Acwing-97-约数之和(整数分解, 递推分治)

链接:

https://www.acwing.com/problem/content/99/

题意:

假设现在有两个自然数A和B，S是AB的所有约数之和。

请你求出S mod 9901的值是多少。

思路:

考虑a^b次方的约数可以变为对a进行质数分解,对每个指数的次数乘上b.就构成了a^b的约数集合.
同时求和就是每个质数的组合.可以变成对每个质数求起0次到k次的和,将每个和相乘.
求0次到k次的和时可以用分治,将一个和分成两半来求.

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 9901;

int a, b;

LL QuickPow(LL a, LL b)
{
    LL res = 1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            res = (res*a)%MOD;
        b >>= 1;
        a = (a*a)%MOD;
    }
    return res;
}

LL Sum(LL p, LL c)
{
    if (c == 0)
        return 1LL;
    if (c%2 == 0)
        return (((1LL+QuickPow(p, c/2)) * Sum(p, c/2-1))%MOD+QuickPow(p, c))%MOD;
    else
        return ((1LL+QuickPow(p, (c+1)/2))*Sum(p, c/2))%MOD;
}

int main()
{
//    cout << Sum(2, 3) << endl;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    LL res = 1;
    for (int i = 2;i <= a;i++)
    {
        int cnt = 0;
        while (a%i == 0)
        {
            cnt++;
            a/=i;
        }
        if (cnt)
            res = res*Sum(i, cnt*b)%MOD;
    }
    if (a == 0)
        printf("0\n");
    else
        printf("%lld\n", res);

    return 0;
}