【CSP-S膜你考】最近公共祖先 To Be Continued

problem a. 最近公共祖先 (commonants.c/cpp/pas)

注意

input file: commonants.in
output file: commonants.out
time limit : 0.5 seconds
memory limit: 512 megabytes

题面

最近公共祖先$\text{(lowest common ancestor,lca)}$是指在一个树中同时拥有给定的两个点作为后
代的最深的节点。
为了学习最近公共祖先，你得到了一个层数为$n+1$的满二叉树，其中根节点的深度为$0$，其他节点的深度为父节点的深度$+1$。你需要求出二叉树上所有点对 $\texttt{(i,j)}$,（$i$,$j$可以相等，也可以$i > j$）的最近公共祖先的深度之和对$10^9+7$取模后的结果。

输入格式

一行一个整数$n$。

输出格式

一行一个整数表示所有点对 $\texttt{(i,j)}$,（$i$,$j$可以相等，也可以$i > j$）的最近公共祖先的深度之和对$10^9+7$取模后的结果。

样例

$\texttt{input#1}$
2

$\texttt{input#2}$
19260817

$\texttt{output#1}$
22

$\texttt{output#2}$
108973412

数据范围与提示

样例$1$解释：

树一共有$7$个节点（一个根节点和两个子节点），其中 $\texttt{(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}$ 共$4$对的最近公共祖先深度为$2$，$\texttt{(4,2),(2,4),(5,2),(2,5),(5,4),(4,5),(2,2),(6,3),(3,6),(3,7),(7,3),(6,7),}$$\texttt{(7,6),(3,3)}$共$14$对最近公共祖先深度是$1$，其他的点对最近公共祖先深度为$0$，所以答案为$22$。

对于$20%$的数据，$n \le 10$。
对于$50%$的数据，$n \le 10^6$ 。
对于$100%$的数据，$1 \le n \le 10^9$ 。

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题解

对于一颗有$n$层的满二叉树很显然符合以下几点
1.第$i$层的点的个数为$2^i$。
2.以第$i$层的点为根节点的子树大小为$2^{n-i+1}-1$。
3.以第$i$层的点为$\text{lca}$的点对个数为$2^{2n-i+1}-2^i$

观察上面的图（好丑）,很明显$1,2$都是对的。
对于一颗以第$i$层的节点为根的子树：
①它的左子树与右子树上的点的$\text{lca}$都为根节点。所以点对个数为
$$\huge\frac{2^{n-i+1}-2}{2} \times \frac{2^{n-i+1}-2}{2}$$
$$\huge= (2^{n-i}-1) \times (2^{n-i}-1)$$
$$\huge= 2^{2n-2i}-2^{n-i+1}+1$$
②这棵子树的左子树与根节点的$\text{lca}$都为根节点。右子树也是。所以有$2^{n-i+1}-2$对点。
③根节点与根节点的$\text{lca}$也是根节点，点对个数为1。
点对$\texttt{(u,v)}$与点对$\texttt{(v,u)}$在$u \neq v$时是两个不同的点对。
所以将上述①②相加乘二再加③就是以子树根节点为$\text{lca}$的点对的数量为：
$$\huge 2^{2n-2i+1}-1$$
因为第$i$层的点的个数为$2^i$。所以以第$i$层的点为$\text{lca}$的点对个数为：
$$\huge 2^{2n-i+1}-2^i$$
因为一共有$n+1$层，从$0-n$层，所以答案为：
$$\huge \sum_{i=0}^{n} (2^{2n-i+1}-2^i) \times i$$
$$\huge =\sum_{i=0}^{n} i \times 2^{2n-i+1}-i \times 2^i$$
但这样复杂度为$\theta (nlog_n)$过不了。。将上面的式子展开：
$$\huge \sum_{i=0}^{n} i \times 2^{2n-i+1} - \sum_{i=0}^{n} i \times 2^i$$
$$\huge t_n=\sum_{i=0}^{n} i \times 2^{2n-i+1}$$
$$\huge =2^{2n} + 2 \times 2^{2n-1} + 3 \times 2^{2n-2}+...+n \times 2^{n+1}$$

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$code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll qpow(ll a, ll b){
    ll ret = 1;
    for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod){
        if(b & 1) ret = ret * a % mod;
    }
    return ret;
}
ll n;
ll f[1000005];
int main(){
    freopen("commonants.in", "r", stdin);
    freopen("commonants.out", "w", stdout);
    cin >> n; 
    printf("%lld\n", (qpow(2, 2 * n + 2) - (4 * n % mod + 2) * qpow(2, n) % mod + mod - 2 + mod) % mod);
    return 0;
}