活动选择问题，活动选择

活动选择问题，活动选择

问题描述：

设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si

。

从图中可以看出S*有11个活动，最大的相互兼容的活动子集为:{a₁，a₄，a₈，a11，}和{a₂，a₄，a₉，a₁₁}。

2、动态规划解决过程

（1）活动选择问题的最优子结构

定义子问题解空间S_ij是S的子集，其中的每个获得都是互相兼容的。即每个活动都是在a_i结束之后开始，且在a_j开始之前结束。

为了方便讨论和后面的计算，添加两个虚构活动a₀和a_n+1，其中f₀=0，s_n+1=∞。

结论：当i≥j时，S_ij为空集。

如果活动按照结束时间单调递增排序，子问题空间被用来从S_ij中选择最大兼容活动子集，其中0≤i＜j≤n+1，所以其他的S_ij都是空集。

最优子结构为：假设S_ij的最优解A_ij包含活动a_k，则对S_ik的解A_ik和S_kj的解A_kj必定是最优的。

通过一个活动a_k将问题分成两个子问题，下面的公式可以计算出S_ij的解A_ij。

（2）一个递归解

　　设c[i][j]为S_ij中最大兼容子集中的活动数目，当S_ij为空集时，c[i][j]=0；当S_ij非空时，若a_k在S_ij的最大兼容子集中被使用，则则问题S_ik和S_kj的最大兼容子集也被使用，故可得到c[i][j] = c[i][k]+c[k][j]+1。

当i≥j时，S_ij必定为空集，否则S_ij则需要根据上面提供的公式进行计算，如果找到一个a_k，则S_ij非空（此时满足f_i≤s_k且f_k≤s_j），找不到这样的a_k，则S_ij为空集。

c[i][j]的完整计算公式如下所示：

亲测代码:

1 #include 2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int c[max_size][max_size]; 6 int ret[max_size][max_size]; 7 8 using namespace std; 9 10 void DP_SELECTOF(int *s,int *f,int n,int c[][max_size],int ret[][max_size]) 11 { 12 int i,j,k; 13 int temp; 14 for(j=2;j)