]);
                    }
                }
            }
        }
        #endregion

<3> 深度优先

        同样是这个图,大家看看如何实现深度优先,深度优先就像铁骨铮铮的好汉,遵循“能进则进,不进则退”的原则。

        第一步:同样也是从istrav数组中选出一个未被访问的节点,如v1。

        第二步:然后一直访问v1的邻接点,一直到走头无路的时候“回溯”,路线为v1,v2,v3,v4,v5,到v5的时候访问邻接点v1,发现v1是访问过的,

                   此时一直回溯的访问直到v1。

        第三步: 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点,此时我们重复(1-2)的步骤就可以最终完成深度优先遍历。

              算法系列15天速成 第十四天 图【上】

复制代码 代码如下:

#region 深度优先
        /// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void dfstraverse(matrixgraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                graph.istrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.istrav[i])
                {
                    dfsm(ref graph, i);
                }
            }
        }

        #region 深度递归的具体算法
        /// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
        public void dfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
        {
            console.write("->" + graph.vertex[vertex]);

            //标记为已访问
            graph.istrav[vertex] = true;

            //要遍历的六个点
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                if (graph.istrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
                {
                    //深度递归
                    dfsm(ref graph, i);
                }
            }
        }
        #endregion
        #endregion

最后上一下总的代码

复制代码 代码如下:

using system;
using system.collections.generic;
using system.linq;
using system.text;

namespace matrixgraph
{
    public class program
    {
        static void main(string[] args)
        {
            matrixgraphmanager manager = new matrixgraphmanager();

            //创建图
            matrixgraph graph = manager.creatematrixgraph();

            manager.outmatrix(graph);

            console.write("广度递归:\t");

            manager.bfstraverse(graph);

            console.write("\n深度递归:\t");

            manager.dfstraverse(graph);

            console.readline();

        }
    }

    #region 邻接矩阵的结构图
    /// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
    public class matrixgraph
    {
        //保存顶点信息
        public string[] vertex;

        //保存边信息
        public int[,] edges;

        //深搜和广搜的遍历标志
        public bool[] istrav;

        //顶点数量
        public int vertexnum;

        //边数量
        public int edgenum;

        //图类型
        public int graphtype;

        /// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexnum"></param>
/// <param name="edgenum"></param>
/// <param name="graphtype"></param>
        public matrixgraph(int vertexnum, int edgenum, int graphtype)
        {
            this.vertexnum = vertexnum;
            this.edgenum = edgenum;
            this.graphtype = graphtype;

            vertex = new string[vertexnum];
            edges = new int[vertexnum, vertexnum];
            istrav = new bool[vertexnum];
        }

    }
    #endregion

    /// <summary>
/// 图的操作类
/// </summary>
    public class matrixgraphmanager
    {
        #region 图的创建
        /// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
        public matrixgraph creatematrixgraph()
        {
            console.writeline("请输入创建图的顶点个数,边个数,是否为无向图(0,1来表示),已逗号隔开。");

            var initdata = console.readline().split(',').select(i => int.parse(i)).tolist();

            matrixgraph graph = new matrixgraph(initdata[0], initdata[1], initdata[2]);

            console.writeline("请输入各顶点信息:");

            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                console.write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");

                var single = console.readline();

                //顶点信息加入集合中
                graph.vertex[i] = single;
            }

            console.writeline("\n请输入构成两个顶点的边和权值,以逗号隔开。\n");

            for (int i = 0; i < graph.edgenum; i++)
            {
                console.write("第" + (i + 1) + "条边:\t");

                initdata = console.readline().split(',').select(j => int.parse(j)).tolist();

                int start = initdata[0];
                int end = initdata[1];
                int weight = initdata[2];

                //给矩阵指定坐标位置赋值
                graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;

                //如果是无向图,则数据呈“二,四”象限对称
                if (graph.graphtype == 1)
                {
                    graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
                }
            }

            return graph;
        }
        #endregion

        #region 输出矩阵数据
        /// <summary>
/// 输出矩阵数据
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void outmatrix(matrixgraph graph)
        {
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                for (int j = 0; j < graph.vertexnum; j++)
                {
                    console.write(graph.edges[i, j] + "\t");
                }
                //换行
                console.writeline();
            }
        }
        #endregion

        #region 广度优先
        /// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void bfstraverse(matrixgraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                graph.istrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.istrav[i])
                {
                    bfsm(ref graph, i);
                }
            }
        }

        /// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void bfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
        {
            //这里就用系统的队列
            queue<int> queue = new queue<int>();

            //先把顶点入队
            queue.enqueue(vertex);

            //标记此顶点已经被访问
            graph.istrav[vertex] = true;

            //输出顶点
            console.write(" ->" + graph.vertex[vertex]);

            //广度遍历顶点的邻接点
            while (queue.count != 0)
            {
                var temp = queue.dequeue();

                //遍历矩阵的横坐标
                for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
                {
                    if (!graph.istrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
                    {
                        graph.istrav[i] = true;

                        queue.enqueue(i);

                        //输出未被访问的顶点
                        console.write(" ->" + graph.vertex[i]);
                    }
                }
            }
        }
        #endregion

        #region 深度优先
        /// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void dfstraverse(matrixgraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                graph.istrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.istrav[i])
                {
                    dfsm(ref graph, i);
                }
            }
        }

        #region 深度递归的具体算法
        /// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
        public void dfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
        {
            console.write("->" + graph.vertex[vertex]);

            //标记为已访问
            graph.istrav[vertex] = true;

            //要遍历的六个点
            for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
            {
                if (graph.istrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
                {
                    //深度递归
                    dfsm(ref graph, i);
                }
            }
        }
        #endregion
        #endregion

    }
}

代码中我们构建了如下的“图”。

算法系列15天速成 第十四天 图【上】

算法系列15天速成 第十四天 图【上】