为什么函数式语言中all odd [] 得到True?

程序员文章站 2022-05-14 11:21:51

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回复内容：

List().forall(f)

我觉得其他答案里提到的 Vacuous truth 已经很简单地回答这个问题

True && x  -- => x
x && True  -- => x

「所有元素都是奇數」等價於「沒有一個元素不是奇數」。
空集中一個元素都沒有，自然也就沒有「不是奇數的元素」。所以，空集中沒有一個元素不是奇數，亦即，空集的所有元素都是奇數。

如果一個集合的元素全都是奇數，那麼他的子集，其元素也應該全都是奇數。
{1} 顯然是「唯奇數集」，所以其子集 {} 也應當是「唯奇數集」。

初次見到 Vacuous truth 這一概念者往往會覺得不合常理、很難理解。但如果仔細考慮考慮，就會發現這是唯一符合常理的解釋。 @祖与占说的“单位元”一语中的。

*上Empty product这一篇解释得也很好。设x1 x2为两个数组，

按照常理应该有odd(x1:::x2)=odd(x1)&odd(x2)

取x1=[] x2非空得到 odd([])=true 从程序实现角度来看，满足全部是的最简单逻辑是存在一个不满足要求就返回非（循环判断），最后默认情况就是真，类似快速失败的策略，所以对于空集合结果为真。伪代码如下

for x in xs
  if x is not odd
    return false
return true

如果你自己用递归写判断一个数组是否为奇的方法

Head(x) x去掉最后一个元素
Tail(x) x的最后一个元素

odd(x)=odd(head(x)) && (tail(x)%2==1)【对不起语法有点忘了。。

于是当x只有一个元素时就是
odd(空集) && (tail(x)%2==1)

此时odd(空集)就只能为true all f xs 所表达的语义为：
xs中的所有元素都满足条件f
也即：
xs中不存在不满足条件f 的元素

所以，[]中不存在...的元素，当然是True

语义上的原因如此，@Geek.cs已经说得很清楚了，实现上的细节 @祖与占也已经说得很清楚了，

所以如果你设计标准库，设计一个通用的all函数，那么基本上不会是另外一种样子的。

当然如果你的具体应用场景中需要特殊处理空集，你可以再包装一个特化的all自己用，比如可以在接受[]的时候返回Nothing，当然那样返回值类型就是Maybe的了。标准库里的实现，在不用返回Maybe的情况下，也能做到逻辑的自洽，那自然是不会选择实现成用起来这么麻烦的东西的。 short ver: 那你觉得应该返回啥？False？error ？ Maybe Bool ? 数学上叫做vacuous truth: Vacuous truth 很久以前上拓扑课时经常用到

这个很符合直觉啊，为何题主会觉得反人类。就像wiki中的例子，如果一个人问“这个房间里所有的手机都关了吗？” 如果刚好房间里所有人都没带手机，正常人都不会回答否吧。

或许按逆否命题更好理解：array中没有偶数