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视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

程序员文章站 2022-04-16 17:21:22
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本文为视觉 SLAM 学习笔记,讲解视觉里程计中的特征点法。欢迎交流 ????

特征点法

经典 SLAM 模型中以位姿——路标(Landmark)来描述 SLAM 过程。我们在经典 SLAM 系统中说的运动方程是位姿与位姿之间的关系,而观测方程说的是位姿与路标的关系。

路标是三维空间中固定不变的点,且需满足以下的特点:

  • 数量充足,以实现良好的定位
  • 较好的区分性,以实现数据关联

在视觉 SLAM 中,·通常利用图像特征点作为 SLAM 中的路标,称为特征法。

特征点

特征点是图像中比较有代表性的部分,例如下图中的角点、边缘、区块:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

好的特征点需要满足以下几个特点:

  • 可重复性:在不同地方观察同一特征点,相差不应该过大
  • 可区分性:不同特征点应该易于辨别
  • 高效:特征点的提取和匹配效率要高
  • 本地:特征只与图像局部性质有关

我们很容易看出,区分性排序为:角点>边缘>区块。因此在视觉 SLAM 中,我们通常使用角点作为特征点,边缘在某些情况下会用到,区块一般不用。

特征点的信息

特征点自己的信息有位置、大小、方向、评分等,称为关键点。

我们一般不通过特征点本身来区分特征点,而是通过点周围的图像来区分,因为同一特征点可能因为光照等因素的变化亮度差很大,误被识别为不同特征点。特征点周围的图像信息被称为描述子。描述子随着相机角度或光照的变化而变化不大。

当我们要找到表现好的描述子,其计算量会变大。SIFT 具有平移、缩放和旋转的不变性,性能高但计算量很大。比如 ORB 描述子为简单描述子,只有平移或缩放(尺度)不变性,性能不高但计算量小,可以满足实时性。目前 ORB 描述子在 SLAM 中是一种很好的描述。

如果你对各种关键点和描述子感兴趣,建议参考 OpenCV features2d 模块。

ORB 特征

因为 ORB 是 SLAM 中较为成功的一种描述,我们以它为代表介绍特征。SIFT 的相关资料已经有很多介绍,可自行查阅。

ORB 的关键点是一个 Oriented FAST,即带旋转的 FAST ,其描述也是带旋转的 BRIEF。FAST 和 BRIEF 都是在特征描述中属于较为简单实时性好,但精度不好的方式,SLAM 中图像位移不大时也是可以匹配到的。

FAST 是一种关键点。其思想为:以一个点为中心,周围取像素,如果连续有 n 个点的灰度值与中心点相差一个阈值以上,我们就认为该点为关键点。这种方式计算量很小,只是比大小,因此提取 FAST 点速度很快,还可以使用一些加速手段。如取中心点周围 10 个点进行比较,则称为 FAST10。但是这样提取到 FAST 点太多,我们还需要网格等计算评分来筛选出好的特征点,然后特征点就可以使用了。

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

但是这样提出的 FAST 只是一个位置,我们还需要计算一个 FAST 旋转。旋转相当于图像的重心,如果左边为暗右边为亮则指向右边,最后计算得到的是图像梯度指向的角度。旋转的计算过程如下:

  1. 在一个小的图像块 BB 中,定义图像块的矩为:

    mpq=x,yBxpyqI(x,y),p,q={0,1} m_{pq}=\sum\limits_{x,y∈B}x^py^qI(x,y),\quad p,q=\{0,1\}

  2. 通过矩可以找到图像块的质心:
    C=(m10m00,m01m00) C=(\frac{m_{10}}{m_{00}},\frac{m_{01}}{m_{00}})

  3. 连接图像块的几何中心 OO 与质心 CC,得到一个方向向量 OC\vec{OC},于是特征点的方向可以定义为:
    θ=arctan(m01/m10) \theta=arctan(m_{01}/m_{10})

FAST 只有平移不变性和旋转不变性,但没有尺度(缩放)不变性。尺度不变性为:当从远处和近处看向 FAST 是否还是角点,或者分辨率不同的情况下 FAST 角点还是不是角点。解决这个问题,我们一般会将图像做一个图像金字塔。最底层为图像最原始的分辨率,上面几层为原始图像缩小后的图像,最终构成一个分辨率不同大小的图像为金字塔。我们可以给每层提取一个 FAST,这样就获得了各种尺度下的 FAST 特征,我们可认为其具有一定程度上的尺度不变性。

