贪心算法

贪婪算法

贪心算法（greedy algorithm) 简介贪心算法，又名贪婪法，是寻找最优解问题的常用方法，这种方法模式一般将求解过程分成若干个步骤，但每个步骤都应用贪心原则，选取当前状态下最好/最优的选择（局部最有利的选择），并以此希望最后堆叠出的结果也是最好/最优的解。{看着这个名字，贪心，贪婪这两字的内在含义最为关键。这就好像一个贪婪的人，他事事都想要眼前看到最好的那个，看不到长远的东西，也不为最终的结果和将来着想，贪图眼前局部的利益最大化，有点走一步看一步的感觉。}

贪婪法的基本步骤：

步骤1：从某个初始解出发；

步骤2：采用迭代的过程，当可以向目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一部分解，缩小问题规模；

步骤3：将所有解综合起来。

事例一：找零钱问题假设你开了间小店，不能电子支付，钱柜里的货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币，如果你是售货员且要找给客户 41 分钱的硬币，如何安排才能找给客人的钱既正确且硬币的个数又最少？这里需要明确的几个点：1.货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币；2.找给客户 41 分钱的硬币；3.硬币最少化思考，能使用我们今天学到的贪婪算法吗？怎么做？（回顾一下上文贪婪法的基本步骤，1，2，3）

1. 找给顾客sum_money=41分钱，可选择的是25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币。能找25分的，不找10分的原则，初次先找给顾客25分；
2. 还差顾客sum_money=41-25=16。然后从25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币选取局部最优的给顾客，也就是选10分的，此时sum_money=16-10=6。重复迭代过程，还需要sum_money=6-5=1,sum_money=1-1=0。至此，顾客收到零钱，交易结束；
3. 此时41分，分成了1个25，1个10，1个5，1个1，共四枚硬币。

编程实现

#include<iostream>
using namespace std;

#define onefen    1
#define fivefen    5
#define tenfen    10
#define twentyfinefen 25

int main()
{
    int sum_money=41;
    int num_25=0,num_10=0,num_5=0,num_1=0;

    //不断尝试每一种硬币
    while(money>=twentyfinefen) { num_25++; sum_money -=twentyfinefen; }
    while(money>=tenfen) { num_10++; sum_money -=tenfen; }
    while(money>=fivefen)  { num_5++;  sum_money -=fivefen; }
    while(money>=onefen)  { num_1++;  sum_money -=onefen; }

    //输出结果
    cout<< "25分硬币数："<<num_25<<endl;
    cout<< "10分硬币数："<<num_10<<endl;
    cout<< "5分硬币数："<<num_5<<endl;
    cout<< "1分硬币数："<<num_1<<endl;

    return 0;
}

事例二:背包最大价值问题有一个背包，最多能承载重量为 c=150的物品，现在有7个物品（物品不能分割成任意大小），编号为 1~7，重量分别是 wi=[35,30,60,50,40,10,25]，价值分别是 pi=[10,40,30,50,35,40,30]，现在从这 7 个物品中选择一个或多个装入背包，要求在物品总重量不超过 c 的前提下，所装入的物品总价值最高。这里需要明确的几个点：

1. 每个物品都有重量和价值两个属性；
2. 每个物品分被选中和不被选中两个状态（后面还有个问题，待讨论）；
3. 可选物品列表已知，背包总的承重量一定。

所以，构建描述每个物品的数据体结构 object和背包问题定义为

//typedef是类型定义的意思
//定义待选物体的结构体类型
typedef struct tagobject
{
    int weight;
    int price;
    int status;
}object;

//定义背包问题
typedef struct tagknapsackproblem
{
    vector<object>objs;
    int totalc;
}knapsack_problem;

这里采用定义结构体的形式，主要是可以减少代码的书写量,可以实现代码的复用性和可扩展性,简化，提高可读性。就是贪图简单方便，规避繁琐。

如下,实例化

objectsobject objects[] = { { 35,10,0 },{ 30,40,0 },{ 60,30,0 },{ 50,50,0 },
                    { 40,35,0 },{ 10,40,0 },{ 25,30,0 } };

思考：如何选，才使得装进背包的价值最大呢？

策略1：价值主导选择，每次都选价值最高的物品放进背包；

策略2：重量主导选择，每次都选择重量最轻的物品放进背包；

策略3：价值密度主导选择，每次选择都选价值/重量最高的物品放进背包。

（贪心法则：求解过程分成若干个步骤，但每个步骤都应用贪心原则，选取当前状态下最好的或最优的选择（局部最有利的选择），并以此希望最后堆叠出的结果也是最好或最优的解）

