BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林(瓶颈生成树 LCT)
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Description
为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。
Input
第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。
Output
输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。
Sample Input
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1
Sample Output
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。
HINT
2<=n<=50,000
0<=m<=100,000
1<=ai ,bi<=50,000
Source
首先考虑只有一维的情况，很明显是最小生成树
二维的情况可以由一维的情况拓展而来。
对$a_i$进行排序，每次加入加入这条边，判断是否会形成环，若不会形成环那就加进去
如果会形成环那就把环上$b_i$最大的那条边删掉
这个过程很显然可以用LCT维护
注意如果图联通，我们就需要更新答案。
很显然，我们在枚举了$a_i$的同时保证了$b_i$最小，因此这样是正确的
其实SPFA跑的比LCT快
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
const int INF = 1e9 + 10, MAXN = 2 * 1e5 + 10;
using namespace std;
inline int read() {
char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
int N, M;
struct Edge {
int u, v, a, b;
bool operator < (const Edge &rhs) const {
return a < rhs.a;
}
}E[MAXN];
#define ls(x) ch[x][0]
#define rs(x) ch[x][1]
int fa[MAXN], ch[MAXN][2], Mx[MAXN], val[MAXN], rev[MAXN];
void connect(int x, int _fa, int opt) {fa[x] = _fa; ch[fa[x]][opt] = x;}
bool ident(int x) { return ch[fa[x]][0] == x ? 0 : 1;}
bool isroot(int x) { return ch[fa[x]][0] != x && ch[fa[x]][1] != x;}
void update(int x) {
if(val[x] > val[Mx[ls(x)]] && val[x] > val[Mx[rs(x)]]) Mx[x] = x;
else Mx[x] = val[Mx[ls(x)]] > val[Mx[rs(x)]] ? Mx[ls(x)] : Mx[rs(x)];
}
void pushdown(int x) {
if(!rev[x]) return ;
rev[ls(x)] ^= 1; rev[rs(x)] ^= 1;
swap(ls(x), rs(x));
rev[x] = 0;
}
void push(int x) {
if(!isroot(x)) push(fa[x]);
pushdown(x);
}
void rotate(int x) {
int Y = fa[x], R = fa[Y];
int Yson = ident(x), Rson = ident(Y);
int B = ch[x][Yson ^ 1];
fa[x] = R;
if(!isroot(Y)) connect(x, R, Rson);
connect(Y, x, Yson ^ 1);
connect(B, Y, Yson);
update(Y); update(x);
}
void splay(int x) {
push(x);
for(int y = fa[x]; !isroot(x); rotate(x), y = fa[x])
if(!isroot(y))
ident(y) == ident(x) ? rotate(x) : rotate(y);
}
void access(int x) {
for(int y = 0; x; x = fa[y = x])
splay(x), ch[x][1] = y, update(x);
}
int findroot(int x) {
access(x); splay(x);
pushdown(x);
while(ls(x)) pushdown(x = ls(x));
return x;
}
void makeroot(int x) {
access(x);
splay(x);
rev[x] ^= 1;
pushdown(x);
}
void link(int x, int y) {
makeroot(x);
if(findroot(y) != x) fa[x] = y;
}
void cut(int x, int y) {
makeroot(x);
if(findroot(y) == x && fa[x] == y && !rs(x) && ls(y) == x)
fa[x] = ls(y) = 0,
update(y);
}
void add(int id, int x, int y, int b) {
if(findroot(x) != findroot(y)) {
link(x, id); link(id, y);
val[id] = b; return ;
}
makeroot(x); access(y); splay(y);
int Maxval = val[Mx[y]];
if(Maxval <= b) return ;
int t = Mx[y];
cut(t, E[t - N].u);
cut(E[t - N].v, t);
link(x, id); link(id, y);
val[id] = b;
}
main() {
#ifdef WIN32
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif
N = read(); M = read();
for(int i = 1; i <= M; i++) {
int x = read(), y = read(), ta = read(), tb = read();
E[i] = (Edge){x, y, ta, tb};
}
sort(E + 1, E + M + 1);
int ans = INF;
for(int i = 1; i <= M; i++) {
add(i + N, E[i].u, E[i].v, E[i].b);
if(findroot(1) != findroot(N)) continue;
makeroot(N); access(1); splay(1);
ans = min(ans, E[i].a + val[Mx[1]]);
}
printf("%d\n", ans == INF ? -1 : ans);
}