背包详解

背包问题是动态规划最基础的基础，这里本蒟蒻讲解一下几类背包问题。

01背包

题目

有n件物品和一个容量为v的背包，每种物品只有一个，放入第i件物品的费用是c_i，价值是w_i。

求将若干个物品装入背包得到的最大价值。（总费用不能超过总容量v）

解析

最基本的背包，每种物品只有一个，可放可不放。

很容易可以定义出状态f[i][j]表示前i件物品放入一个容量为j的背包的最大价值。

状态转移方程是f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][v-c_i]+w_i)(即不放与放)。

所以可以得到代码：

//f数组初值为0
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=0;j<c[i];j++)
        f[i][j]=f[i-1][j];
    for(int j=c[i];j<=v;j++)
        f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);            
}

---

很显然时间复杂度已将无法优化了，考虑优化空间复杂度。

第二维显然无法舍去，考虑舍去第一维。

定义状态f[j]表示原来的f[i][j]，舍去的i将在循环中体现。

f[i][j]是由f[i-1][j]与f[i-1][j-c_i]推导出的，所以我们需要保证f[j]也是由它们推导而出。

事实上，如果我们逆着做j循环，即j从v到0循环，计算f[j]时，f[j-c_i]的值就是f[i-1][j-c_i]的值。

所以我们可以将其优化成一维数组。

---

关于f数组初值的问题：

如果要求恰好装满背包，那么初始化时f[0]=0，其它均为负无穷，因为除了容量为0的背包可以在什么都不装时价格为0，其它容量的背包都不行（即不合法）。

如果没有要求恰好装满背包，那么初始化时f数组全部为0，因为任何容量的背包都可以不装任何物品价格为0。

code

//f数组初值为0
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=v;j>=c[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]

 

 

 

 

 

完全背包

题目

有n件物品和一个容量为v的背包，每种物品可以无限使用，放入第i件物品的费用是c_i，价值是w_i。

求将若干个物品装入背包得到的最大价值。

解析

完全背包和01背包非常相似，唯一的区别就是01背包每种物品只能用一次，而完全背包可以无限使用。

所以考虑将完全背包转化成01背包，仔细想想，01背包在j循环时逆推是为了保证f[i][j]是由f[i-1][v-c_i]推导而来，即每种物品只选一次。

而如果我们正推j循环，即从c_i到v，那么每种物品都可以无限选用，这不正是完全背包吗？

code

//f数组初值均为0
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=c[i];j<=v;j++)
        f[j]=max(f[j],f[v-c[i]]+w[i])

 

 

 

 

 

多重背包

题目

有n件物品和一个容量为v的背包，每种物品有m_i个，放入第i件物品的费用是c_i，价值是w_i。

求将若干个物品装入背包得到的最大价值。

解析

依旧转化成01背包求解，把第i种物品转换成m_i件只有1个的物品。

然后用求解01背包的方法来做即可。

code

int k=n;
for(int i=1;i<=n;i++)
    while(m[i]>1)
    {
          c[++k]=c[i];
          w[k]=w[i];
          m[i]--;
    }
//f数组初值均为0
for(int i=1;i<=k;i++)
    for(int j=v;j>=c[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i])

 

 

 

 

 

例题一：开心的金明

题目

【题目描述】

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过n元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的n元。

于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1−5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。

他希望在不超过n元（可以等于n元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[​j]，重要度为w[​j]，共选中了k件物品，编号依次为j1​,j2​,…,jk​，则所求的总和为：

v[​j1​]×w[​j1​]+v[​j2​]×w[​j2​]+…+v[​jk​]×w[​jk​]。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

【输入格式】

第一行，为2个正整数，用一个空格隔开：n m（其中n表示总钱数，m为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j−1的物品的基本数据，每行有2个非负整数v p（其中v表示该物品的价格v，p表示该物品的重要度(1−5)

【输出格式】

1个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)。

【输入样例】

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

【输出样例】

3900

【数据规模】

n<30000,m<25,v≤10000

解析

裸的01背包，只需要注意价值是价格乘上重要度，再套上模板就可以了。

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,m,v[99999],p[99999],f[99999],maxn;
int main()
{
    memset(f,0xcf,sizeof(f));
    f[0]=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        cin>>v[i]>>p[i];
        p[i]*=v[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=n;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+p[i]);
            maxn=max(maxn,f[j]);
        }
    cout<<maxn;
    return 0;
}

 

 

 

 

 

例题二：金明的预算方案

详见本蒟蒻的博客

 

 

 

 

 

注：参考书籍：《背包九讲》