矩阵代数

矩阵

矩阵的定义

定义1 矩阵

$m\times n$个数$a_{ij}$ 排成的m行n列的数表
称为一个$m\times n$矩阵，记为

A_{m\times n}=(a_{ij})_{m×n}

$a_{ij}$称为矩阵$A$的元素.

定义2 一些特殊的矩阵

行矩阵与列矩阵

1×n矩阵称为行矩阵.n×1矩阵称为列矩阵

a = (a_1,\cdots ,a_n),
b=\begin{pmatrix}
b_1 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix}

零矩阵

所有元素都是0的矩阵称为零矩阵，记为$O_{m\times n}$

方阵

$m\times n$矩阵$A$称为$m$阶方阵,记作$A_m$.

主对角线与副对角线

在方阵中
元素

	a_{ij} \ \ (i=j,i=1,⋯,n)

所连成的线称为主对角线

元素

a_{ij}\ \ (i+j=n,i=1,\cdots,n)

连成的线称为副对角线

纯量阵

满足当$i=j时 , a_{ij}=\lambda_i$，当$i≠j时,a_{ij}=0$ 的方阵称为对角阵，记作$diag(λ_1, ⋯λ_n)$

\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & \lambda_2 &\cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\
\end{pmatrix}

纯量阵

$λ_i \equiv λ$的对角阵称为纯量阵，记作$λE_m$

\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & \lambda &\cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda \\
\end{pmatrix}

单位阵

$\lambda_i=1,(i=1,\cdots,n)$的m阶纯量阵称为单位阵，记作$E_m$

\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & 1 &\cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}

矩阵的关系

定义3 同型矩阵

矩阵

A=(a_{ij} )_{m×n},B=(b_{ij} )_{p×q},

若$m=p,n=q$,则称$A$、$B$为同型矩阵

定义4 矩阵的相等

同型矩阵A、B有

a_{ij}=b_{ij}，

则称矩阵$A$和$B$相等，记为$A=B$

矩阵的运算

定义5 矩阵的加法

$A$、$B$为两个$m×n$的同型矩阵，则矩阵

C=(c_{ij} )_{m×n}，

其中

c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

称为A与B的和矩阵，简称和，记为$C=A+B$

加法规律

交换律

A+B=B+A

结合律

A+(B+C)=(A+B)+C

定义6 矩阵的数乘

$∀数k，矩阵A=(a_{ij} )_{m×n} $，定义矩阵A数乘k为

kA=Ak=(ka_{ij} )_{m×n}

数乘规律

分配律

k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+kB

结合律

		(kl)A=k(lA)

定义6.1 负矩阵

矩阵$A=(a_{ij} )_{m×n}$ 数乘$(−1)$所得的矩阵$−1A=(−a_{ij} )_{m×n}$ 称为矩阵A的负矩阵，记作$-A$

定义6.2 矩阵的减法

设$A$、$B$为两个同型矩阵，则定义矩阵$A$减矩阵$B$为矩阵$A$加上矩阵$B$的负矩阵，记作$A−B$，即$A−B=A+(−B)$

定义7 矩阵的乘法

可乘性条件

$A=(a_{ij} )_{m×n},B=(b_{ij} )_{p×q}$,若$n=p$则称$A$、$B$满足可乘性条件，简称$A$、$B$可乘

矩阵的乘法

设A=(a_ij )(m×p)，B=(b_ij )(q×n) 满足可乘性条件，则C=(c_ij )(m×n)，其中
c_ij= ∑(k=1)^s▒〖a_ik b_kj 〗
称为A乘以B的乘积矩阵，简称乘积，记作：C=A×B=AB
矩阵乘法满足如下规律：
以下都各矩阵都满足可乘性条件
a. 结合律
i. (AB)C=(ABC)
ii. (kA)B=A(kB)=K(AB)
b. 分配律
i. A(B+C)=AB+AC
ii. (A+B)C=AC+BC
c. AE=EA=A
d. AO=OA=O
e. 同阶方阵可乘
f. A与自身可乘⇔A是方阵
g. 对角矩阵的乘法规律
Λ_m=diag(λ_i ),Μ_m=diag(μ_i )
则ΛΜ=ΜΛ=diag(λ_i μ_i )
3. 若AB=BA，则称A、B是可交换的；并不是所有的A与B都是可交换的
4. 由于矩阵乘法不总满足交换律，所以我们对于A×B可以说矩阵A左乘矩阵B或者矩阵B右乘矩阵A
5. 对于方阵A，定义A^2=A1 A^1，Ak=A^(k−1) A，A^k 称为矩阵A的k次幂或矩阵Ak次方
特别地，当k=2时，称作矩阵A的平方；当k=3时，称作矩阵A的立方
定义1.1.6（矩阵转置）
1. A=(a_ij )的转置矩阵是(a_ji )，记作A^T
矩阵的转置满足如下规律
a. (A^T )^T=A
b. (A+B)^T=AT+B^T
c. (kA)^T=kAT
d. (AB)^T=BT A^T
e. A^T A=O⇔A=O
2. 若A^T=A则称A为对称矩阵
推论：
a. 对称阵一定是方阵
b. 矩阵A与其转置矩阵的乘积AA^T 为对称阵
3. 若A^T=−A，则称A为反称矩阵
推论：
a. 反称阵一定是方阵
b. 任何方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反称矩阵之和
b. (A+B)^T=AT+B^T
c. (kA)^T=kAT
d. (AB)^T=BT A^T
e. A^T A=O⇔A=O
2. 若A^T=A则称A为对称矩阵
推论：
a. 对称阵一定是方阵
b. 矩阵A与其转置矩阵的乘积AA^T 为对称阵
3. 若A^T=−A，则称A为反称矩阵
推论：
a. 反称阵一定是方阵
b. 任何方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反称矩阵之和