BRIEF

BRIEF 是一种二进制的描述子,如 BRIEF-128 为 128 位,每一位表示附近每个点对 A、B 的大小关系,使用汉明距离进行计算。BRIEF 描述了附近图像的信息,可作为 FAST 点的描述。A、B 点对的选取可随机均匀分布、满足高斯分布或满足特定 pattern。已有文献对不同的选取方式进行了测试,结果相差不大,我们可以随机选取。在选定某种固定的 pattern 后不能再变,否则失去了比较的意义。

在计算描述的时候,需要先将图像按照 FAST 中计算的角度进行旋转,再去进行比较,称为旋转后的 BRIEF。下图为 ORB-SLAM 的 pattern:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

特征匹配

我们已经有了两张图的 ORB 特征点,现在需要通过判断描述子的差异来判断哪些特征为同一个点。最简单的特征匹配方法为暴力匹配,即 A 中一特征点与 B 中所有特征点之间计算差异,哪个差异最小就匹配哪个,虽然速度较慢,但也可取。还可以用快速最近邻(FLANN)来加速,其过程较为复杂,这里不进行介绍,如果感兴趣可自行百度。

实践:特征提取和匹配

OpenCV 的安装见 Ubuntu 安装 OpenCV

首先读取两张图像,在这两张图像间进行特征匹配:

if ( argc != 3 )
{
    cout<<"usage: feature_extraction img1 img2"<<endl;
    return 1;
}
//-- 读取图像
Mat img_1 = imread ( argv[1], CV_LOAD_IMAGE_COLOR );
Mat img_2 = imread ( argv[2], CV_LOAD_IMAGE_COLOR );

然后申请关键点、描述子和匹配:

//-- 初始化
std::vector<KeyPoint> keypoints_1, keypoints_2;
Mat descriptors_1, descriptors_2;
Ptr<FeatureDetector> detector = ORB::create(); // 在这里可以设置提取特征点的数量
Ptr<DescriptorExtractor> descriptor = ORB::create();
// 不能使用欧氏距离,要声明汉明距离
Ptr<DescriptorMatcher> matcher  = DescriptorMatcher::create ( "BruteForce-Hamming" );

第一步:检测 Oriented FAST 角点位置

detector->detect ( img_1,keypoints_1 );
detector->detect ( img_2,keypoints_2 );

第二步:根据角点位置计算 BRIEF 描述子

descriptor->compute ( img_1, keypoints_1, descriptors_1 );
descriptor->compute ( img_2, keypoints_2, descriptors_2 );
Mat outimg1;
// 画出提取的特征
drawKeypoints( img_1, keypoints_1, outimg1, Scalar::all(-1), DrawMatchesFlags::DEFAULT );
imshow("ORB特征点",outimg1);

第三步:对两幅图像中的 BRIEF 描述子进行匹配,使用 Hamming 距离

vector<DMatch> matches;
//BFMatcher matcher ( NORM_HAMMING );
matcher->match ( descriptors_1, descriptors_2, matches );

第四步:匹配点对筛选。因为使用了暴力匹配,第一个图中的每个点不一定都在第二张图中有匹配,因此存在很多误匹配的点,要进行筛选。

double min_dist=10000, max_dist=0;

//找出所有匹配之间的最小距离和最大距离, 即是最相似的和最不相似的两组点之间的距离
for ( int i = 0; i < descriptors_1.rows; i++ )
{
    double dist = matches[i].distance;
    if ( dist < min_dist ) min_dist = dist;
    if ( dist > max_dist ) max_dist = dist;
}

// 仅供娱乐的写法
min_dist = min_element( matches.begin(), matches.end(), [](const DMatch& m1, const DMatch& m2) {return m1.distance<m2.distance;} )->distance;
max_dist = max_element( matches.begin(), matches.end(), [](const DMatch& m1, const DMatch& m2) {return m1.distance<m2.distance;} )->distance;

printf ( "-- Max dist : %f \n", max_dist );
printf ( "-- Min dist : %f \n", min_dist );

//当描述子之间的距离大于两倍的最小距离时,即认为匹配有误.但有时候最小距离会非常小,设置一个经验值30作为下限.
std::vector< DMatch > good_matches;
for ( int i = 0; i < descriptors_1.rows; i++ )
{
    if ( matches[i].distance <= max ( 2*min_dist, 30.0 ) )
    {
        good_matches.push_back ( matches[i] );
    }
}

