图论之最短路1（Floyd和Dijkstra算法）

1.Floyd(弗洛伊德)

Floyd算法可以求出任意两点的最短路径，相当于求解n次单源最短路径问题，并且十分简单，时间复杂度为O(n³)。

思想

Floyd算法是动态规划。我们设 f [ k ][ i ][ j ]表示“经过若干个标号不超过k的节点”从 i 到 j 的最短路长度。
其状态转移方程式为：

f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]);
//其中初始值为f[k][i][j]=w[i][j](w为开头定义的邻接矩阵)

在这其中，k这一维可以去掉，其状态转移方程式为：

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t;

int main() {
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	//因为我们是求最短路，所以一开始我们把数组设到无穷大
	for(int i=1;i<=500;i++)
		f[i][i]=0;//第i个点到第i个点需要的权值为0
	scanf("%d %d",&n,&m);//n个点,m条边
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);//从第u个点到第v个点的权值为0
		f[u][v]=w;//因为是有向图，所以我们不加f[v][u]=w
	}
	for(int k=1;k<=n;k++) {//k个阶段，所以k在最外层
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
					f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
			}
		}
	}
	scanf("%d %d",&s,&t);
	printf("%d\n",f[s][t]);//从s到t的最短距离
	return 0;
}

Floyd输出最短路径

Floyd算法输出路径也是采用记录前驱的方式。因为Floyd是计算任意两点间最短路径的算法，f[ i ][ j ]记录从i到j的最短路径值。故我们定义pre[i][j]为一个二维数组，记录从i到j的最短路径中，j的前驱点是哪一个。递归还原路径。
初始化:pre[n][n]为0，输入相连边时，重置相连边尾结点的前驱
若有无向边：pre[a][b]=a; pre[b][a]=b;
更新若Floyd最短路有更新，那么pre[i][j]=pre[k][j];
递归输出指两点s，e的最短路，先输出起点s，再将终点e放入递归，输出s+1~e的所有点。

void print(int x) {
	if(pre[s][x]==0) return;
	print(pre[s][x]);
	printf(" %d",x);
}

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t,pre[505][505];

void print(int x) {
	if(pre[s][x]==0) return ;
	print(pre[s][x]);
	printf(" %d",x);
	return ;
}

int main() {
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=500;i++)
		f[i][i]=0;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
		f[u][v]=w,pre[u][v]=u;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++) {
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
					f[i][j]=f[i][k]+f[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];
			}
		}
	}
	scanf("%d %d",&s,&t);
	printf("%d\n%d",f[s][t],s);
	print(t);
	return 0;
}

传递闭包问题

给定若干个元素和若干对关系，如果关系具有传递性，“通过传递性推导出其他元素的关系”的问题叫做传递闭包。
我们可以建立f[ i ][ j ],其中f[ i ][ j ]=1时表示 i 和 j 之间有关系，f[ i ][ j ]=0时表示 i 和 j 之间没有关系，其中f[ i ][ i ]始终为1。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t;

int main() {
	for(int i=1;i<=500;i++)
		f[i][i]=1;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v;
		scanf("%d %d",&u,&v);
		f[u][v]=1,pre[u][v]=1;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++) {
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++)
				f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
		}
	}
	scanf("%d %d",&s,&t);
	if(f[s][t]) printf("Yes");
	else printf("No");
	return 0;
}

Dijkstra

给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。要计算从源点到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
Dijkstra算法就是求单源最短路径问题。

思想

流程如下：
1.结点分成两组：已经确定最短路、尚未确定最短路
2.不断从第2组中选择路径长度最短的点放入第1组并扩展。

本质是贪心，只能应用于正权图
普通的Dijkstra算法O(n^2)

松弛操作

我们可以举一个栗子：
原来用一根橡皮筋直接连接i、j两点，现在有一点k，使得i->k->j比i->j的距离更短，则把橡皮筋改为i->k->j ，这样橡皮筋更加松弛。
代码如下：

if(dist[j]>dist[k]+w[k][j])
	dist[j]=dist[k]+w[k][j];

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,a[2505][2505],dist[2505];
bool v[2505];

int main() {
	memset(a,0x3f,sizeof(a));
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
		a[u][v]=w,a[v][u]=w;
	}
	dist[s]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int maxx=0x3f3f3f3f,x=0;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			if(!v[j] && dist[j]<maxx) {
				maxx=dist[j];
				x=j;
			}
		}
		if(!x) continue;
		v[x]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			if(dist[j]>dist[x]+a[x][j])
				dist[j]=dist[x]+a[x][j];
		}
	}
	printf("%d",dist[t]);
	return 0;
} 

优化

我们可以发现i中的第1层循环是求最小值，我们完全可以用一个二叉堆来存储。
至于第2层循环是求相邻的边，但有些点根本没有相邻，我们可以用邻接表，直接省去循环那些不相邻的点。时间复杂度为O((m+n) log n)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,dist[2505];
bool v[2505];
struct node{
	int v,w;
	node(){}
	node(int V,int W){
		w=W,v=V;
	}
};
struct lx{
	int w,dd;
	lx(){}
	lx(int W,int DD){
		w=W;
		dd=DD;
	}
	friend bool operator < (lx x,lx y){return x.dd>y.dd;}
};
priority_queue<lx> q;
vector<node> ans[2505];

int main() {
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int a,b,c;
		scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
		ans[a].push_back(node(b,c)),ans[b].push_back(node(a,c));
	}
	dist[s]=0,q.push(lx(s,0));
	while(q.size()){
		int x=q.top().w;
		q.pop();
		if(v[x]) continue;
		v[x]=1;
		int siz=ans[x].size();
		for(int i=0;i<siz;i++){
			int v=ans[x][i].v,w=ans[x][i].w;
			if(dist[v]>dist[x]+w)
				dist[v]=dist[x]+w,q.push(lx(v,dist[v]));
		}
	}
	printf("%d",dist[t]);
	return 0;
}