算法系列15天速成 第十四天 图【上】
今天来分享一下图，这是一种比较复杂的非线性数据结构，之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的，而不像树那样 被几个性质定理框住了，元素之间的关系还是比较明显的，图的使用范围很广的，比如网络爬虫，求最短路径等等，不过大家也不要胆怯，
越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。
既然要学习图，得要遵守一下图的游戏规则。
一： 概念
图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作：g=（v,e)；
<1> 无向图
就是“图”中的边没有方向，那么（v1,v2)这条边自然跟（v2，v1）是等价的，无向图的表示一般用”圆括号“。
<2> 有向图
“图“中的边有方向，自然<v1,v2>这条边跟<v2,v1>不是等价的，有向图的表示一般用"尖括号"表示。
<3> 邻接点
一条边上的两个顶点叫做邻接点，比如（v1，v2），（v1，v3），（v1，v5），只是在有向图中有一个“入边，出边“的
概念，比如v3的入边为v5，v3的出边为v2，v1，v4。
<4> 顶点的度
这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种，这个相信大家懂的。
<5> 完全图
每两个顶点都存在一条边，这是一种完美的表现，自然可以求出边的数量。
无向图：edges=n(n-1)/2;
有向图：edges=n(n-1); //因为有向图是有边的，所以必须在原来的基础上"x2"。
<6> 子图
如果g1的所有顶点和边都在g2中，则g1是g2的子图，具体不说了。
<7> 路径，路径长度和回路（这些概念还是比较重要的）
路径： 如果vm到vn之间存在一个顶点序列。则表示vm到vn是一条路径。
路径长度： 一条路径中“边的数量”。
简单路径： 若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。
回路： 若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。
简单回路： 第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。
<8> 连通图和连通分量（针对无向图而言的）
连通图： 无向图中，任意两个顶点都是连通的则是连通图，比如v1，v2，v4之间。
连通分量： 无向图的极大连通子图就是连通分量，一般”连通分量“就是”图“本身，除非是“非连通图”，
如下图就是两个连通分量。
<9> 强连通图和强连通分量（针对有向图而言）
这里主要注意的是“方向性“，v4可以到v3，但是v3无法到v4，所以不能称为强连通图。
<10> 网
边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊，呵呵。
二：存储
图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。
邻接矩阵： 手法是采用两个数组，一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息，
缺点就是比较耗费空间。
邻接表： 改进后的“邻接矩阵”，缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相比节省空间。
三： 创建图
这里我们就用邻接矩阵来保存图，一般的操作也就是：①创建，②遍历
#region 邻接矩阵的结构图
/// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
public class matrixgraph
{
//保存顶点信息
public string[] vertex;
//保存边信息
public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志
public bool[] istrav;
//顶点数量
public int vertexnum;
//边数量
public int edgenum;
//图类型
public int graphtype;
/// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexnum"></param>
/// <param name="edgenum"></param>
/// <param name="graphtype"></param>
public matrixgraph(int vertexnum, int edgenum, int graphtype)
{
this.vertexnum = vertexnum;
this.edgenum = edgenum;
this.graphtype = graphtype;
vertex = new string[vertexnum];
edges = new int[vertexnum, vertexnum];
istrav = new bool[vertexnum];
}
}
#endregion
<1> 创建图很简单，让用户输入一些“边，点，权值"来构建一下图
#region 图的创建
/// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public matrixgraph creatematrixgraph()
{
console.writeline("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initdata = console.readline().split(',').select(i => int.parse(i)).tolist();
matrixgraph graph = new matrixgraph(initdata[0], initdata[1], initdata[2]);
console.writeline("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
console.write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = console.readline();
//顶点信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
console.writeline("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgenum; i++)
{
console.write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initdata = console.readline().split(',').select(j => int.parse(j)).tolist();
int start = initdata[0];
int end = initdata[1];
int weight = initdata[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
if (graph.graphtype == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
<2>广度优先
针对下面的“图型结构”，我们如何广度优先呢？其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多
次访问，可以将”顶点的下标”存放在strav[]的bool数组，用来标识是否已经访问过该节点。
第一步：首先我们从istrav数组中选出一个未被访问的节点，如v1。
第二步：访问v1的邻接点v2，v3，v5，并将这三个节点标记为true。
第三步：第二步结束后，我们开始访问v2的邻接点v1，v3，但是他们都是被访问过的。
第四步：我们从第二步结束的v3出发访问他的邻接点v2，v1，v5，v4，还好v4是未被访问的，此时标记一下。
第五步：我们访问v5的邻接点v1，v3，v4，不过都是已经访问过的。
第六步：有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-5）的步骤就可以最终完成广度优先遍历。
#region 广度优先
/// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void bfstraverse(matrixgraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
graph.istrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.istrav[i])
{
bfsm(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void bfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
{
//这里就用系统的队列
queue<int> queue = new queue<int>();
//先把顶点入队
queue.enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问
graph.istrav[vertex] = true;
//输出顶点
console.write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点
while (queue.count != 0)
{
var temp = queue.dequeue();
//遍历矩阵的横坐标
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
if (!graph.istrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.istrav[i] = true;
queue.enqueue(i);
//输出未被访问的顶点
console.write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
<3> 深度优先
同样是这个图，大家看看如何实现深度优先，深度优先就像铁骨铮铮的好汉，遵循“能进则进，不进则退”的原则。
第一步：同样也是从istrav数组中选出一个未被访问的节点，如v1。
第二步：然后一直访问v1的邻接点，一直到走头无路的时候“回溯”，路线为v1,v2,v3,v4,v5，到v5的时候访问邻接点v1，发现v1是访问过的，
此时一直回溯的访问直到v1。
第三步： 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-2）的步骤就可以最终完成深度优先遍历。