第五步:绘制匹配结果

Mat img_match;
Mat img_goodmatch;
drawMatches ( img_1, keypoints_1, img_2, keypoints_2, matches, img_match );
drawMatches ( img_1, keypoints_1, img_2, keypoints_2, good_matches, img_goodmatch );
imshow ( "所有匹配点对", img_match );
imshow ( "优化后匹配点对", img_goodmatch );
waitKey(0);

如果此时发生报错:

pose_estimation_3d2d.cpp:151:50: error: no matching function for call to ‘g2o::BlockSolver<g2o::BlockSolverTraits<6, 3> >::BlockSolver(g2o::BlockSolver<g2o::BlockSolverTraits<6, 3> >::LinearSolverType*&)’
     Block* solver_ptr = new Block ( linearSolver );     // 矩阵块求解器
                                                  ^
In file included from /usr/local/include/g2o/core/block_solver.h:199:0,
                 from /home/xin/Slam/slambook/slambook-master/ch7/pose_estimation_3d2d.cpp:10:

出现这种错误的原因是 g2o 的新旧版本间指针类型不匹配。我们需要进行修改。

在 pose_estimation_3d2d.cpp 中,第 151-152 行,修改前代码如下:

Block* solver_ptr = new Block ( linearSolver );     // 矩阵块求解器
g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg ( solver_ptr );

修改后代码(修改的是 151-152 行):

Block* solver_ptr = new Block ( std::unique_ptr<Block::LinearSolverType>(linearSolver) );     // 矩阵块求解器
g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg ( std::unique_ptr<Block>(solver_ptr) );

在 pose_estimation_3d3d.cpp 中,第 279-280 行,修改前代码如下:

Block* solver_ptr = new Block( linearSolver );      // 矩阵块求解器
g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( solver_ptr );

修改后代码:

Block* solver_ptr = new Block( std::unique_ptr<Block::LinearSolverType>(linearSolver) ); // 矩阵块求解器
g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( std::unique_ptr<Block>(solver_ptr) );

最后在 1.png, 2.png 下执行:

./build/feature_extraction 1.png 2.png

提取的特征点如下图,可见特征点都集中在灰度变化明显的地方:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

暴力匹配得到的匹配结果,存在大量误匹配:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

经过筛选之后,剩下的匹配大多都是正确的匹配:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

特征点匹配后,得到了特征点之间的关系:

  • 若只有两个单目图像,得到 2D-2D 间的关系——对极约束
  • 若匹配的是帧和地图,得到 3D-2D 间的关系——PnP
  • 若匹配的是 RGB-D 图,得到 3D-3D 间的关系——ICP

2D-2D:对极几何

对极约束

现在,我们以及找到了很对匹配的点,下面为其中的一个点对:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

几何关系:

  • 两个相机中心分别为 O1,O2O_1,O_2PP 在两个图像的投影为 p1,p2p_1,p_2,连线 O1p1,O2p2\vec{O_1p_1},\vec{O_2p_2} 在三维空间中相交于点 PP,为路标点

  • l1l_1O2p2\vec{O_2p_2} 在平面 I1I_1 的投影,称为极线,e1,e2e_1,e_2 称为极点

  • 两个相机之间的变换为 T12T_{12}

实践中:

  • p1,p2p_1,p_2 通过特征匹配得到,PP 未知,e1,e2e_1,e_2 未知,T12T_{12} 待求。
  • 这是一个通过匹配点建图和求解位姿的问题,是经典的 SLAM 问题

我们设世界坐标为 P=[X,Y,Z]TP=[X,Y,Z]^T。由相机模型,两个像素点 p1,p2p_1,p_2 的像素位置为:
s1p1=KP,s2p2=K(RP+t) s_1p_1=KP, \quad s_2p_2=K(RP+t)
使用归一化坐标(去掉内参):
x1=K1p1,x2=K1p2 x_1=K^{-1}p_1, \quad x_2=K^{-1}p_2
x1,x2x_1,x_2 是两个像素点的归一化平面上的坐标,带入上式得齐次关系:
x2=Rx1+t x_2=Rx_1+t
两侧左乘 t^\hat t,相当于两边同时与 tt 叉乘:
t^x2=t^Rx1 \hat t x_2=\hat t Rx_1
两边左乘 x2Tx_2^T
x2Tt^x2=x2Tt^Rx1 x_2^T\hat t x_2=x_2^T\hat t Rx_1
因为 t^x2\hat t x_2 是一个与 ttx2x_2 都垂直的向量,与 x2x_2 做内积时为 0:
x2Tt^Rx1=0 x_2^T\hat t Rx_1=0
重新代入 p1,p2p_1,p_2
p2TKTt^RK1p1=0 p_2^TK^{-T}\hat tRK^{-1}p_1=0
上面两个式子为对极约束

