Wilcoxon signed-rank test and U-statistics

Wilcoxon signed-rank是一种非参数检验的统计量，用于检验对称分布的均值是否为0。给出iid数据$Y_1,\cdots,Y_n$Y1​,⋯,Yn​，$Z_j = sign(Y_j)$Zj​=sign(Yj​)，$R_j$Rj​为$Z_j$Zj​的秩(rank). Wilcoxon signed-rank statistics定义为：

$W=\sum_{j} Z_{j} R_{j}$W=j∑​Zj​Rj​

并且可以得到其均值为0，方差为$n(n + 1)(2n + 1)/6$n(n+1)(2n+1)/6。
事实上，$W$W和$U$U统计量有很直接的联系。而$U$U统计量有很好的性质：

If $\mathrm{Eh}^{2}\left(X_{1}, \ldots, X_{r}\right)<\infty,$Eh2(X1​,…,Xr​)<∞, then $\sqrt{n}(U-\theta-\hat{U}) \stackrel{P}{\rightarrow} 0 .$n​(U−θ−U^)→P0. Consequents,
the sequence $\sqrt{n}(U-\theta)$n​(U−θ) is asymptotically normal with mean 0 and variance $r^{2} \zeta_{1},$r2ζ1​, where. with $X_{1}, \ldots, X_{r}, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{r}^{\prime}$X1​,…,Xr​,X1′​,…,Xr′​ denoting i.i.d. variables.
$\zeta_{1}=\operatorname{cov}\left(h\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{r}\right), h\left(X_{1}, X_{2}^{\prime}, \ldots . X_{r}^{\prime}\right)\right)$ζ1​=cov(h(X1​,X2​,…,Xr​),h(X1​,X2′​,….Xr′​))

其中$\hat{U}$U^是一个projection，这里不细说。利用这里的结论我们可以知道$W$W是渐进正态分布分的。显然根据上面的方差计算我们知道
$\sqrt{\frac{3}{n^3}}W_n\overset{D}{\to}N(0,1)$n33​​Wn​→DN(0,1)

下面是用R代码做的一个简单模拟，可以看到其渐进正态性表现得不错。

library(ggplot2)
set.seed(1234)
N=10000
n = 1000
W = rep(0,N)
for(j in 1:N)
  for(i in 1:n)
  {
    W[j] = W[j] + i*(2*rbinom(1,1,0.5)-1)
  }

Z = W/sqrt(n^3/3)
ggplot() + geom_histogram(aes(Z),stat = "bin",bins = 30)
qqnorm(Z)