【程序员面试手册】递归系列——图解 “汉诺塔“ 问题
温馨提示：理解本文需要对递归算法有基本的了解，快速入门递归算法可以戳戳：【算法与数据结构 11】如何运用递归算法，看这一篇就够了！
一、汉诺塔故事
传说中，在古印度，大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
二、汉诺塔问题
汉诺塔故事实质上是一个数学问题，从古到今，吸引了无数数学家为此绞尽脑汁。甚至如今，在各大互联网公司面试中也屡见不鲜。究其原因，就是考察程序员的算法逻辑能力和代码能力。
那么，下面就来还原大厂面试过程中，一道经典的汉诺塔问题：
在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。
示例1:
输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
输出：C = [2, 1, 0]
示例2:
输入：A = [1, 0], B = [], C = []
输出：C = [1, 0]
提示: A中盘子的数目不大于14个。
三、汉诺塔解题思路
这是一道考察递归算法的经典题目，乍一想还挺难理清头绪的，我们不妨先从简单的入手。
-
当n=1时，只有一个盘子，直接把它从 A 中拿出来，放到 C 上，只移动了1次；
-
当n=2时，有两个盘子时，也比较简单，只需经过如下3次移动；
-
当n=3时，有三个盘子时，如果直接去移可能比较麻烦，不妨换一种思路：先将上面两个盘子看作一个整体，然后经过如下3步：
- ① 将整体移动到B柱
- ② 将A柱最底下的盘子移到C柱
- ③ 将B柱上的整体移动到C柱
这时有人肯定会说，步骤①、③不能成立，不是一次只能移动一个盘子吗？
当然，一次只能移动一个盘子，所以现在关键就是分析步骤 ① 和 ③。
细心观察，可以发现，步骤 ① 和 ③ 是同一个问题，都是要将两个盘子移动另一个柱子上。而这恰恰是当n=2时，移动2个盘子的情况。由此可知：步骤 ① 和 ③ 需要移动的次数都是3。
因此，当n=3时，整个过程需要移动盘子的次数是：3+1+3=7 次
- 当n=4时，有4个盘子时。同样的道理，将A柱上的3个盘子当做整体，然后依次完成以上三个步骤，就可实现目标。这时移动移动的次数就是：7+1+7=15。
- 当有n个盘子时。依次类推，可将A柱上的n-1个盘子作为一个整体，然后分别执行以上三个步骤，就可实现目标。假设知道当n-1盘子时，需要移动a次，那么当有n个盘子时需要移动的总次数是：a+1+a=2a+1次
到这里，我们就分析完了，可以将所有的情况总结如下表所示：
| 盘子个数 | 一共的移动次数 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 7 |
| 4 | 15 |
| … | … |
| n | 2 n − 1 2^n-1 2n−1 |
四、算法思想与代码实现
由上面的演绎，我们得知：直接将n个盘子进行移动是困难的。简单的方法是：将上面的n-1个盘子看作一个整体。从而可以总结出我们的算法思想：
- 当 n 等于 1 的时候，直接把圆盘从 A 移动到 C；
- 当 n > 1 的时候：
- 步骤①：把 A 柱子上面的 (n-1) 个盘子，从 A 移动到 B；
- 步骤②： 把 A 柱子上面的第 n 个盘子由 A 移动到 C；
- 步骤③： 把第一步 B 柱子上的 (n-1) 个盘子由 B 移动到 C
注：步骤①不能一次性将(n-1) 个盘子从 A 移动到 B。所以在这个过程中，我们可将(n-1)个盘子上面的(n-2)个盘子看做一个整体，于是这就成了一个典型的递归问题。
下面给出了上述算法的实现：
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution {
public:
int m = 0;
void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {
// A柱子上最开始的盘子数量
int n = A.size();
// 递归函数：将A柱上的n个盘子，通过B柱，转移到C柱
move(n, A, B, C);
cout<<"开始设定A柱盘子的个数："<<n<<endl;
cout<<"该游戏需要移动盘子的次数："<<m<<endl;
}
void move(int n, vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C){
// 如果A上只剩1个盘子时，将A柱上的盘子放在C柱上
if(n==1){
C.push_back(A.back());
A.pop_back();
m++;
return;
}
// 步骤1：将A最上面的n-1个盘子，通过C柱，移到B柱
move(n-1, A, C, B);
// 步骤2：将A上的最后一个盘子，移动到C柱
C.push_back(A.back());
A.pop_back();
m++;
// 步骤3：将B上的n-1个盘子，通过A柱，移动到C柱上
move(n-1, B, A, C);
}
};
int main()
{
vector<int> A = {4,3,2,1,0};
vector<int> B = {};
vector<int> C = {};
Solution Hanota;
Hanota.hanota(A,B,C);
return 0;
}
程序中设定：A = {4,3,2,1,0}，即n=5，表示A柱子上开始有5个盘子。运行结果如下：
最后，回到最初的这个问题。当金刚石柱子上摞着64片黄金圆盘时，完成这个古老的游戏，需要移动的次数就是
2
64
−
1
2^{64}-1
264−1!
如果移动一次需要1秒，那么完成这个游戏需要 2 64 − 1 = 1.845 ∗ 1 0 19 2^{64}-1=1.845*10^{19} 264−1=1.845∗1019秒，折合成年，大概需要5849亿年！
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参考文章：
https://blog.csdn.net/weixin_43570367/article/details/102985692
https://leetcode-cn.com/problems/hanota-lcci/solution/tu-jie-yi-nuo-ta-de-gu-shi-ju-shuo-dang-64ge-pan-z/