设本质矩阵 E=t^RE=\hat tR,基础矩阵 F=KTEK1F=K^{-T}EK^{-1},上式化简为:
x2TEx1=p2TFp1=0 x_2^TEx_1=p_2^TFp_1=0
在 SLAM 中内参 KK 已知,可以使用 EE

尺度不确定性

在前面 x2Tt^Rx1=0x_2^T\hat t Rx_1=0 中,给 RR 数乘后等式仍成立,则 E=t^RE=\hat tR 有多解,为尺度不确定性。

位姿估计的步骤

  1. 根据匹配点对的像素位置求出 EE
  2. EE 恢复 R,tR,t

对极约束性质:

  • 乘任意非零常数,对极约束仍满足,EE 在不同尺度下等价
  • 平移和旋转共 3 个*度,t^R\hat tR 共 6 个*度,由于尺度不变性会丢失一个*度,故 EE 只有 5 个*度。但 EE 的非线性性质会使 5 对点求解困难
  • EE 当作普通矩阵用 8 点法估计 EE,只利用了 EE 的线性性质。

本质矩阵——八点法求 EE

考虑一对匹配点的对极约束:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

EE 展开为向量形式:
e=[e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9]T \vec{e}=[e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9]^T
对极约束可以写为线性形式:
[u1u1,u1v2,u1,v1u2,v1v2,v1,u2,v2,1]e=0 [u_1u_1,u_1v_2,u_1,v_1u_2,v_1v_2,v_1,u_2,v_2,1]·\vec{e}=0
将 8 对点放入方程中,得到线性方程组:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

ax=0ax=0,解出 xx 得到 EE 即可。方程的解是欠定的,keke 也是方程的解。这与 ee 的尺度等价性是一致的。

EE 计算 R,tR,t:奇异值(SVD)分解:
E=UΣVT E=U\Sigma V^T

t1^=URZ(π2)ΣUT,R1=URZT(π2)VT \hat{t_1}=UR_Z(\frac{\pi}{2})\Sigma U^T, \quad R_1=UR_Z^T(\frac{\pi}{2})V^T

t2^=URZ(π2ΣUT),R2=URZT(π2)VT \hat{t_2}=UR_Z(-\frac{\pi}{2}\Sigma U^T), \quad R_2=UR_Z^T(-\frac{\pi}{2})V^T

得到四组解:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

将验证点带入解中,只有 1 个为正,即为正确解。

讨论八点法

  1. 用于单目初始化。相机运动过程中地图为 3D 的,可以使用 PnP 求解,因此八点法只在初始化时使用
  2. 尺度不确定性:将轨迹和地图缩放任意倍,得到观测值相同。因此在实际中,我们将 tt 归一化或将特征点的平均深度设为 1。即要么限制运动,要么限制结构,否则会任意倍的放缩
  3. 纯旋转时,即 t=0t=0 时,E=0E=0 无法分解
  4. 因为两张图有很多特征点,当多于 8 对时,我们计算最小二乘法或 RANSAC(后面会详细讲解)。

单应矩阵

从单应矩阵恢复 R,tR,t 时,八点法在特征点共面时会退化。设特征点位于某平面上:nTP+d=0n^TP+d=0nTPd=1-\frac{n^TP}{d}=1。则两个图像特征点的坐标关系为:
p2=K(RP+t)==K(RtnTd)K1p1 p_2=K(RP+t)=…=K(R-\frac{tn^T}{d})K^{-1}p_1
我们得到了直接描述图像坐标 p1p_1p2p_2 间的变换。将中间的部分记为 HH
p2=Hp1 p_2=Hp_1
展开后有:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

写成关于 HH 的线性方程:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

类似八点法,先计算 HH,再用 HH 恢复 R,t,n,d,KR,t,n,d,K

小结

在 2D-2D 情况下,只知道图像坐标之间的对应关系。

  • 当特征点在平面上时(例如俯视和仰视),使用 HH 恢复 R,tR,t
  • 否则使用 EEFF 恢复 R,tR,t

求得 R,tR,t 后,利用三角化计算特征点的 3D 位置,即深度。

实践:对极约束求解相机运动

首先是特征点匹配封装为一个函数,具体内容与前面实践相同:

void find_feature_matches (
    const Mat& img_1, const Mat& img_2,
    std::vector<KeyPoint>& keypoints_1,
    std::vector<KeyPoint>& keypoints_2,
    std::vector< DMatch >& matches );