策略1：价值主导选择，每次都选价值最高的物品放进背包根据这个策略最终选择装入背包的物品编号依次是 4、2、6、5，此时包中物品总重量是 130，总价值是 165。

//遍历没有被选的objs,并且选择price最大的物品,返回被选物品的编号
int choosefunc1(std::vector<object>& objs, int c)
{
    int index = -1;  //-1表示背包容量已满
    int max_price = 0;
    //在objs[i].status == 0的物品里，遍历挑选objs[i].price最大的物品
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if ((objs[i].status == 0) && (objs[i].price > max_price ))//objs没有被选,并且price> max_price 
        {
            max_price  = objs[i].price;
            index = i;
        }
    }

    return index;
}

策略2：重量主导选择，每次都选择重量最轻(小)的物品放进背包根据这个策略最终选择装入背包的物品编号依次是 6、7、2、1、5，此时包中物品总重量是 140，总价值是 155。

int choosefunc2(std::vector<object>& objs, int c)
{
    int index = -1;
    int min_weight= 10000;
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if ((objs[i].status == 0) && (objs[i].weight < min_weight))
        {
            min_weight= objs[i].weight;
            index = i;
        }
    }

    return index;
}

策略3：价值密度主导选择，每次选择都选价值/重量最高(大)的物品放进背包物品的价值密度 si 定义为 pi/wi，这 7 件物品的价值密度分别为 si=[0.286,1.333,0.5,1.0,0.875,4.0,1.2]。根据这个策略最终选择装入背包的物品编号依次是 6、2、7、4、1，此时包中物品的总重量是 150，总价值是 170。

int choosefunc3(std::vector<object>& objs, int c)
{
    int index = -1;
    double max_s = 0.0;
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if (objs[i].status == 0)
        {
            double si = objs[i].price;
            si = si / objs[i].weight;
            if (si > max_s)
            {
                max_s = si;
                index = i;
            }
        }
    }

    return index;
}

有了物品，有了方法，下面就是将两者结合起来的贪心算法

greedyalgovoid greedyalgo(knapsack_problem *problem, select_policy spfunc)
{
    int idx;
    int sum_weight_current = 0;
    //先选
    while ((idx = spfunc(problem->objs, problem->totalc- sum_weight_current)) != -1)
    {   //再检查，是否能装进去
        if ((sum_weight_current + problem->objs[idx].weight) <= problem->totalc)
        {
            problem->objs[idx].status = 1;//如果背包没有装满，还可以再装,标记下装进去的物品状态为1
            sum_weight_current += problem->objs[idx].weight;//把这个idx的物体的重量装进去，计算当前的重量
        }
        else
        {
            //不能选这个物品了，做个标记2后重新选剩下的
            problem->objs[idx].status = 2;
        }
    }
    printresult(problem->objs);//输出函数的定义，查看源代码
}

注意：这里对objs[idx].status定义了三种状态，分别是待选择为0（初始所有状态均为0），装进包里变为1，判断不符合变为2，这样最后只需要拿去状态为1的即可。主函数部分

object objects[] = { { 35,10,0 },{ 30,40,0 },{ 60,30,0 },{ 50,50,0 },
                    { 40,35,0 },{ 10,40,0 },{ 25,30,0 } };
int main()
{
    knapsack_problem problem;

    problem.objs.assign(objects, objects + 7);//assign赋值，std::vector::assign
    problem.totalc = 150;

    cout << "start to find the best way ,now" << endl;
    greedyalgo(&problem, choosefunc3);

    system("pause");
    return 0;
}

查看策略3的输出结果：

但是，我们再回顾一下第一个事例问题现在问题变了，还是需要找给顾客41分钱，现在的货币只有 25 分、20分、10 分、5 分和 1 分四种硬币；该怎么办？按照贪心算法的三个步骤：1.41分，局部最优化原则，先找给顾客25分；2.此时，41-25=16分，还需要找给顾客10分，然后5分，然后1分；3.最终，找给顾客一个25分，一个10分，一个5分，一个1分，共四枚硬币。是不是觉得哪里不太对，如果给他2个20分，加一个1分，三枚硬币就可以了呢？^_^;总结：贪心算法的优缺点优点：简单，高效，省去了为了找最优解可能需要穷举操作，通常作为其它算法的辅助算法来使用；缺点：不从总体上考虑其它可能情况，每次选取局部最优解，不再进行回溯处理，所以很少情况下得到最优解。