GF(p)上的ELGamal型椭圆曲线密码详解（Java实现）

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椭圆曲线密码

　　椭圆曲线密码（elliptic curve cryptosystem），简称ecc，是neal koblitz和victor miller于1985年提出的。

　　研究发现，有限域上的椭圆曲线上的一些点构成交换群，而且离散对数问题是难解的。于是在此群上定义elgamal密码，并称为椭圆曲线密码。

　　目前，椭圆曲线密码已成为除rsa密码之外呼声最高的公钥密码之一。它密钥短、签名短、软件实现规模小、硬件实现电路省电。普遍认为，160位长的椭圆曲线密码的安全性相当于1024位的rsa密码，而且运算速度也较快。

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gf(p)上的椭圆曲线

　　设p是大于3的素数，且4a³+27b²≠0(mod p)，称曲线

y²=x³+ax+b（a,b∈gf(p)）

为gf(p)上的椭圆曲线。

　　由椭圆曲线方程可得到一同余方程：

y²=x³+ax+b(mod p)（a,b∈gf(p)）

其解为一个二元组(x,y)，其中x,y∈gf(p)，表示椭圆曲线上的一个点，称为该椭圆曲线上的解点。

无穷点o

　　定义一个点o(∞,∞)表示无穷点，作为0元素。

两解点相加

　　设p(x₁,y₁)和q(x₂,y₂)是解点，r(x₃,y₃)=p(x₁,y₁)+q(x₂,y₂)：

　　1.若p为无穷点，即p=o，此时r=p+q=q；若q为无穷点，即q=o，此时r=p+q=p；若p和q都为无穷点，即p=q=o，则r=p+q=o。

　　2.若x₁=x₂且y₁=y₂，即p=q，此时r=p+q=2p，其中

 

　　3.若x1=x2而y1=-y2，此时称q点为p点的逆，记为p=-q，且r=p+q=o。

　　4.除上述特殊情况之外的一般情况，即p≠±q时，r=p+q，其中

 

　　集合e={所有的解点,无穷点o}和加法运算构成加法交换群。设g(g≠o，即g为一个解点)为一个加法群的生成元，则使得ng=g+g+...+g=o的倍数n为该加法群的阶。加法群的阶整除集合e的阶，即n | |e|。

求椭圆曲线的所有解点

　　当p较小，即gf(p)较小时，可以利用穷举的方法根据同余方程y²=x³+ax+b(mod p)（a,b∈gf(p)）求出所有解点。

　　具体方法为：求出x取0~p-1，x³+ax+b(mod p)的结果是否为模p的二次剩余。如果是，则一个x值可得到两个对应的y值，也就得到互逆的两个解点。

　　e.m.取p=11，椭圆曲线y²=x³+x+6

　　       由此表得到所有的解点：(2,4)、(2,7)、(3,5)、(3,6)、(5,2)、(5,9)、(7,2)、(7,9)、(8,3)、(8,8)、(10,2)、(10,9)，再加上无穷点o共13个点的集合e加上加法运算就构成一个加法交换群。

