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Romantic HDU - 2669(扩欧模板题)

程序员文章站 2022-03-07 10:38:00
扩展欧几里得模板 扩展欧几里德算法——找出一对整数(x,y), 使得ax+by = gcd(a,b)。 注意, 这里的x和y不一定是正数, 也可能是负数或者0。 例如, gcd(6,15)=3, , 其中x=3, y= 1。 这个方程还有其他解, 如x= 2, y=1。 用数学归纳法并不难证明该算法 ......

扩展欧几里得模板

扩展欧几里德算法——找出一对整数(x,y), 使得ax+by = gcd(a,b)。 注意, 这里的x和y不一定是正数, 也可能是负数或者0。 例如, gcd(6,15)=3,6*3-15*1=3, 其中x=3, y=-1。 这个方程还有其他解, 如x=-2, y=1。

void gcd(int a, int b, int& d, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else 
    {
        gcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

用数学归纳法并不难证明该算法的正确性, 此处略去。 注意在递归调用时, x和y的顺序变
了, 而边界也是不难得出的:gcd(a,0)=1⋅a-0*0=a。 这样, 唯一需要记忆的是y-=x*(a/b), 哪
怕暂时不懂得其中的原因也不要紧。
上面求出了ax+by=gcd(a,b)的一组解(x1,y1), 那么其他解呢? 任取另外一组解(x2,y2),
则ax1+by1=ax2+by2( 它们都等于gcd(a,b)) , 变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。 假设gcd(a,b)=g, 方程
左右两边同时除以g, 得a'(x1-x2)=b' (y2-y1), 其中a'=a/g, b'=b/g。 注意, 此时a'和b'互素,
因此x1-x2一定是b'的整数倍。 设它为kb', 计算得y2-y1=ka'。 注意, 上面的推导过程并没有用
到“ax+by的右边是什么”, 因此得出如下结论。
即:设a, b, c为任意整数。 若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0), 则它的任
意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka'), 其中a'=a/gcd(a,b), b'=b/gcd(a,b), k取任意整数。

以上内容均参考自刘汝佳的《算法竞赛入门经典》

题目代码及讲解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
void gcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        gcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("output.txt", "w", stdout);
    ll a, b;
    ll x, y;
    while(cin >> a >> b)
    {
        ll x, y, d;
        gcd(a, b, d, x, y);     //在这里产生一组解
        if(d != 1)      //要满足题目所给的等式,就必须要求a, b的最大公约数为1
            cout << "sorry" << endl;
        else
        {
            while(x < 0)
            {
                x += b / 1;     //它的任意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka'),直到x不为负数为止
                y -= a / 1;  
            }
            cout << x << " " << y << endl;
        }


    }
}