JS教程--动态规划算法之背包容量问题

背包问题

题目
给定 N 种物品和一个容量为 V 的背包，物品 i 的体积是 wi，其价值为 ci 。
(每种物品只有一个)
问：如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

面对每个物品，我们只有选择放入或者不放入两种选择，每种物品只能放入一次。

我们用之前同样的思路来走一遍试试
假设只剩下最后一件物品，我们有两种选择
1.剩余空间足够时，选择放入
2.剩余空间不足时，不放入

所以我们有两个最优的子结构：
1.容量为V的背包放入i-1件物品的最优选择
2.容量为V-w[i]的背包放入i-1件物品的最优选择

所以，综合起来就是：
i 件物品放入容量为V的背包的最优选择：
max(容量为V的背包放入i-1件物品的最优选择，容量为V-w[i]的背包放入i-1件物品的最优选择+c[i])

我们用f[i] [v]表示前 i 件物品放入容量为 v 的背包中可以获得的最大价值。
用子问题定义状态：
其状态转移方程是：f[i] [v] = max{f[i-1] [v],f[i-1] [v-w[i]]+c[i]}。

我们先假设
背包总容量为V = 12
物品的容量数组为 w = [4, 6, 2, 2, 5, 1]
价值数组为 c = [8, 10, 6, 3, 7, 2]

1. f(i,v) = 0 (i<=1, v<w[0]);

2. f(i,v) = c[0] (i==1, v>=p[0]);

3. f(i,v) = f(i-1,v) (i>1, v<w[i-1])

4. f(i,v) = max(f(i-1,v), f(i-1,v-w[i-1])+c[i-1])(i>1, v>=w[i-1])

我们每次从左至右，保存前一次的数据
从上至下时，保存前一行的数据
所以我们总的来说只用保存一行的数据，空间复杂度为O(V)
时间复杂度为O(N*V),空间复杂度为O(V);

但是，如果我们用原始的递归办法去做，即排列组合的方法去做时
时间复杂度为O(2^N);

那么当V很大，N较小时，比如V=1000，N=6时，用递归只用计算2^6=64次，而备受推崇的动态规划就需要计算1000*6=6000次

所以说，算法没有绝对的好坏，关键要看应用的惨景

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