No.01统计学之数据的描述性统计

数据的描述性统计主要包括以下几部分：

1. 数据的集中趋势：
   • 众数、中位数、平均数、分位数
   • 算术平均数、加权平均数、几何平均数
2. 数据的离中趋势：
   • 数值型数据：方差、标准差、极差、平均差
   • 顺序数据：四分位差
   • 分类数据：异众比率
3. 相对离散程度：
   • 离散系数
4. 分布的形状：偏态系数，峰态系数

一、数据的集中趋势

• 众数
  众数(Mode)描述一组数据的集中趋势，是一组数据中出现次数最多的那个数。注意：众数可以没有也可以有多个。
• 中位数
  中位数(Median)代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其通过其数值集合划分为相等的上下两部分。
  假设一组数据排序后为X1，X2,X3…Xn
  如果n为偶数，则中位数为(X(n/2)+X(n/2+1))/2 ，如果n为奇数，则中位数为X(N+1)/2
• 平均数
  平均数(average)代表一组数据的平均水平，其值为所有的数据之和除于个数，即(N1+N2+…+Nn)/n
• 分位数
  分位数(Quantile)也指分位点，是指一个随机变量的概率分布范围内分为的几个数值点，常用的有二分位数(中位数)，四分位数，百分位数。
  四分位数是统计学分位数中的一种，既把一组数值从小到大排序并分成四等份，位于三个分割点的值就是四分位数。
  第一四分位数Q1,又称较小四分位数，等于样本排序后的第25%的数字。其值为(n+1)/4
  第二四分位数Q2，又称中位数，等于样本排序后的第50%的数字。其值为2(n+1)/4
  第三四分位数Q3，又称较大四分位数，等于样本第75%的数字。其值为3(n+1)/4
  eg：12 23 34 45 56 67 78 89
  Q1为第(8+1)/4个数字，其值为23+(34-23)*0.25=25.75
  Q2为第2(8+1)/4个数字，其值为45+(56-45)*0.5=50.5
  Q3为第3(8+1)/4个数字，其值为67+(78-67)*0.75=75.25
• 算术平均值
  算术平均值(arithmetic mean)也叫平均值，为所有数值之和除于个数。
• 加权平均值
  加权平均值(weight mean)即个数值乘以权重后的数值之和除于个数的值。
  eg：语文100 数学120 英语100
  各权重为0.3 0.4 0.3
  最后加权平均值为（1000.3+1200.4+100*0.3)/3=36
• 几何平均数
  几何平均数(Geometric Mean)即每个每个变量值的连乘积开项数次方根。

二、数据的离中趋势

• 方差
  方差(variance)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数
• 标准差
  标准差(Standard Deviation)是方差的算术平方根。
• 极差
  极差(Range)又称为范围误差或者全距，其值为最大值减最小值。
• 平均差
  平均差（Mean Deviation）是表示各个变量值之间差异程度的数值之一。指各个变量值同平均数的离差绝对值的算术平均数。
• 四分位差
  四分位差(quartile deviation)指的是四分位的Q3与Q1的差值。其公式为Q=Q3-Q1
• 异众比率差
  异众比率指的是样本中非众数个数占样本个数的比率。计算公式为Vm0=(N-Fm0)/N

三、相对离散程度

• 离散系数
  离散系数(variation coefficient)它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标.通常使用Vs表示，其计算公式为Vs=S/X.离散系数越大，说明变量分布的离散程度越强，平均数的代表性越差；离散系数越小，说明变量分布的离散程度越弱，平均数的代表性越好。

四、分布的形状##

• 偏态系数
  偏态系数(deviation coefficient)用来衡量数据的偏斜程序。

• 峰态系数
  峰态系数用来衡量数据的扁平程度。

五、python程序代码##

import math
my_array=[12,23,45,56,78,23,45,80]
# 极差
def range(arr):
return max(arr)-min(arr);
# 平均数
def avg(arr):
return format(float(sum(arr)/len(arr)),'.2f');
# 中位数
def median(arr):
arr = sorted(arr);
if(len(arr)%2 == 0):
return (arr[int(len(arr)/2)]+arr[int((len(arr)-2)/2)])/2
return arr[int((len(arr)-1)/2)]
# 众数
def mode(arr):
dict = {}
result = []
max = 0
if arr and len(arr) > 0:
for num in arr:
if num in dict:
dict[num] += 1
else:
dict[num] = 1
d1 = sorted(dict.values(), reverse=True)
max = d1[0]
for num in dict:
count = dict.get(num, 0)
if count == max:
result.append(num)
return result
# 分位数   n=2 1/2   n=4 1/4 2/4 3/4
def quartile(arr,default_args=2):
arr=sorted(arr)
length=len(arr);
result=[];
if not default_args or (default_args == 2):
if length % 2 == 0:
return (arr[int(length/2-1)]+arr[int((length+2)/2)])/2
else:
return arr[int(length/2+1)]
else:
if length % default_args == 0:
i = default_args;
while i >1 :
result.append((arr[int(length/i -1)] + arr[int(length/i)])/2)
i -=1;
return result;
else:
i = default_args;
while i >1:
result.append(arr[int(length/i - 1)])
i -=1;
return result;
# print("数组为:",my_array)
# print("排序后为:",sorted(my_array))
# print("极差:",range(my_array))
# print("平均数:",avg(my_array))
# print("中位数:",median(my_array))
# print("众数:",mode(my_array))
# print("分位数:",quartile(my_array,3))


# 算术平均数:(n1+n2+n3)/n
def arith_mean(arr):
return format(float(sum(arr)/len(arr)),'.2f');
# 加权平均数:
def weig_aver(arr,weig):
result = 0;
i = 0;
for arr_list in arr:
result += arr_list*weig[i];
i += 1;
return result;
# 几何平均数:
def gen_mean(arr):
sum = 1;
for i in arr:
sum += sum * i;
return format(float(pow(sum,1/len(arr))),'.2f')
print("算术平均数为:",arith_mean(my_array))
print("几何平均数为:",gen_mean(my_array))
array=[80,90,100]
weight=[0.3,0.4,0.3]
print("加权平均数为:",weig_aver(array,weight));

# 方差
def variance(arr):
 avg_arr = avg(arr);
 sum = 0;
 for num in arr:
  sum += math.pow(float(num) - float(avg_arr),2)
 return format(float(sum/len(arr)),'.2f');

# 标准差
def standard_deviation(arr):
return format(float(math.pow(float(variance(arr)),1/2)),'.2f');

# 平均差
def average_deviation(arr):
airth_mean = arith_mean(arr);
sum = 0;
for num in arr:
if((float(num) - float(airth_mean)) > 0):
sum += (float(num) - float(airth_mean))
else:
sum += (float(airth_mean) - float(num))
return sum/len(arr)
# 四分位差
def quartile_deviation(arr):
return quartile(arr,4)[2]-quartile(arr,4)[0];

# 异众比率
def variation_ratio(arr):
count = 0;
for num in arr:
if(num not in mode(arr)):
count += 1;
return count/len(arr);
#离散系数
def coefficient_of_variation(arr):
return float(standard_deviation(arr))/float(arith_mean(arr))

print('方差为:',variance(my_array))
print('标准差为:',standard_deviation(my_array))
print('平均差为:',average_deviation(my_array))

print("四分位为:",quartile(my_array,4))
print("四分位差为:",quartile_deviation(my_array))
print("异众比率为:",variation_ratio(my_array))
print("离散系数为:",coefficient_of_variation(my_array))