机器学习个人笔记——（二）线性回归，最小二乘法和梯度下降

一、线性回归

1.概念

线性回归，能够用一个直线较为精确地描述数据之间的关系。这样当出现新的数据的时候，就能够预测出一个合理的值

如下图，平面中存在200个样本，需找出一条合理的直线对其进行拟合

通过线性回归，拟合直线效果如下

在上述二维平面中，需要做的就是找出一条最佳拟合直线方程，形式如下：
$\begin{aligned} h(x) & = w_{0}x_{0}+w_{1}x_{1}{（通常x_{0}为1）}\\{\therefore 直线表达式为=>}h(x)& = w_{0}+w_{1}x_{1} \end{aligned}$
通过不同的算法求解$w_{0}，w_{1}$得到直线方程，$x_{0}$代表第一个特征值，$x_{1}$代表第二个特征值
实际中，若舍去特征值$x_{0}$, 则得到的直线恒过原点，而为了使直线拟合度更高，加入了常数项$w_{0}$, 相当于$y=kx+b$中的$b$，为了方便与$w_{0}，w_{1}$相乘相加，$x_{0}$是人为添加的，且恒为1，直线可以看成$y=kx+b*1=>h= w_{0}+w_{1}x_{1}$

由此可得，在一般情况下，样本可能具有n个特征值，$x_{1},x_{2},...,x_{n}$,加入常数项$x_{0}=1$，则需求解的超平面方程如下:
$\begin{aligned} h(x)& = w_{0}x_{0}+w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{n}x_{n}{（通常x_{0}为1）} \end{aligned}$
需求解$w_{0},w_{1}x,w_{2},..w_{n}$的值以确定该方程。

为了方便表示该方程，设w参数向量为
$\mathbf{w^{T}}=\begin{bmatrix} w_{0}&w_{1} &w_{2} &...&w_{n} \end{bmatrix}$
样本特征值为:
$\mathbf{x^{T}}=\begin{bmatrix} x_{0}&x_{1} &x_{2} &...&x_{n} \end{bmatrix}{(x_{0}=1)}$

$h(x)$可表示为:
$h(\mathbf{x})=\mathbf{w^{T}x}$

目标: 求解$\mathbf{w}$向量的最优解

2.损失函数

通过建立一个损失函数来衡量估计值和实际之间的误差的大小，将最小化损失函数作为一个约束条件来求出参数向量的最优解。
样本集为:
$\mathbf{X} =\begin{bmatrix} x_{10}&x_{20}&...&x_{m0}\\ x_{11}&x_{21}&...&x_{m1}\\ ...&...&...&...\\ x_{1n}&x_{2n}&...&x_{mn} \end{bmatrix}$
$m$为样本数量，$n$为特征值数量
单个样本向量可以如下
$\mathbf{x^{1}}=\begin{bmatrix} x_{10}\\x_{11}\\...\\x_{1n}\\ \end{bmatrix},\mathbf{x^{2}}=\begin{bmatrix} x_{20}\\x_{21}\\...\\x_{2n}\\ \end{bmatrix},...,\mathbf{x^{m}}=\begin{bmatrix} x_{m0}\\x_{m1}\\...\\x_{mn}\\ \end{bmatrix}$

第i个样本向量如下：
$\mathbf{x^{i}}=\begin{bmatrix} x_{i0}\\x_{i1}\\...\\x_{in}\\ \end{bmatrix}$

第i个样本的预测值为:
$h(\mathbf{x^{i}})=\mathbf{w^{T}x^{i}}$

损失函数如下：
$\begin{aligned} J(\mathbf{w}) &= \frac{1}{2m}\sum_{i = 1}^{m}(\mathbf{w^{T}x}-y^{i})^{2}\\ &=\frac{1}{2m}\sum_{i = 1}^{m}(h(\mathbf{x^{i}})-y^{i})^{2}\\\\{求}&\min J(\mathbf{w}) \end{aligned}$

$y^{i}$为某一个样本的实际值，$h(\mathbf{x^{i}})$为预测值，$J(\mathbf{w})$函数即为误差的平方和，求当$J(\mathbf{w})$取最小时，$\mathbf{w}$（参数向量）的值，$\frac{1}{2}$为常数项对最小值无影响，方便后续求导

二、最小二乘法

为了方便计算，对样本集特征矩阵X，参数向量w，以及y向量做以下规定：

样本集特征矩阵X
$\begin{aligned} \mathbf{X} & = \begin{bmatrix} x_{10}&x_{11}&x_{12}&...&x_{1n}\\ x_{20}&x_{21}&x_{22}&...&x_{2n}\\ ...&...&...&...&...\\ x_{m0}&x_{m1}&x_{m2}&...&x_{mn}\\ \end{bmatrix}\\\\\mathbf{X^{i}} &= \begin{bmatrix} x_{i0}&x_{i1}&x_{i2}&...&x_{in} \end{bmatrix} \end{aligned}$