然后计算基础矩阵、本质矩阵和单应矩阵,并恢复相机位姿 R21,t21R_{21},t_{21}

//-- 计算基础矩阵
Mat fundamental_matrix;
fundamental_matrix = findFundamentalMat ( points1, points2, CV_FM_8POINT );
cout<<"fundamental_matrix is "<<endl<< fundamental_matrix<<endl;

//-- 计算本质矩阵
Point2d principal_point ( 325.1, 249.7 );	//相机光心, TUM dataset标定值
double focal_length = 521;			//相机焦距, TUM dataset标定值
Mat essential_matrix;
essential_matrix = findEssentialMat ( points1, points2, focal_length, principal_point );
cout<<"essential_matrix is "<<endl<< essential_matrix<<endl;

//-- 计算单应矩阵
Mat homography_matrix;
homography_matrix = findHomography ( points1, points2, RANSAC, 3 );
cout<<"homography_matrix is "<<endl<<homography_matrix<<endl;

//-- 从本质矩阵中恢复旋转和平移信息.
recoverPose ( essential_matrix, points1, points2, R, t, focal_length, principal_point );
cout<<"R is "<<endl<<R<<endl;
cout<<"t is "<<endl<<t<<endl;

然后还可以对其进行验证,验证对极约束是否近似为 0:

Mat K = ( Mat_<double> ( 3,3 ) << 520.9, 0, 325.1, 0, 521.0, 249.7, 0, 0, 1 );
for ( DMatch m: matches )
{
    Point2d pt1 = pixel2cam ( keypoints_1[ m.queryIdx ].pt, K );
    Mat y1 = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << pt1.x, pt1.y, 1 );
    Point2d pt2 = pixel2cam ( keypoints_2[ m.trainIdx ].pt, K );
    Mat y2 = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << pt2.x, pt2.y, 1 );
    Mat d = y2.t() * t_x * R * y1;
    cout << "epipolar constraint = " << d << endl;
}

得到的矩阵输出结果如下,其中 EEt^R\hat tR 只差一个倍数:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

验证对极约束,因为误差的存在,得到的结果近似为 0:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

OpenCV 中仅使用了 EE 来求解 R,tR,t,关于如何使用 HH 求解位姿没有直接提供,可以参考 ORB-SLAM 和 SVO。

三角测量

前面已经求解出了运动,现在要根据运动求解特征点的 3D 位置。几何关系为:
s1x1=s2Rx2+t s_1x_1=s_2Rx_2+t
s2s_2 时,两侧乘 x1^\hat{x_1}
s1x1^x1=0=s2x1^Rx2+x1^t s_1\hat{x_1}x_1=0=s_2\hat{x_1}Rx_2+\hat{x_1}t
反之亦然。

或者同时解 s1,s2s_1,s_2,求 [Rx2,x1][s1s2]=t[-Rx_2,x_1]\left[ \begin{matrix} s_1 \\ s_2 \end{matrix} \right]=t 的最小二乘解:
x=(ATA)1ATb x=(A^TA)^{-1}A^Tb
系数矩阵的伪逆不可靠,ATAA^TA 行列式近似 0。

解得深度的质量与平移相关,但平移大时特征匹配可能不成功。相机前进时虽然有位移,但位于图像中心的点无法三角化(没有视差)。

实践:三角测量

直接调用 OpenCV 中的接口,传入 2D 位姿,得到齐次坐标:

Mat pts_4d;
cv::triangulatePoints( T1, T2, pts_1, pts_2, pts_4d );

3D-2D:PnP

已知 3D 点的空间位置(世界坐标)和相机上的投影点,求解相机的旋转和平移(外参)。有两种方法:

  • 代数:构造线性方程问题,用线性代数方法求解。不鲁棒。方法有 DLT、P3P 等。
  • 优化:构建优化问题,通常定义误差,最小化误差。有初始值时通常选择优化方法。方法有 Bundle Adjustment

直接线性变换(DLT)

设空间点 P=(X,Y,Z)TP=(X,Y,Z)^T,其投影点位 x=(u,v,1)x=(u,v,1),用归一化坐标表示。投影关系为 sx=[Rt]psx=[R|t]p,这里 [Rt][R|t] 为增广矩阵,展开后有:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

