题目大意
已知一元三次方程\(ax^3+bx^2+cx+d=0\):
- 有且只有3个根
- 对\(\forall x, x\in[-100,100]\)
- 对\(\forall x_1,x_2,|x_1-x_2|\geq1\)
- 定理:令\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\),则\(f(l)f(r)<0\Leftrightarrow \exists x\in [l,r],使得f(x)=0\)
思路
从拿到题开始我们很容易想到二分。二分求点都是求一个点,包含该点的区间具有某一特定性质,不包含这个点的区间不具有这一特定性质。“区间的特定性质”便是性质4。但是怎么保证区间中只有一个点呢?由性质3可得每个长度为1的区间最多有一个解。因此我们对于每个满足性质4的长度为1的区间二分即可。
注意
- 长度为1的区间内的函数图象不一定单调,所以\(f(\frac{l+r}{2})\)不具有任何代表性。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double EPS = 0.0001;
double A, B, C, D;
double Bsearch(double l, double r, double k, double eps, double (*GetVal)(double, double))
{
double mid;
//printf("l %.2f r %.2f\n", l, r);
while(r - l > eps)
{
//printf("l %.2f r %.2f\n", l, r);
mid=(l+r)/2.000;
if(GetVal(l, mid) < k)
r = mid;
else
l = mid;
}
return mid;
}
double Func(double x)
{
return A * x * x * x + B * x * x + C * x + D;
}
double GetVal(double l, double r)
{
return Func(l) * Func(r);
}
int main()
{
cin>>A>>B>>C>>D;
int ansCnt = 0;
double ans[4];
for(double l = -100; l <= 99; l += 1)
{
double r = l + 1;
//printf("l %.2f r %.2f\n", l, r);
if(Func(l) == 0)
ans[++ansCnt] = l;
else if(Func(l) * Func(r) < 0)
{
//printf("ok\n");
ans[++ansCnt] = Bsearch(l, r, 0, EPS, GetVal);
}
}
//printf("%.2f %.2f %.2f\n", ans[1], ans[2], ans[3]);
//sort(ans+1, ans + 3 + 1);
for(int i=1; i<=ansCnt; i++)
printf("%.2f ", ans[i]);
return 0;
}