欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页  >  后端开发

Python素数检测的方法

程序员文章站 2022-05-09 21:26:03
...
本文实例讲述了Python素数检测的方法。分享给大家供大家参考。具体如下:

因子检测:

检测因子,时间复杂度O(n^(1/2))

def is_prime(n):
  if n 

费马小定理:

如果n是一个素数,a是小于n的任意正整数,那么a的n次方与a模n同余

实现方法:

选择一个底数(例如2),对于大整数p,如果2^(p-1)与1不是模p同余数,则p一定不是素数;否则,则p很可能是一个素数
2**(n-1)%n 不是一个容易计算的数字

模运算规则:

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

计算X^N(% P)

可以
如果N是偶数,那么X^N =(X*X)^[N/2];
如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];

def xn_mod_p(x, n, p):
  if n == 0:
    return 1
  res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
  if n&1 != 0:
    res = (res*x)%p
  return res

也可以归纳为下面的算法 两个函数是一样的

def xn_mod_p2(x, n, p):
  res = 1
  n_bin = bin(n)[2:]
  for i in range(0, len(n_bin)):
    res = res**2 % p
    if n_bin[i] == '1':
      res = res * x % p
  return res

有了模幂运算快速处理就可以实现费马检测

费马测试当给出否定结论时,是准确的,但是肯定结论有可能是错误的,对于大整数的效率很高,并且误判率随着整数的增大而降低

def fermat_test_prime(n):
  if n == 1:
    return False
  if n == 2:
    return True
  res = xn_mod_p(2, n-1, n)
  return res == 1

MILLER-RABIN检测

Miller-Rabin检测是目前应用比较广泛的一种

二次探测定理:如果p是一个素数,且0 费马小定理:a^(p-1) ≡ 1(mod p)

这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2,把n-1表示成d*2^r(其中d是一个奇数)。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是,a^(d * 2^(r-1))要么等于1,要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1,定理继续适用于a^(d * 2^(r-2)),这样不断开方开下去,直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样,Fermat小定理加强为如下形式:

尽可能提取因子2,把n-1表示成d*2^r,如果n是一个素数,那么或者a^d mod n=1,或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k)

def miller_rabin_witness(a, p):
  if p == 1:
    return False
  if p == 2:
    return True
  #p-1 = u*2^t 求解 u, t
  n = p - 1
  t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
  u = 1
  while t > 0:
    u = n / 2**t
    if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
      break
    t = t - 1
  b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
  for i in range(1, t + 1):
    b2 = b1**2 % p
    if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
      return False
    b1 = b2
  if b1 != 1:
    return False
  return True
def prime_test_miller_rabin(p, k):
  while k > 0:
    a = randint(1, p - 1)
    if not miller_rabin_witness(a, p):
      return False
    k = k - 1
  return True

希望本文所述对大家的Python程序设计有所帮助。

Python素数检测的方法

声明:本文内容由网友自发贡献,版权归原作者所有,本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容,请联系admin@php.cn核实处理。

相关文章

相关视频


网友评论

文明上网理性发言,请遵守 新闻评论服务协议

我要评论
  • Python素数检测的方法
  • 专题推荐

    作者信息
    Python素数检测的方法

    认证0级讲师

    推荐视频教程
  • Python素数检测的方法javascript初级视频教程
  • Python素数检测的方法jquery 基础视频教程
  • 视频教程分类
    相关标签: Python 素数检测