其中 x,px,p 已知。将其看成关于 tt 的线性方程,求解 tt。注意最下面的一行:
s=[t9,t10,t11,t12][X,Y,Z,1]T s=[t_9,t_{10},t_{11},t_{12}][X,Y,Z,1]^T
用它消去前两行的 ss,则一对特征点可以提供 2 个方程:
t1TPt3TPu1=0,t2TPt3TPv1=0 t_1^TP-t_3^TPu_1=0, \quad t_2^TP-t_3^TPv_1=0
因此,为了求解 12 个未知数,需要 12/6=612/6=6 对点。如果超出 6 对,求解最小二乘解。

我们在 DLT 时将 R,tR,t 看作了独立的未知量,因此求解后的结果可能不满足旋转矩阵的约束,因此我们还需要使用 QR 分解将矩阵投影回 SO(3)SO(3)

P3P

利用 3 对点求相机外参。

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

对应关系:
ΔOabΔOAB,ΔObcΔOBC,ΔOacΔOAC \Delta Oab-\Delta OAB, \quad \Delta Obc-\Delta OBC, \quad \Delta Oac-\Delta OAC
由余弦定理有:
OA2+OB22OAOBcos<a,b>=AB2 OA^2+OB^2-2OA·OB·cos<a,b>=AB^2

OB2+OC22OBOCcos<b,c>=BC2 OB^2+OC^2-2OB·OC·cos<b,c>=BC^2

OA2+OC22OAOCcos<a,c>=AC2 OA^2+OC^2-2OA·OC·cos<a,c>=AC^2

对上面 3 个式子同时除以 OC2OC^2,并记 x=OA/OC,y=OB/OCx=OA/OC,y=OB/OC 得:
x2+y22xycos<a,b>=AB2/OC2 x^2+y^2-2xycos<a,b>=AB^2/OC^2

y2+12ycos<b,c>=BC2/OC2 y^2+1-2ycos<b,c>=BC^2/OC^2

x2+12xcos<a,c>=AC2/OC2 x^2+1-2xcos<a,c>=AC^2/OC^2

v=AB2/OC2,uv=BC2/OC2,wv=AC2/OC2v=AB^2/OC^2,uv=BC^2/OC^2,wv=AC^2/OC^2,有:
x2+y22xycos<a,b>v=0 x^2+y^2-2xycos<a,b>-v=0

y2+12ycos<b,c>uv=0 y^2+1-2ycos<b,c>-uv=0

x2+12xcos<a,c>wv=0 x^2+1-2xcos<a,c>-wv=0

用第一个式子代入下面两个消去 vv,得到关于 x,yx,y 的二元二次方程,用吴氏消元法解析解得:
(1u)y2ux2cos<b,c>+2uxycos<a,b>+1=0 (1-u)y^2-ux^2-cos<b,c>+2uxycos<a,b>+1=0

(1w)x2wy2cos<a,c>x+2wxycos<a,b>+1=0 (1-w)x^2-wy^2-cos<a,c>x+2wxycos<a,b>+1=0

得到 x,yx,y 后,利用:
x2+y22xycos<a,b>=v x^2+y^2-2xycos<a,b>=v
解得 vv,从而得到 OCOC 的长度,进而得到各点的距离。

但是 P3P 对三个点以上的情况难以处理,并且误匹配时算法会失效。

Bundle Adjustment

Bundle Adjustment 是一个最小重投影误差问题,下面给出两个视图间的形式。

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

p2p_2PP 的真实投影点,但因为相机位姿估计上的误差,投影点会变为 p2^\hat{p_2},因此我们需要最小化重投影的误差来优化相机位姿。

在第六讲我们讲过非线性优化,因此这里只需要定义一个最小二乘问题,并将 JJ 推导出来即可。

投影关系:
siui=Kexp(ξ^)Pi s_iu_i=K\exp(\hat{\xi})P_i
因为外参是估计的,因此等式存在误差。定义重投影误差并对其二范数的平方和取最小化:
ξ=argminξ12i=1nui1siKexp(ξ^)Pi22 \xi^*=\arg \min\limits_\xi\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n||u_i-\frac{1}{s_i}K\exp(\hat{\xi})P_i||_2^2
因为我们需要知道误差对应着的位姿,需要利用扰动模型求误差相对于位姿的导数。最后用非线性优化的知识进行求解即可,中间推导过程有些复杂,限于篇幅不做介绍。

