BZOJ4011: [HNOI2015]落忆枫音(dp 乘法原理)

题意

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sol

非常妙的一道题

设\(inder[i]\)表示\(i\)号节点的度数

首先如果是个dag的话，可以考虑在每个点的入边中选一条边作为树形图上的边，这样\(ans = \prod_{i > 1} inder[i]\)

如果加入一条边的话，算答案的时候可能会把一些环的贡献也算进去(比如样例中\(2 - 4 - 3\))这个环

考虑减去环上的贡献，注意形成的环不止一个，准确的来说，如果加入了\(x -> y\)这条边，那么在原图中所有\(y -> x\)的路径都应该计算贡献

其中一条路径的贡献为\(\frac{ans}{s \in (y -> x) inder[s]}\)

dp一遍求出所有贡献即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int n, m, x, y, inder[maxn], inv[maxn], t[maxn], f[maxn];
vector<int> v[maxn];
void add(int &x, int y) {
    if(x + y < 0) x = x + y + mod;
    else x = (x + y >= mod ? x + y - mod : x + y);
}
int mul(int x, int y) {
    return 1ll * x * y % mod;
}
void topsort() {
    queue<int> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(!inder[i]) q.push(i); 
    while(!q.empty()) {
        int p = q.front(); q.pop(); f[p] = mul(f[p], inv[t[p]]); 
        for(int i = 0; i < v[p].size(); i++) {
            int to = v[p][i];
            add(f[to], f[p]); 
            if(!(--inder[to])) q.push(to);
        }
    }
}
int main() {
    n = read(); m = read(); x = read(); y = read();
    inv[1] = 1; for(int i = 2; i <= m + 1; i++) inv[i] = mul((mod - mod / i), inv[mod % i]); 
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x = read(), y = read();
        v[x].push_back(y); inder[y]++;
    }
    int ans = 1; inder[y]++; 
    for(int i = 2; i <= n; i++) ans = mul(ans, inder[i]); 
    if(y == 1) {cout << ans; return 0;}
    memcpy(t, inder, sizeof(inder));
    inder[y]--;
    f[y] = ans; topsort();
    cout << (ans - f[x] + mod) % mod;
    return 0;
}