　　       因为集合e的阶|e|=13为素数，所以该加法群的阶为13。

　　       取g=(2,7)为生成元，

g=(2,7)，2g=(5,2)，

3g=(8,3)，4g=(10,2)，

5g=(3,6)，6g=(7,9)，

7g=(7,2)，8g=(3,5)，

9g=(10,9)，10g=(8,8)，

11g=(5,9)，12g=(2,4)，

　　       最终得到13g=o，所以加法群的阶为13。

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elgamal型椭圆曲线密码

　　1.选择一个素数p，从而确定有限域gf(p)，将p公开。

　　2.选择元素a,b∈gf(p)，从而确定一条gf(p)上的椭圆曲线，确定加法交换群e，将a和b公开。

　　3.选择一个大素数n，并确定一个阶为n的基点g(x,y)，将n和g(x,y)公开。

　　4.余因子h=|e|/n，将h公开。

　　5.随机选择一个整数d(0<d<n)作为私钥保密。

　　6.定义q=dg作为公钥公开。

加密

　　1.随机选择一个整数k(0<k<n)。

　　2.计算x₁=kg。

　　3.计算x₂=kq，若x₂=∞，则回到第1步。

　　4.加密：c=mx₂(mod n)。

　　5.将(x₁,c)作为密文发送。

解密

　　1.用私钥d求出x₂=dx₁。

　　2.解密：m=cx₂^-1(mod n)。

推荐椭圆曲线

　　nist向社会推荐了5条素域gf(p)上随机选取的椭圆曲线：

p-192

　　p=2¹⁹²-2⁶⁴-1

　　a=-3

　　b=64210519 e59c80e7 0fa7e9ab 72243049 feb8deec c146b9b1

　　x=188da80e b03090f6 7cbf20eb 43a18800 f4ff0afd 82ff1012

　　y=07192b95 ffc8da78 631011ed 6b24cdd5 73f977a1 1e794811

　　n=ffffffff ffffffff ffffffff 99def836 146bc9b1 b4d22831

　　h=1

p-224

　　p=2²²⁴-2⁹⁶-1

　　a=-3

　　b=b4050a85 0c04b3ab f5413256 5044b0b7 d7bfd8ba 270b3943 2355ffb4

　　x=b70e0cbd 6bb4bf7f 321390b9 4a03c1d3 56c21122 343280d6 115c1d21

　　y=bd376388 b5f723fb 4c22dfe6 cd4375a0 5a074764 44d58199 85007e34

　　n=ffffffff ffffffff ffffffff ffff16a2 e0b8f03e 13dd2945 5c5c2a3d

　　h=1

p-256

　　p=2²⁵⁶-2²²⁴+2¹⁹²+2⁹⁶-1

　　a=-3

　　b=5ac635d8 aa3a93e7 b3ebbd55 769886bc 651d06b0 cc53b0f6 3bce3c3e 27d2604b

　　x=6b17d1f2 e12c4247 f8bce6e5 63a440f2 77037d81 2deb33a0 f4a13945 d898c296

　　y=4fe342e2 fe1a7f9b 8ee7eb4a 7c0f9e16 2bce3357 6b315ece cbb64068 37bf51f5

　　n=ffffffff 00000000 ffffffff ffffffff bce6faad a7179e84 f3b9cac2 fc632551

　　h=1

p-384

　　p=2³⁸⁴-2¹²⁸-2⁹⁶+2³²-1

　　a=-3

　　b=b3312fa7 e23ee7e4 988e056b e3f82d19 181d9c6e fe814112 0314088f 5013875a c656398d 8a2ed19d 2a85c8ed d3ec2aef

　　x=aa87ca22 be8b0537 8eb1c71e f320ad74 6e1d3b62 8ba79b98 59f741e0 82542a38 5502f25d bf55296c 3a545e38 72760ab7

　　y=3617de4a 96262c6f 5d9e98bf 9292dc29 f8f41dbd 289a147c e9da3113 b5f0b8c0 0a60b1ce 1d7e819d 7a431d7c 90ea0e5f

　　n=ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff c7634d81 f4372ddf 581a0db2 48b0a77a ecec196a ccc52973

　　h=1

p-521

　　p=2⁵²¹-1

　　a=-3

　　b=00000051 953eb961 8e1c9a1f 929a21a0 b68540ee a2da725b 99b315f3 b8b48991 8ef109e1 56193951 ec7e937b 1652c0bd 3bb1bf07 3573df88 3d2c34f1 ef451fd4 6b503f00

　　x=000000c6 858e06b7 0404e9cd 9e3ecb66 2395b442 9c648139 053fb521 f828af60 6b4d3dba a14b5e77 efe75928 fe1dc127 a2ffa8de 3348b3c1 856a429b f97e7e31 c2e5bd66

　　y=00000118 39296a78 9a3bc004 5c8a5fb4 2c7d1bd9 98f54449 579b4468 17afbd17 273e662c 97ee7299 5ef42640 c550b901 3fad0761 353c7086 a272c240 88be9476 9fd16650

　　n=000001ff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff 51868783 bf2f966b 7fcc0148 f709a5d0 3bb5c9b8 899c47ae bb6fb71e 91386409

　　h=1

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椭圆曲线密码的安全性

　　椭圆曲线密码的安全性建立在椭圆曲线离散对数问题的困难性之上。当素数p和n足够大时椭圆曲线密码是安全的。这就要求椭圆曲线解点群的阶要有大素数因子的根本原因，在理想情况下群的阶本身就是一个大素数。

　　为了确保椭圆曲线密码的安全，应当避免使用弱的椭圆曲线。所谓弱的椭圆曲线主要指超奇异椭圆曲线和反常椭圆曲线。

　　椭圆曲线密码的密钥越长，自然越安全，但是技术实现也就越困难，效率也越低。一般认为，在目前的技术水平下采用190~256位的椭圆曲线，其安全性就足够了。

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java实现

解点类

 1 import java.math.biginteger;
 2 
 3 public class ecpoint {
 4     biginteger x;
 5     biginteger y;
 6 
 7     public ecpoint() {
 8         x = null;
 9         y = null;
10     }
11 
12     public ecpoint(biginteger x, biginteger y) {
13         this.x = x;
14         this.y = y;
15     }
16 
17     @override
18     public string tostring() {
19         if (iso()) 
20             return "o";
21         return "(" + x.tostring(16) + ", " + y.tostring(16) + ")";
22     }
23 
24     boolean iso() {
25         if (x == null && y == null) 
26             return true;
27         return false;
28     }
29 }

