收我膝盖算法之----洗牌算法

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先来思考一个问题：有一个大小为 100 的数组，里面的元素是从 1 到 100 按顺序排列，怎样随机的从里面选择 1 个数？

最简单的方法是利用系统的方法 Math.random() * 100 ，这样就可以拿到一个 0 到 99 的随机数，然后去数组找对应的位置就即可。

接下来在思考一个问题： 有一个大小为100的数组，里面的元素是从 1 到 100 按顺序排列，怎样随机的从里面选择 50 个数？

注意数字不能重复！
注意数字不能重复！
注意数字不能重复！

如果根据上面的思路，你第一想法是：随机 50 次不就行了？但是，这样做有个很明显的 bug ：数字是会重复的。修改一下？弄一个数组，把每一次随机的数都放到数组里，下一次随机就看这个数组里面有没有这数，有的话就继续随机，直到这个数组里面有 50 个数字就停止。这样是可以的！

但，还是有个小问题，考虑一下极端情况：有一个大小为100的数组，里面的元素是从 1 到 100 按顺序排列，怎样随机的从里面选择 99 个数。如果按照上面的方法操作，越往后选择的数字跟前面已经挑选的数字重复的概率越高，这就会造成如果数组很大，选择的数字数目也很大的话，重复次数在量级上会很大。

这个时候就需要换一个思路，如果先将数组里面的元素打乱，那么按顺序选择前 50 个不就可以了？是的！但我们得注意什么叫乱？一副扑克有 54 张牌，有 54! 种排列方式。所谓的打乱指的是，你所执行的操作，应该能够 等概率地生成 这 54! 种结果中的一种。洗牌算法就能做到这一点。洗牌算法Fisher–Yates shuffle 算法由 Ronald Fisher 和 Frank Yates 于 1938 年提出，在 1964 年由 Richard Durstenfeld 改编为适用于电脑编程的版本。这个算法很牛逼却很好理解，通俗的解释就是：将最后一个数和前面任意 n-1 个数中的一个数进行交换，然后倒数第二个数和前面任意 n-2 个数中的一个数进行交换。。。

小程序实现代码

for (var i = this.rowCount * this.colCount - 1; i >= 0 ; i--){
  var iX = parseInt(i / this.colCount);
  var iY = i % this.colCount;

  var randNumber = this.rangeRandom(0, i + 1);

  var randX = parseInt(randNumber / this.colCount);
  var randY = randNumber % this.colCount;

 //交换两个位置
  var temp = tmpMineMap[iX][iY];
  tmpMineMap[iX][iY] = tmpMineMap[randX][randY];
  tmpMineMap[randX][randY] = temp;
  }

在整个过程中，这个算法保证了每一个元素出现在每一个位置的概率是相等的。这个算法真的很牛逼很经典，而且代码很少。

我们从一道经典面试题开始来探讨这个问题。这个面试题有很多形式，但其实背后的算法是一致的。这个问题是：设计一个公平的洗牌算法1.看问题，洗牌，显然是一个随机算法了。随机算法还不简单？随机呗。把所有牌放到一个数组中，每次取两张牌交换位置，随机 k 次即可。如果你的答案是这样，通常面试官会进一步问一下，k 应该取多少？100？1000？10000？很显然，取一个固定的值不合理。如果数组中有 1000000 个元素，随机 100 次太少；如果数组中只有 10 个元素，随机 10000 次又太多。一个合理的选择是，随机次数和数组中元素大小相关。比如数组有多少个元素，我们就随机多少次。这个答案已经好很多了。但其实，连这个问题的本质都没有触及到。此时，面试官一定会狡黠地一笑：这个算法公平吗？

我们再看问题：设计一个 公平 的洗牌算法。

问题来了，对于一个洗牌算法来说，什么叫“公平”？这其实是这个问题的实质，我们必须定义清楚：什么叫公平。一旦你开始思考这个问题，其实答案不难想到。洗牌的结果是所有元素的一个排列。一副牌如果有 n 个元素，最终排列的可能性一共有 n! 个。公平的洗牌算法，应该能等概率地给出这 n! 个结果中的任意一个。如思考虑到这一点，我们就能设计出一个简单的暴力算法了：对于 n 个元素，生成所有的 n! 个排列，然后，随机抽一个。这个算法绝对是公平的。但问题是，复杂度太高。复杂度是多少呢？O(n!)。因为，n 个元素一共有 n! 种排列，我们求出所有 n! 种排列，至少需要 n! 的时间。实际上，这是一个比指数级 0(2ⁿ) 更高的复杂度。因为 2ⁿ 是 n 个 2 相乘；而 n! 也是 n 个数字相乘，但除了 1，其他所有数字都是大于等于 2 的。当 n>=4 开始，n! 以极快的的速度超越 2ⁿ。O(2ⁿ) 已经被称为指数爆炸了。O(n!) 不可想象。所以，这个算法确实是公平的，但是，时间不可容忍。

