数据的描述性统计

对数据的描述性统计主要是指对结构化数据的描述分析，可从三个维度进行分析：数据的集中趋势、数据的离散程度和数据的分布形态。

描述数据集中趋势的指标有：众数、中位数、平均数（包含算数平均数、加权平均数、集合平均数）和分位数。

描述数据的离散程度的指标有：方差、标准差、极差和平均差（数值型数据）；四分位差（顺序数据）；异众比率（分类数据）；离散系数 （相对离散程度）。

描述数据分布形态的指标：偏态系数和峰态系数。

1.数据的集中趋势描述指标
算术平均数
简单算数平均数：即所有数值相加除以数值个数，
公式：
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$xˉ=nx1​+x2​+⋯+xn​​

加权算数平均数：当每个数值的重要程度不同时，为了测算平均水平就要给不同数值赋予不同的权重。所有数据的权重都为1的加权算数平均数就是简单算术平均数。
公式：
$\bar{x}=\frac{x_1+2x_2+\cdots+nx_n}{1+2+\cdots+n}$xˉ=1+2+⋯+nx1​+2x2​+⋯+nxn​​

算术平均数的优点：受样本数据波动的影响较小，具有一定的稳定性；缺点是易受极大值或极小值的影响。

用python3实现的代码：
对于Numpy包里的多维数组ndarray，利用data.mean()或者np.mean(data)

#创建一个服从正态分布的多维数组
import numpy as np
data=np.random.randn(5,4)
#求平均值
data.mean()
np.mean(data)

#求加权算数平均数
import numpy as np
a=[6,7,8]
np.average(a,weights=[1,2,3])

对于常用的Pandas包，常用的数据结构是Series(一组数据+索引）和DdtaFrame（表格型数据结构，行索引+列索引）
求均值可以用mean(）或者describe()

import pandas as pd
import numpy as np
df=np.DataFrame(np.random.randn(4,3),index=['a','b','c','d'],columns=['one','two','three'])
df.describe()
df.mean()
df.mean(axis=0)#跨行即每列的平均值， 与df.mean()结果一致
df.mean(axis=1)#跨列即每行的平均值

几何平均数
当数据之间的关系是乘除关系时，用几何平均数来表示数据集合的集中趋势。
公式：
$\bar{x_j}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$xj​ˉ​=nx1​x2​⋯xn​​

众数
即数据集合中出现次数最多的数值（众数可以是0/1或多个）
用python3求众数：利用scipy下的stats模块

from scipy import stats
a=[0,1,1,2,2,2,3,4,5,6]
stata.mode(a)[0][0]

中位数
将集合中所有的数值按照从低到高进行排序，处于最中间的一个数就是中位数，若中间有两个数则中位数为这两个数的算术平均值。
中位数跟算术平均数相比较的话，中位数不受极端值的影响。
python3中可用describe()来查看第二四分位数即中位数。

分位数
四分位数，即把所有数值按由小到大排序分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。
也可以利用describe()来查看三个四分位数。

2.数据的离散程度描述指标
用离散程度指标来衡量数据集合的波动情况

数值型数据：方差、标准差、极差、平均差

极差
数据集合中最大值与最小值的差，亦成为全距。极差易受极值的影响，对离散程度的描述不精确。

平均偏差
描述了所有数值与平均值的平均偏差距离
公式:
$R_a=\frac{\sum_{i=1}^n\mid{x_i-\bar{x}\mid}}{n}$Ra​=n∑i=1n​∣xi​−xˉ∣​

方差和标准差
一般情况下会用样本方差来估计总体方差
总体方差为:
$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}$σ2=N∑i=1N​(xi​−μ)2​

样本方差为：
$s^2=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$s2=n−1∑i=1n​(xi​−xˉ)2​

标准差就是方差的正值平方根；方差/标准差越大，数据的离中趋势越大。

离散系数（变异系数）
离散系数是一种相对离散程度的衡量，当两个数据集合的算数平均值不同，但方差和标准差相等时，可以用离散系数来衡量数据集合的离散程度。
样本的离散系数：
$V_s=\frac{s}{\bar{x}}$Vs​=xˉs​

顺序数据：四分位差
第三四分位数与第一四分位数的差值，第二四分位数就是中位数，（要对数据按照从低到高进行排序，排在四分之一位置的数值就是第一四分位数，排在四分之二位置即第二四分位数，排在四分之三位置就是第三四分位数），这个差值区间包含了整个数据集合50%的数据。

分类数据：异众比率
指的是总体中非众数次数与总体全部次数之比，也即非众数组的频数占总频数的比例。主要用于测度分类数据的离散程度。

3.数据分布形态
偏态系数
偏态系数用来判断数据集合的分布形态是否对称，当偏态系数等于0时，对称分布；偏态系数小于0时，左偏分布，长尾拖在左边；偏态系数大于0时，右偏分布，长尾拖在右边。

峰态系数
用来描述单峰分布曲线的峰度高低和陡峭程度的指标，峰态系数和单峰分布形态之间的关系为:
当峰态系数等于3时，代表分布曲线是偏平程度适中的常峰态（正态分布的峰形就是常峰态）；
当峰态系数小于3时，分布曲线是低峰态；
当峰态系数大于3时，分布曲线是尖峰态。