参数向量w:
$\mathbf{W}=\begin{bmatrix} w_{0}\\w_{1} \\w_{2} \\...\\w_{n} \end{bmatrix}$
XW矩阵相乘:
$\mathbf{XW}= \begin{bmatrix} h_{1} \\ h_{2}\\ h_{3}\\...\\ h_{m} \end{bmatrix}$

$h_{i}$为第i个样本预测值

y向量:
$\mathbf{Y}=\begin{bmatrix} y_{1}\\y_{2} \\y_{3} \\...\\y_{m} \end{bmatrix}$

$y_{i}$为样本实际值

损失函数：$\begin{aligned} J(\mathbf{w}) =\sum_{i = 1}^{m}(h(\mathbf{x^{i}})-y^{i})^{2} \end{aligned}$
可以表示为$：J(\mathbf{W})=(\mathbf{Y}-\mathbf{XW})^{T}(\mathbf{Y}-\mathbf{XW})$

对$\mathbf{W}$求导得：

$\frac{\partial J(\mathbf{W})}{\partial \mathbf{W}} =-2\mathbf{X^{T}Y}+2\mathbf{X^{T}XW}$

令：$\frac{\partial J(\mathbf{W})}{\partial \mathbf{W}} =-2\mathbf{X^{T}Y}+2\mathbf{X^{T}XW}=0$

相当于对J(W)中，分别对w0,w1,w2,…,wn求偏导，令偏导等于0，解出w0,w1,w2…,wn

解得：$\mathbf{W}=(\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X}\mathbf{Y}$

即求得最优参数向量W

三、梯度下降法

使用最小二乘法效率可能比较低，需解出n(特征值数量)个方程，可使用梯度下降法，对w参数向量进行迭达

梯度下降：沿着增长最快的相反方向，移动$\alpha$ 的步长，即逐步递减值最低值，迭代公式如下
$\large w=w-\alpha \nabla {f}$

$\nabla {f}$表示增长最快的方向，使用减号表示递减(梯度下降)，若加表示递增(梯度上升)

使用梯度下降(或上升)时，一般给定w一个初始值，再通过不断迭代得到最优值
此时即需求$J(\mathbf{w})$的梯度, 需分别对对$w_{i}$求偏导
$\large \nabla {f}=\begin{bmatrix} \frac{\partial\mathrm J(\mathbf{w})}{\partial w_{0}}\\ \frac{\partial\mathrm J(\mathbf{w})}{\partial w_{1}}\\ \frac{\partial\mathrm J(\mathbf{w})}{\partial w_{2}}\\ ...\\ \frac{\partial\mathrm J(\mathbf{w})}{\partial w_{n}}\\ \end{bmatrix}$

通过对对损失函数$J(\mathbf w)$求偏导后（参考梯度上升），梯度可以表示为：

$\large \nabla {f}=-\frac{1}{m} \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{i0}\\ \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{i1}\\ \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{i2}\\ ......\\ \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{in}\\ \end{bmatrix}$

所以代入原方程，
梯度上升算法的迭代过程：$\alpha$ 为步长 $(\alpha >0)$
$\begin{aligned} \mathbf{w} &=\mathbf{w} -\alpha \nabla f\\\\&=\begin{bmatrix} w_{0}\\ w_{1}\\ w_{2}\\...\\w_{n} \end{bmatrix}+\alpha \frac{1}{m}\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{i0}\\ \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{i1}\\ \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{i2}\\ ......\\ \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-h(\mathbf{w^{T}x_{i}}))x_{in}\\ \end{bmatrix} \end{aligned}$
经过上述不断迭代的过程，最终得到一个合适的$\mathbf{w}$参数

四、代码

import numpy as np
#from matplotlib import pyplot as plt

def load_datas(filename):
    with open(filename, 'r') as fr:
        data_mat=[]
        data_labels=[]
        for line in fr:
            curr_line=line.strip().split('\t')
            data_mat.append(list(map(float, curr_line[:-1])))
            data_labels.append(float(curr_line[-1]))
    return np.mat(data_mat), np.mat(data_labels)


def get_weights0(datas, labels):
    """
    最小二乘法

    :param datas:
    :param labels:
    :return:weights
    """
    xTx=datas.T*datas
    if(np.linalg.det(xTx)!=0.0):
        weights=xTx.I*datas.T*labels.T
        return weights
    return None


def get_weights1(datas, y_labels, alpha=1, r=300):
    """
    梯度下降法

    :param datas:
    :param labels:
    :return:weights
    """
    shape = datas.shape
    weights=np.ones((shape[1], 1))
    for i in range(r):
        err = y_labels-datas*weights
        weights=weights+(alpha/shape[0])*datas.T*err
    return weights


print('最小二乘法')
data_mat, data_labels = load_datas('ex1.txt')
weights=get_weights0(data_mat, data_labels)
print(weights)
print('梯度下降法')
weights=get_weights1(data_mat, data_labels.T)
print(weights)

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