[ncw7] 小睿睿的方案

考虑一对情侣(x,y)x<y的贡献，设in[x],out[x]为数的dfs序。

强制从x走向y方向

• 当in[x]<in[y]且out[y]<=out[x] 矩形{1,in[x],in[y],out[y]},{out[x]+1,n,in[y],out[y]},{(in[x]+1,in[z]-1,in[y],out[y]},{out[z]+1,out[x],in[y],out[y]}，z是x所在的y的儿子子树的根

• 当in[y]<in[x]且out[x]<=out[y] 情况类似

• 其余情况 矩形{in[x],out[x],in[y],out[y]}

这样平面上所有落在矩形内的点p(x,y)x<=y是不合法的。

但是这样并不好算。

于是干脆算出有序点对数，及忽略走向，因为点(x,x)一定不被包含在矩形内，所以答案为(n^2-不合法的有序点对-n)/2。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int n=1e5+10;

int head[n],to[n<<1],last[n<<1];
int fa[n][20],dep[n],in[n],out[n]; 

void add_edge(int x,int y) {
    static int cnt=0;
    to[++cnt]=y,last[cnt]=head[x],head[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int pa) {
    static int cnt=0;
    in[x]=++cnt;
    dep[x]=dep[fa[x][0]=pa]+1;
    for(int i=1; (1<<i)<dep[x]; ++i) 
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for(int i=head[x]; i; i=last[i]) 
        if(to[i]!=pa) dfs(to[i],x);
    out[x]=cnt;
}

struct tree {
    int cover,len;
} t[n<<2];
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
void update(int x,int l,int r) {
    if(t[x].cover) t[x].len=r-l+1;
    else if(l==r) t[x].len=0;
    else t[x].len=t[ls].len+t[rs].len;
}
void modify(int x,int l,int r,int l,int r,int w) {
    if(l<=l&&r<=r) {
        t[x].cover+=w;
        update(x,l,r);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(l<=mid) modify(ls,l,mid,l,r,w);
    if(mid<r) modify(rs,mid+1,r,l,r,w);
    update(x,l,r);
}
#undef ls
#undef rs

struct seg {
    int type,h,l,r;
    bool operator<(const seg&d) const {
        return h!=d.h?h<d.h:type<d.type;
    }
} s[n<<3];
int n,m,cnt;
void add_matrix(int a,int b,int c,int d) {
    if(a>b||c>d) return;
    s[++cnt]=(seg){1,c,a,b};
    s[++cnt]=(seg){-1,d+1,a,b};
}
long long get_area() {
    long long ret=0;
    sort(s+1,s+cnt+1);  
    for(int i=1; i<cnt; ++i) {
        modify(1,1,n,s[i].l,s[i].r,s[i].type);
        ret+=1ll*(s[i+1].h-s[i].h)*t[1].len;
    }
    return ret;
}
void insert(int x,int y) {
    if(in[x]<in[y]&&out[y]<=out[x]) {
        add_matrix(1,in[x],in[y],out[y]);
        add_matrix(out[x]+1,n,in[y],out[y]);
        int dif=dep[y]-dep[x]-1,z=y;
        for(int i=19; ~i; --i) if((dif>>i)&1) z=fa[z][i];
        add_matrix(in[x]+1,in[z]-1,in[y],out[y]);
        add_matrix(out[z]+1,out[x],in[y],out[y]);
        return;
    } 
    if(in[y]<in[x]&&out[x]<=out[y]) {
        add_matrix(in[x],out[x],1,in[y]);
        add_matrix(in[x],out[x],out[y]+1,n);
        int dif=dep[x]-dep[y]-1,z=x;
        for(int i=19; ~i; --i) if((dif>>i)&1) z=fa[z][i];
        add_matrix(in[x],out[x],in[y]+1,in[z]-1);
        add_matrix(in[x],out[x],out[z]+1,out[y]);
        return;
    } 
    add_matrix(in[x],out[x],in[y],out[y]);
} 

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int x,y,i=n; --i; ) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add_edge(x,y);
        add_edge(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int x,y,i=1; i<=m; ++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        insert(x,y);
        insert(y,x);
    }
    printf("%lld\n",(1ll*n*n-get_area()-n)/2);
    return 0;
}

突然想到一道以前的题，直接扔下思路好了（可能有点锅）

rb有一棵树，树的每个节点有个颜色。给一个长度为\(n\)的颜色序列，定义\(s(i,j)\) 为\(i\) 到\(j\) 的颜色数量。以及
\[ sum_i=\sum_{j=1}^ns(i,j) \]
现在他想让你求出所有的\(sum_i\) 。(\(1\le n,c[i]\le 10^5\))

预处理出树的dfs序（\(in[]\)和\(out[]\)）对于树上的一个点 \(v\) ，设其颜色是 \(c\) 。令 \((i,j)\) 对应二维平面上的一个点。则 \(v\) 会对以下两类 \(s(i,j)\) 产生贡献：

• \(i\) 和 \(j\) 一个在\(v\) 的子树外，一个在子树内。
  1. \(i\in[1,in_v]\) ，\(j\in[in_v,out_v]\)
  2. \(i\in[in_v,out_v]\) ，\(j\in(out_v,n]\) 。
  3. \(i\in[in_v,out_v]\) ，\(j\in[1,in_v]\) 。
  4. \(i\in(out_v,n]\) ，\(j\in[in_v,out_v]\) 。
• \(i\) 和 \(j\) 分别位于以 \(v\) 的不同儿子为根的两个子树中。枚举一个儿子\(s\)
  1. \(i\in[in_v,in_s)\)，\(j\in[in_s,out_s]\)。
  2. \(i\in[in_s,out_s]\)，\(j\in(out_s,out_v]\)。
  3. \(i\in[in_s,out_s]\)，\(j\in[in_v,in_s)\)。
  4. \(i\in(out_s,out_v]\)，\(j\in[in_s,out_s]\)。

把 \(\{i\in\dots,j\in\dots\}\) 看作覆盖在二维平面上的一个矩形。把同是颜色\(c\) 的点的相关矩形单独讨论，若\((i,j)\) 被某个矩形覆盖，则表示\(i\rightarrow j\) 路径上存在颜色\(c\) 。

我们考虑进行扫描线，对线所在位置的点进行差分记录位置上被覆盖的点有几个（相应地有一个消除标记），在颜色讨论完后求一个前缀和，那么答案就出来了。