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题解-洛谷P1020P导弹拦截(求单调序列长度的优化)

程序员文章站 2022-05-11 09:44:46
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020 (原题链接) 第一问就是求最长不上升子序列的长度,自然就想到了c++一本通里动态规划里O(n^2)的算法,但题目明确说明“为了让大家更好地测试n方算法,本题开启spj,n方100分,nlogn200分每点两问,按 ......

https://www.luogu.org/problemnew/show/p1020

(原题链接)

  第一问就是求最长不上升子序列的长度,自然就想到了c++一本通里动态规划里o(n^2)的算法,但题目明确说明“为了让大家更好地测试n方算法,本题开启spj,n方100分,nlogn200分每点两问,按问给分”,自然是要写o(nlogn)的算法才能ac哦。

  对于这种nlogn的算法,只能求出长度,不能求出具体的序列。这种算法实现过程如下:

  我们定义len为到目前为止最长不上升子序列的长度,d[l]表示此长度为l的不上升子序列的末尾数据中最下的那个,a[i]为输入的第i个结果。先使d[1]=1,len=1。我们从i=2(i<=n)开始看:

  如果a[i]<=d[len],那么使d[++len]=a[i],即扩充一下目前的最长不上升子序列;

  否则,a[i]>d[len],就在数组d中从前往后找到第一个<a[i]的元素d[j],此时d[i1,2,...,j-1]都>=a[i],那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的不上升子序列,而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力(因为这个数比d[j]大),所以就替换掉它就行了。

  至于第一个大于它的怎么找……stl中的 upper_bound(x,x+n,num,greater<int>()),每次复杂度logn,在不严格单调增加的int型x数组从头找到下标n-1,若找到第一个比num小的数,则返回它的地址,否则返回下标为n的数的地址(地址-数组名=数的下标)。别忘了头文件为<algorithm>。更多用法详见https://blog.csdn.net/qq_40160605/article/details/80150252

  第二问可由dilworth定理(大致意思是一个数列分成不上升(或不下降)子序列的最小数=该数列的最长上升(或下降)子序列的长度)知该问是求最长上升子序列

的长度。具体实现过程与第一问类似只是将第一问实现过程中加粗的4个不等号分别改成“>,<=,>,<=”就行了,思路与第一问一模一样。

终于上代码了:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int a[100001],d[100001];
 6 int n;
 7 void bss();
 8 void ss();
 9 int main()
10 {
11     char ch=' ';
12     while(ch==' ')
13     {
14         scanf("%d",&a[++n]);
15         ch=getchar();
16     }
17     bss();//求最大不上升序列长度的函数
18     ss();//求最大上升序列的长度的函数
19     return 0;
20 } 
21 void bss()
22 {
23     int len=1;
24     d[len]=a[1];
25     for(int i=2;i<=n;++i)
26     {
27         if(a[i]<=d[len])
28         {
29             d[++len]=a[i];
30         }
31         else
32         {
33             d[upper_bound(d+1,d+len+1,a[i],greater<int>())-d]=a[i];
34         }
35     }
36     cout<<len<<endl;
37 }
38 void ss()
39 {
40     int len=1;
41     d[len]=a[1];
42     for(int i=2;i<=n;++i)
43     {
44         if(a[i]>d[len])
45         {
46             d[++len]=a[i];
47         }
48         else
49         {
50             if(a[i]!=d[len])
51             {
52             d[lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d]=a[i];
53             }
54         }
55     }
56     cout<<len;
57 }//代码已ac

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