实践:求解 PnP

首先使用前面介绍的特征匹配找到 ORB 特征,然后计算相机位姿,调用了 OpenCV 的 solvePnP 函数

// 调用OpenCV 的 PnP 求解,可选择EPNP,DLS等方法
// 给定2d和世界坐标3d点和内参,返回R、t
solvePnP ( pts_3d, pts_2d, K, Mat(), r, t, false );

也可以用 Bundle Adjustment 解决 PnP 问题,使用 g2o 优化,选好顶点和边即可。顶点为用李代数表示的相机位姿(VertexSE3Expmap),误差定义为 X,Y,ZX,Y,Z 投影到 u,vu,v 的投影误差(VertexSBAPointXYZ)。本实验中使用的是 g2o 自带的 edge,没有必要把雅可比再实现一遍。但以后在实际当中如果自己定义了 edge,就要计算导数。

EPnP 计算得到的结果:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

然后是用 Bundle Adjustment 优化得到的结果:

视觉SLAM十四讲 视觉里程计(特征点法)

一开始误差较大,随着迭代次数的增加,误差 ξ\xi 逐渐减小。优化后的位姿与优化前相差不大,但更加平滑。

3D-3D:ICP

给定匹配好的两组 3D 点,求其旋转和平移,可用迭代最近邻点(ICP)求解。

P={p1,,pn},P={p1,,pn}P=\{p_1,…,p_n\}, \quad P'=\{p_1',…,p_n'\},运动关系为 pi=Rpi+tp_i=Rp_i'+t

我们有两种方法求解这个问题。

SVD 方法

定义误差项 ei=pi(Rpi+t)e_i=p_i-(Rp_i'+t),以及最小二乘问题:
minR,tJ=12i=1n(pi(Rpi+t))22 \min\limits_{R,t}J=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n||(p_i-(Rp_i'+t))||^2_2
稍加推导,定义质心 p=1ni=1n(pi),p=1ni=1n(pi)p=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(p_i), \quad p'=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(p_i'),改写目标函数:
12i=1n(pi(Rpi+t))22=12i=1n(piRpitp+Rp+pRp)2 \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n||(p_i-(Rp_i'+t))||^2_2=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n||(p_i-Rp_i'-t-p+Rp'+p-Rp')||^2

=12i=1n(pipR(pip))+(pRpt)2 =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n||(p_i-p-R(p_i'-p'))+(p-Rp'-t)||^2

展开后:
=12i=1n(pipR(pip)2+pRpt2+2()) =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n(||p_i-p-R(p_i'-p')||^2+||p-Rp'-t||^2+2(…))
其中交叉项求和为 0。目标函数简化为:
minR,tJ=12i=1n(pipR(pip)2+pRpt2 \min\limits_{R,t}J=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n(||p_i-p-R(p_i'-p')||^2+||p-Rp'-t||^2
其中第一项只和 RR 有关,第二项和 R,tR,t 有关,我们可以最小化第一项,然后令第二项为 0 得到 tt

现在对左侧的式子(旋转)进行求解。

定义去质心坐标 qi=pip,qi=pipq_i=p_i-p, \quad q_i=p_i'-p',简化为:
R=argminR12i=1nqiRqi2 R^*=\arg\min\limits_R\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n||q_i-Rq_i'||^2
展开后:
=12i=1nqiTqi+qiTRTRqi2qiTRqi =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^nq_i^Tq_i+q_i'^TR^TRq_i'-2q_i^TRq_i'
其中第一项与 RR 无关,第二项 RTRR^TR 的结果为 II,因此只需要最小化最后一项:
i=1nqiTRqi=i=1ntr(RqiqiT)=tr(Ri=1nqiqiT) \sum\limits_{i=1}^n-q_i^TRq_i'=\sum\limits_{i=1}^n-tr(Rq_i'q_i^T)=-tr(R\sum\limits_{i=1}^nq_i'q_i^T)
利用 SVD 可以解出结果:
W=i=1nqiqiT,W=UΣVT,R=UVT W=\sum\limits_{i=1}^nq_iq_i^T, \quad W=U\Sigma V^T, \quad R=UV^T

非线性优化

已知匹配时,ICP 问题存在唯一解或无穷多解。唯一解时问题为凸问题,极小值就是全局最优解,初始值可以随意指定。非线性优化的结果与 SVD 一样,且优化很快收敛。

在激光情况下,可能未知匹配关系,我们认为距离最近的两个点为同一个,所以该方法称为迭代最近点。

由于一个像素的深度数据可能测量不到,我们可以混用 PnP 和 ICP 优化,将所有误差放在同一个问题中考虑,方便求解。

实践:求解 ICP

这里演示两种求解 ICP 的方法。

SVD 方法

只需要根据我们刚才的推导过程写出代码即可。首先计算质心:

