超硬核！一篇文章彻底搞懂【二叉树】及的前序、中序、后序三种遍历

树的概念与特性

1 树的概念

• 树是类似于链表的线性结构，但又是一种典型的非线性的结构；树具有很强的层级性，相比于线性结构，其时间复杂度更低，效率更高；读者可以联系，生活中看见的树；

2 树的术语

• 先看一张树的图片如下，去除图中的箭头和相关术语，树就是一种非线性的层级结构；

树的相关术语如下：

• 根节点： 没有父节点的节点，上图 A节点；
• 兄弟节点：具有相同的父节点的孩子节点；比如 F,G互为兄弟节点；
• 叶子节点：没有孩子节点的节点；比如D,F,G,I,J；
• 祖先节点与孙节点：如果存在根节点A到节点 J 的路径，并且存在节点E出现在该路径上，则称E是节点 J 的祖先节点，J是 E 的孙节点；A B E H 都可以算是 J 的祖先节点；
• 节点大小：节点的大小是指节点拥护的孙节点个数，包括自身； 比如E 节点大小为4；
• 节点的深度：指根节点到节点的路径长度 ； 比如 (A-B-D ), 两个 链，即D节点的深度为2；
• 节点的高度：指节点到最深节点的 路径长度；比如 (E - H -J), 两个链, 即E节点的高度为2；
• 树的层级：具有相同深度的集合称为树的层级；比如 B和C ； 又比如 D,E,F,G
• 树的高度和深度： 树的深度指所有节点中深度的最大值，树的高度指所有节点中高度的最大值；树的高度等于树的深度

3 树的类型

• 二叉树： 如果一棵树中每个节点有0个或者1个或者2个节点，则称该树为二叉树；故空树也是二叉树；

• 严格二叉树: 树的每个节点都有左孩子右孩子或者没有孩子；

• 斜树：斜树的每个节点只有一个孩子；若斜树的每个节点都只有左孩子则称为左斜树，若斜树的每个节点只有右孩子则称为右斜树；

• 满二叉树：所有的父节点都存在左孩子和右孩子，并且所有的叶子结点都在同一层上，则称该类树为满二叉树

• 完全二叉树：对于一棵具有n个节点的二叉树按照层级编号，同时，左右孩子按照先左孩子后右孩子编号，如果编号为i的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树；故满二叉树一定是完全二叉树，反之不成立

2.4满二叉树的性质

• 满叉树的节点个数: 假设满二叉树层级为k，根据 数学归纳法和等比数列求和公式可得 2^0 + 2^1 +…+ 2^k = 2^(k+1) - 1; 推导过程如下图；

• 满二叉树的叶子节点个数：根据满二叉树的结构可知，第k层就是叶子节点所在的层，故叶子节点个数为 2^k个

二叉树的实现

二叉树的结构

• 根据二叉树的结构可知，每个节点都可以假设有左孩子和右孩子，则可以对应为 左指针和右指针，并且每个节点上都可以存储值；故经过面向对象的编程思想进行抽象后的类如下

/**
 * <p>二叉树的结构 </p>
 */
public class TreeNode {

    // 左孩子
    private TreeNode leftNode;
    // 右孩子
    private TreeNode rightNode;
    // 存储值
    private Object value;
    // 构造方法
    TreeNode(Object value){
    this.value = value;
    }
   // 省略 set get 
}   

• 现在需要实现以下的一颗满二叉树;

思路如下：

• 首先根节点储存1；然后分别储存 左孩子2，右孩子3；
• 其次左孩子节点作为父节点，然后分别储存 左孩子4，右孩子5；
• 最后右孩子节点作为父节点然后分别储存 左孩子6，右孩子7；
• 代码实现如下：

 public static void main(String[] args) {
        // 初始化树
        TreeNode tree = initTree();

    }
    public static TreeNode initTree(){
        // 创建7个节点
        TreeNode treeNode1 = new TreeNode(1);
        TreeNode treeNode2 = new TreeNode(2);
        TreeNode treeNode3 = new TreeNode(3);
        TreeNode treeNode4 = new TreeNode(4);
        TreeNode treeNode5 = new TreeNode(5);
        TreeNode treeNode6 = new TreeNode(6);
        TreeNode treeNode7 = new TreeNode(7);
        // 根据上面思路对节点进行组装
        // 组装根节点
        treeNode1.setLeftNode(treeNode2);
        treeNode1.setRightNode(treeNode3);
        // 组装左孩子
        treeNode2.setLeftNode(treeNode4);
        treeNode2.setRightNode(treeNode5);
        // 组装右孩子
        treeNode3.setLeftNode(treeNode6);
        treeNode3.setRightNode(treeNode7);
        return treeNode1;
    }

二叉树的遍历与实现

• 二叉树的遍历分为前序遍历，中序遍历，后续遍历；假设 当前节点 为C (Current Node), 左节点为L ,右节点为R；

前序遍历：C----->L------->R
中序遍历：L----->C------->R
后续遍历：R----->C------>L

先序遍历的实现

思路 ：

• 首先访问当前节点；
• 其次访问左节点；
• 最后访问后节点；
• 回到 前图 前序遍历CLR就是 1，2，4，5，3，6，7；

 public static void main(String[] args) {
        // 初始化树
        TreeNode tree = initTree();
        // 调用先序遍历
        preOrderTree(tree);
    }
    /**
     * <p> 先序遍历</p>
     * @Param [rootNode]
     * @Return void
     */
    public static void preOrderTree(TreeNode rootNode){
        if (rootNode!=null){
            // 值
            System.out.println(rootNode.getValue());
            // 左孩子
            preOrderTree(rootNode.getLeftNode());
            // 右孩子
            preOrderTree(rootNode.getRightNode());
        }

    }

• 输出

1
2
4
5
3
6
7

• 先序遍历实现为线性实现，时间复杂度为O(n)

中序遍历的实现

思路 ：

• 首先访问左节点
• 其次访问当前节点
• 最后访问右节点
• 回到 前图中序遍历的结果是 4，2，5，1， 6，3，7

 public static void main(String[] args) {
        // 初始化树
        TreeNode tree = initTree();
        // 调用中序遍历
        middleOrderTree(tree);
    }
    /**
     * <p> 中序遍历</p>
     * @Param [rootNode]
     * @Return void
     */
    public static void middleOrderTree(TreeNode rootNode){
        if (rootNode!=null){
            // 左孩子
            middleOrderTree(rootNode.getLeftNode());
            // 值
            System.out.println(rootNode.getValue());
            // 右孩子
            middleOrderTree(rootNode.getRightNode());
        }

    }

• 输出

4
2
5
1
6
3
7

• 中序遍历实现为线性实现，时间复杂度为O(n)

后续遍历的实现

思路：

• 首先访问左节点
• 其次访问右节点
• 最后访问当前节点
• 回到 前图中序遍历的结果是 4，5，2，6， 7，3，1

 public static void main(String[] args) {
        // 初始化树
        TreeNode tree = initTree();
        // 调用后续遍历
        postOrderTree(tree);
    }

    /**
     * <p>后续遍历 </p>
     * @Param [rootNode]
     * @Return void
     */
    public static void postOrderTree(TreeNode rootNode){
        if (rootNode!=null){
            // 左孩子
            postOrderTree(rootNode.getLeftNode());
            // 右孩子
            postOrderTree(rootNode.getRightNode());
            // 值
            System.out.println(rootNode.getValue());
        }

    }

• 输出

4
5
2
6
7
3
1

• 后序遍历实现为线性实现，时间复杂度为O(n)