#region 深度优先
/// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void dfstraverse(matrixgraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
graph.istrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.istrav[i])
{
dfsm(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度递归的具体算法
/// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void dfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
{
console.write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问
graph.istrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
if (graph.istrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度递归
dfsm(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
最后上一下总的代码
using system;
using system.collections.generic;
using system.linq;
using system.text;
namespace matrixgraph
{
public class program
{
static void main(string[] args)
{
matrixgraphmanager manager = new matrixgraphmanager();
//创建图
matrixgraph graph = manager.creatematrixgraph();
manager.outmatrix(graph);
console.write("广度递归:\t");
manager.bfstraverse(graph);
console.write("\n深度递归:\t");
manager.dfstraverse(graph);
console.readline();
}
}
#region 邻接矩阵的结构图
/// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
public class matrixgraph
{
//保存顶点信息
public string[] vertex;
//保存边信息
public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志
public bool[] istrav;
//顶点数量
public int vertexnum;
//边数量
public int edgenum;
//图类型
public int graphtype;
/// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexnum"></param>
/// <param name="edgenum"></param>
/// <param name="graphtype"></param>
public matrixgraph(int vertexnum, int edgenum, int graphtype)
{
this.vertexnum = vertexnum;
this.edgenum = edgenum;
this.graphtype = graphtype;
vertex = new string[vertexnum];
edges = new int[vertexnum, vertexnum];
istrav = new bool[vertexnum];
}
}
#endregion
/// <summary>
/// 图的操作类
/// </summary>
public class matrixgraphmanager
{
#region 图的创建
/// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public matrixgraph creatematrixgraph()
{
console.writeline("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initdata = console.readline().split(',').select(i => int.parse(i)).tolist();
matrixgraph graph = new matrixgraph(initdata[0], initdata[1], initdata[2]);
console.writeline("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
console.write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = console.readline();
//顶点信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
console.writeline("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgenum; i++)
{
console.write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initdata = console.readline().split(',').select(j => int.parse(j)).tolist();
int start = initdata[0];
int end = initdata[1];
int weight = initdata[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
if (graph.graphtype == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
#region 输出矩阵数据
/// <summary>
/// 输出矩阵数据
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void outmatrix(matrixgraph graph)
{
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexnum; j++)
{
console.write(graph.edges[i, j] + "\t");
}
//换行
console.writeline();
}
}
#endregion
#region 广度优先
/// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void bfstraverse(matrixgraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
graph.istrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.istrav[i])
{
bfsm(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void bfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
{
//这里就用系统的队列
queue<int> queue = new queue<int>();
//先把顶点入队
queue.enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问
graph.istrav[vertex] = true;
//输出顶点
console.write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点
while (queue.count != 0)
{
var temp = queue.dequeue();
//遍历矩阵的横坐标
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
if (!graph.istrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.istrav[i] = true;
queue.enqueue(i);
//输出未被访问的顶点
console.write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
#region 深度优先
/// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void dfstraverse(matrixgraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
graph.istrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.istrav[i])
{
dfsm(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度递归的具体算法
/// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void dfsm(ref matrixgraph graph, int vertex)
{
console.write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问
graph.istrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点
for (int i = 0; i < graph.vertexnum; i++)
{
if (graph.istrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度递归
dfsm(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
}
}
代码中我们构建了如下的“图”。
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