我们再换一个角度思考“公平”这个话题。其实，我们也可以认为，公平是指，对于生成的排列，每一个元素都能独立等概率地出现在每一个位置。或者反过来，每一个位置都能独立等概率地放置每个元素。基于这个定义，我们就可以给出一个简单的算法了。说这个算法简单，是因为他的逻辑太容易了，就一个循环：

for(int i = n - 1; i >= 0 ; i -- )
    swap(arr[i], arr[rand(0, i)]) // rand(0, i) 生成 [0, i] 之间的随机整数

这么简单的一个算法，可以保证上面我所说的，对于生成的排列，每一个元素都能独立等概率的出现在每一个位置。或者反过来，每一个位置都能独立等概率的放置每个元素。大家可以先简单的理解一下这个循环在做什么。其实非常简单，i 从后向前，每次随机一个 [0…i] 之间的下标，然后将 arr[i] 和这个随机的下标元素，也就是 arr[rand(0， i)] 交换位置。大家注意，由于每次是随机一个 [0…i] 之间的下标，所以，在每一轮，是可以自己和自己交换的。

这个算法就是大名鼎鼎的 Knuth-Shuffle，即 Knuth 洗牌算法。

在这里，我们模拟一下算法的执行过程，同时，对于每一步，计算一下概率值。我们简单的只是用 5 个数字进行模拟。假设初始的时候，是按照 1，2，3，4，5 进行排列的。那么，根据这个算法，首先会在这五个元素中选一个元素，和最后一个元素 5 交换位置。假设随机出了 2。下面，我们计算 2 出现在最后一个位置的概率是多少？非常简单，因为是从 5 个元素中选的嘛，就是 1/5。实际上，根据这一步，任意一个元素出现在最后一个位置的概率，都是 1/5。下面，根据这个算法，我们就已经不用管 2 了，而是在前面 4 个元素中，随机一个元素，放在倒数第二的位置。假设我们随机的是 3。3 和现在倒数第二个位置的元素 4 交换位置。下面的计算非常重要。3 出现在这个位置的概率是多少？计算方式是这样的：其实很简单，因为 3 逃出了第一轮的筛选，概率是 4/5，但是 3 没有逃过这一轮的选择。在这一轮，一共有4个元素，所以 3 被选中的概率是 1/4。因此，最终，3 出现在这个倒数第二的位置，概率是 4/5 * 1/4 = 1/5。还是 1/5 !实际上，用这个方法计算，任意一个元素出现在这个倒数第二位置的概率，都是 1/5。相信聪明的同学已经了解了。我们再进行下一步，在剩下的三个元素中随机一个元素，放在中间的位置。假设我们随机的是 1。关键是：1 出现在这个位置的概率是多少？计算方式是这样的：即 1 首先在第一轮没被选中，概率是 4/5，在第二轮又没被选中，概率是 3/4 ，但是在第三轮被选中了，概率是 1/3。乘在一起，4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5。用这个方法计算，任意一个元素出现在中间位置的概率，都是 1/5。这个过程继续，现在，我们只剩下两个元素了，在剩下的两个元素中，随机选一个，比如是4。将4放到第二个位置。然后，4 出现在这个位置的概率是多少？4 首先在第一轮没被选中，概率是 4/5；在第二轮又没被选中，概率是 3/4；第三轮还没选中，概率是 2/3，但是在第四轮被选中了，概率是 1/2。乘在一起，4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。用这个方法计算，任意一个元素出现在第二个位置的概率，都是 1/5。最后，就剩下元素5了。它只能在第一个位置呆着了。那么 5 留在第一个位置的概率是多少？即在前 4 轮，5 都没有选中的概率是多少？在第一轮没被选中，概率是 4/5；在第二轮又没被选中，概率是 3/4；第三轮还没选中，概率是 2/3，在第四轮依然没有被选中，概率是 1/2。乘在一起，4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。

算法结束。你看，在整个过程中，每一个元素出现在每一个位置的概率，都是 1/5 ！所以，这个算法是公平的。当然了，上面只是举例子。这个证明可以很容易地拓展到数组元素个数为 n 的任意数组。整个算法的复杂度是 O(n) 的。