数学——Euler方法求解微分方程详解（python3）

算法的数学描述图解

实例

用euler算法求解初值问题
\[ \frac{dy}{dx}=y+\frac{2x}{y^2}\]
初始条件\(y(0)=1\)，自变量的取值范围\(x \in [0, 2]\)

算法python3代码求解

# 导入包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义求解函数 y_dot = y + 2*x/(y*y)
def fx(y, x):
    return y + 2*x/(y*y)
# 算法定义
def ode_euler(f, y0, tf, h):
    """
    solve and ode using euler method.
    solve the ode y_dot = f(y, t)
    parameters
    ------------
    :param f: function
            function describing the ode
    :param y0: array_like
            initial conditions.
    :param tf: float
            final time.
    :param h: float
            time step
    :return:
    y : array_like
        solution to the ode.
    t : array_like
        time vector.
    """

    y0 = np.array(y0)
    ts = np.arange(0, tf + h, h)
    y = np.empty((ts.size, y0.size))
    y[0, :] = y0
    for t, i in zip(ts[1:], range(ts.size - 1)):
        y[i + 1, :] = y[i, :] + h * f(y[i, :], t)
    return y, ts
# 实例应用案例
def newton_cooling_example():
    print('solving newton cooling ode...')
    y, ts = ode_euler(fx, 1, 2, 0.01)
    print('done.')
    plt.figure()
    plt.plot(ts, y)
    plt.xlabel('time [s]')
    plt.title('solution to the newton cooling equation')
    plt.show()

代码中的部分函数理解

numpy.array

numpy.array(object, dtype=none, copy=true, order='k', subok=false, ndmin=0)

output：创建一个array，返回类型为ndarray
实例

np.array([1, 2, 3.0]) # array([1., 2., 3.])
np.array([[1, 2], [3, 4]]) # array([[1, 2], [3, 4]])
np.array([1, 2, 3], dtype=complex) # array([1.+0.j, 2.+0.j, 3.+0.j])

numpy.arange

numpy.arange([start, ]stop, [step, ]dtype=none)
作用：在给定间隔内返回均匀间隔的值。
值在半开区间[start, stop)内生成（换句话说，包括开始但不包括终止）。返回的是ndarray而不是列表。
np.arange()函数返回一个有终点和起点的固定步长的排列，如[1,2,3,4,5]，起点是1，终点是5，步长为1。
参数个数情况： np.arange()函数分为一个参数，两个参数，三个参数三种情况 ：

1. 一个参数时，参数值为终点，起点取默认值0，步长取默认值1。 
2. 两个参数时，第一个参数为起点，第二个参数为终点，步长取默认值1。 
3. 三个参数时，第一个参数为起点，第二个参数为终点，第三个参数为步长。其中步长支持小数。

案例

np.arange(3,7) # array([3, 4, 5, 6])
np.arange(3,7,2) # array([3, 5])

numpy.ma.size

numpy.ma.size(obj, axis=none)

案例

a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
np.size(a) # 6
np.size(a,1) # 3
np.size(a,0) # 2

numpy.empty

numpy.empty(shape, dtype=float, order='c')
shape : int or tuple of int shape of the empty array, e.g., (2, 3) or 2.
out : ndarray
案例

np.empty([2, 2])
# 结果
array([[ -9.74499359e+001, 6.69583040e-309],
       [ 2.13182611e-314, 3.06959433e-309]]) #random
np.empty([2, 2], dtype=int)
# 结果
array([[-1073741821, -1067949133],
       [ 496041986, 19249760]]) #random