两解点相加

 1 /**
 2  * 两解点相加
 3  * @param p1
 4  * @param p2
 5  * @return
 6  */
 7 ecpoint add(ecpoint p1, ecpoint p2) {
 8     if (p1.iso()) return p2;
 9     if (p2.iso()) return p1;
10     ecpoint p3 = new ecpoint();
11     biginteger lambda;
12     if (p1.x.compareto(p2.x) == 0) {
13         if (p1.y.compareto(p2.y) == 0) {
14             lambda = new biginteger("3").multiply(p1.x.pow(2)).add(a).multiply(new biginteger("2").multiply(p1.y).modpow(new biginteger("-1"), p)).mod(p);
15             p3.x = lambda.pow(2).subtract(new biginteger("2").multiply(p1.x)).mod(p);
16             p3.y = lambda.multiply(p1.x.subtract(p3.x)).subtract(p1.y).mod(p);
17             return p3;
18         }
19         if (p1.y.compareto(p.subtract(p2.y)) == 0) 
20             return p3;
21     }
22     lambda = p2.y.subtract(p1.y).multiply(p2.x.subtract(p1.x).modpow(new biginteger("-1"), p)).mod(p);
23     p3.x = lambda.pow(2).subtract(p1.x).subtract(p2.x).mod(p);
24     p3.y = lambda.multiply(p1.x.subtract(p3.x)).subtract(p1.y).mod(p);
25     return p3;
26 }

倍乘

 1 /**
 2  * 倍乘
 3  * @param p
 4  * @param n
 5  * @return  np
 6  */
 7 ecpoint multiply(ecpoint p, biginteger n) {
 8     ecpoint q = add(p, new ecpoint());
 9     ecpoint r = new ecpoint();
10     do {
11         if (n.and(new biginteger("1")).intvalue() == 1) 
12             r = add(r, q);
13         q = add(q, q);
14         n = n.shiftright(1);
15     } while (n.intvalue() != 0);
16     return r;
17 }

求所有解点

 1 /**
 2  * 求所有解点
 3  * @return
 4  */
 5 list<ecpoint> solutionpoints() {
 6     list<ecpoint> r = new arraylist<ecpoint>();
 7     list<biginteger> l = new arraylist<biginteger>();
 8     for (biginteger y = new biginteger("1"); y.compareto(p.divide(new biginteger("2"))) != 1; y = y.add(new biginteger("1"))) 
 9         l.add(y.modpow(new biginteger("2"), p));
10     for (biginteger x = new biginteger("0"); x.compareto(p) == -1; x = x.add(new biginteger("1"))) {
11         biginteger t = x.pow(3).add(a.multiply(x)).add(b).mod(p);
12         if (isexist(t, l) != -1) {
13             biginteger y = new biginteger(isexist(t, l) + "");
14             r.add(new ecpoint(x, y));
15             r.add(new ecpoint(x, p.subtract(y)));
16         }
17     }
18     r.add(new ecpoint());
19     return r;
20 }

1 static int isexist(biginteger b, list<biginteger> l) {
2     for (int i = 0; i < l.size(); i++) 
3         if (l.get(i).compareto(b) == 0) return (i + 1);
4     return -1;
5 }

求阶

 1 /**
 2  * 求阶
 3  * @param p  生成元
 4  * @return   p对应的阶
 5  */
 6 biginteger o(ecpoint p) {
 7     biginteger r = new biginteger("1");
 8     while (! p.iso()) {
 9         r = r.add(new biginteger("1"));
10         p = multiply(p, r);
11     }
12     return r;
13 }

加密

 1 /**
 2  * 加密
 3  * @param m
 4  * @return
 5  */
 6 biginteger[] encrypt(biginteger m) {
 7     biginteger k;
 8     ecpoint x1, x2;
 9     do {
10         k = new biginteger(n.bitlength(), new random());
11     } while ((x2 = ec.multiply(q, k)).x == null);
12     x1 = ec.multiply(g, k);
13     biginteger[] c = new biginteger[3];
14     c[0] = x1.x;
15     c[1] = x1.y;
16     c[2] = m.multiply(x2.x).mod(n);
17     return c;
18 }

解密

 1 /**
 2  * 解密
 3  * @param c
 4  * @return
 5  */
 6 biginteger decrypt(biginteger[] c) {
 7     ecpoint x1 = new ecpoint(c[0], c[1]);
 8     ecpoint x2 = ec.multiply(x1, d);
 9     biginteger m = c[2].multiply(x2.x.modpow(new biginteger("-1"), n)).mod(n);
10     return m;
11 }

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测试

测试数据

　　m=1234567890abcdef

　　k=abcdef

测试结果

p-192

p-224

 

p-256

p-384

p-521

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参考文献

　　张焕国，唐明.密码学引论（第三版）.武汉大学出版社，2015年