Point3f p1, p2;
int N = pts1.size();
for ( int i=0; i<N; i++ )
{
    p1 += pts1[i];
    p2 += pts2[i];
}
p1 = Point3f( Vec3f(p1) /  N);
p2 = Point3f( Vec3f(p2) / N);

然后去质心:

vector<Point3f>     q1 ( N ), q2 ( N );
for ( int i=0; i<N; i++ )
{
    q1[i] = pts1[i] - p1;
    q2[i] = pts2[i] - p2;
}

计算 WW

// compute q1*q2^T
Eigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();
for ( int i=0; i<N; i++ ){
    W += Eigen::Vector3d ( q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z ) * Eigen::Vector3d ( q2[i].x, q2[i].y, q2[i].z ).transpose();
}
cout<<"W="<<W<<endl;

WW 进行 SVD 分解,求出 U,VU,V

Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd ( W, Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV );
Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();
Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();

if (U.determinant() * V.determinant() < 0)
    for (int x = 0; x < 3; ++x)
        U(x, 2) *= -1;
cout<<"U="<<U<<endl;
cout<<"V="<<V<<endl;

最后求解 R,tR,t,转换为 cv::Mat

Eigen::Matrix3d R_ = U* ( V.transpose() );
Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d ( p1.x, p1.y, p1.z ) - R_ * Eigen::Vector3d ( p2.x, p2.y, p2.z );

// convert to cv::Mat
R = ( Mat_<double> ( 3,3 ) <<
      R_ ( 0,0 ), R_ ( 0,1 ), R_ ( 0,2 ),
      R_ ( 1,0 ), R_ ( 1,1 ), R_ ( 1,2 ),
      R_ ( 2,0 ), R_ ( 2,1 ), R_ ( 2,2 )
    );
t = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << t_ ( 0,0 ), t_ ( 1,0 ), t_ ( 2,0 ) );

非线性优化方法

edge 为单元边,只关联一个相机位姿,给定两个点,计算误差:

virtual void computeError(){
    const g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<const g2o::VertexSE3Expmap*> ( _vertices[0] );
    // measurement is p, point is p'
    _error = _measurement - pose->estimate().map( _point );
}

观测量关于位姿的导数(雅可比矩阵):

_jacobianOplusXi(0,0) = 0;
_jacobianOplusXi(0,1) = -z;
_jacobianOplusXi(0,2) = y;
_jacobianOplusXi(0,3) = -1;
_jacobianOplusXi(0,4) = 0;
_jacobianOplusXi(0,5) = 0;

_jacobianOplusXi(1,0) = z;
_jacobianOplusXi(1,1) = 0;
_jacobianOplusXi(1,2) = -x;
_jacobianOplusXi(1,3) = 0;
_jacobianOplusXi(1,4) = -1;
_jacobianOplusXi(1,5) = 0;

_jacobianOplusXi(2,0) = -y;
_jacobianOplusXi(2,1) = x;
_jacobianOplusXi(2,2) = 0;
_jacobianOplusXi(2,3) = 0;
_jacobianOplusXi(2,4) = 0;
_jacobianOplusXi(2,5) = -1;

在 mian 中先找匹配,分别用 ICP 和 Bundle Adjustment 计算位姿:

Mat R, t;
pose_estimation_3d3d ( pts1, pts2, R, t );
cout<<"ICP via SVD results: "<<endl;
cout<<"R = "<<R<<endl;
cout<<"t = "<<t<<endl;
cout<<"R_inv = "<<R.t() <<endl;
cout<<"t_inv = "<<-R.t() *t<<endl;

cout<<"calling bundle adjustment"<<endl;

bundleAdjustment( pts1, pts2, R, t );

在 mian 中先找匹配,分别用 ICP 和 Bundle Adjustment 计算位姿:

Mat R, t;
pose_estimation_3d3d ( pts1, pts2, R, t );
cout<<"ICP via SVD results: "<<endl;
cout<<"R = "<<R<<endl;
cout<<"t = "<<t<<endl;
cout<<"R_inv = "<<R.t() <<endl;
cout<<"t_inv = "<<-R.t() *t<<endl;

cout<<"calling bundle adjustment"<<endl;

bundleAdjustment( pts1, pts2, R, t );