智能指针和二叉树(3):图解查找和删除

在中我们详细介绍了使用智能指针构建二叉树并进行了层序遍历。

现在我们已经掌握了足够的前置知识，可以深入了解二叉搜索树的查找和删除了。

本文索引

二叉搜索树的查找

查找将分为两部分，最值查找和特定值查找。

本章中使用的二叉搜索树的结构和中的相同。

下面我们先来看看最值查找。

查找最小值和最大值

这是最简单的一种查找。

根据二叉搜索树的性质，左子树的值都比根节点小，右子树的值都比根节点大，且这一性质对根节点下任意的左子树或右子树都适用。

根据以上的性质，对于一棵二叉搜索树来说，最小的值的节点一定在左子树上，且是最左边的一个节点；同理最大值一定是右子树上最右边的那个节点，如图所示：

查找的算法也极为简单，只要不停递归搜索左子树/右子树，然后将左边或右边的叶子节点返回，这就是最小值/最大值：

nodetype binarytreenode::max()
{
    // 没有右子树时根节点就是最大的
    if (!right) {
        return shared_from_this();
    }

    auto child = right;
    while (child) {
        if (child->right) {
            child = child->right;
        } else {
            return child;
        }
    }

    return nullptr;
}

nodetype binarytreenode::min()
{
    // 没有左子树时根节点就是最小的
    if (!left) {
        return shared_from_this();
    }

    auto child = left;
    while (child) {
        if (child->left) {
            child = child->left;
        } else {
            return child;
        }
    }

    return nullptr;
}

这里我们用循环替代了递归，使用递归的实现将会更简洁，读者可以自己留作联系。

查找特定值

查找特定值的情况较最值要复杂一些，因为需要判断如下几种情况，假设我们查找的值是value：

1. value和当前节点的值相等，查找完成返回当前节点
2. value小于当前节点的值，继续所搜左子树，左子树的值都比当前节点小
3. value大于当前节点的值，继续所搜右子树，右子树的值都比当前节点大
4. 当前节点没有左/右子树而需要继续搜索子树时，查找失败value在树中不存在，返回nullptr。

这次我们决定采用递归实现，基于上述描述使用递归实现更简单，如果有兴趣的话也可以用循环实现，虽然两者在性能上的表现并不会相差太多（因为递归查找的次数只有log2(n)+1次，次数较少无法充分体现循环带来的性能优势）：

nodetype binarytreenode::search(int value)
{
    if (value == value_) {
        return shared_from_this();
    }

    // 继续向下搜索
    if (value < value_ && left) {
        return left->search(value);
    } else if (value > value_ && right) {
        return right->search(value);
    }

    // 未找到value
    return nullptr;
}

删除节点

查找算法虽然分了两部分，但和删除节点相比还是比较简单的。

通常我们删除一棵树的某个节点时，将其子节点转移给自己的parent即可，然而二叉搜索树需要自己的每一部分都遵守二叉树搜索树的性质，因此对于大部分情况来说直接将子节点交给parent将会导致二叉搜索树被破坏，所以我们需要对如下几个情况分类讨论：

1. 情况a：待删除节点没有任何子节点，此节点是叶子节点，这时可以直接删除它
2. 情况b：待删除节点只有左/右子树，这时直接删除节点，将子节点交给parent即可，不会影响二叉搜索树的性质
3. 情况c：待删除节点同时拥有左右子树，这时为了删除节点后仍是一棵二叉搜索树，有两个待选方案：

• 选择待删除节点的左子树的最大值，和待删除节点交换值，然后将这个左子树的最大节点删除，因为左子树的值都需要比根节点小，因此删除根节点时从左子树中找到最大值交换到根节点的位置，即可保证满足二叉搜索树的性质；接着对左子树最大节点做相同的分类讨论，最后经过交换后节点会满足前两种中的一种情况，这是删除这个节点，整个删除过程即可完成
• 原理同上一种，只不过我们选择了右子树中的最小值的节点

只有描述会比较抽象，因此每种情况我们来看图：

情况a：

红色虚线的部分即为待删除节点，这是直接删除即可。

情况b：

如图所示，当只存在一边的子树时，直接删除节点，将子节点交给parent即可。

情况c较为复杂，我们举例选择右子树最小值的情况，另一种情况是相似的：

图中黄色虚线部分就是“待删除节点”，加引号是因为我们并不真正删除它，而是先要把它的值和右子树的最小值也就是红色虚线部分交换：

交换后我们删除右子树的最小值节点，这是它满足情况a，因此直接被删除，删除后的树仍是一棵二叉搜索树：

这里解释下为什么需要交换，首先交换是把情况c尽量往情况a或b转化简化了问题，同时保证了二叉搜索树的性质；其次如果不进行交换，则需要大量移动节点，性能较差且实现极为复杂，因此我们才会选择交换节点值的做法。

我们的代码也会根据上述情况进行分类讨论，这次我们使用递归实现来简化代码，同样读者如果有兴趣可以研究下循环版本：

// 公开的接口，方便用户调用，具体实现在私有方法remove_node中
void binarytreenode::remove(int value)
{
    auto node = search(value);
    if (!node) {
        return;
    }

    node->remove_node();
}

// 删除节点的具体实现
void binarytreenode::remove_node()
{
    // parent是weak_ptr，需要检查是否可访问
    auto p{parent.lock()};
    if (!p) {
        return;
    }

    // 情况a，这时判断节点在parent的左侧还是右侧
    // 随后对正确的parent子节点赋值nullptr，当前节点会在函数返回后自动被释放
    if (!left && !right) {
        if (value_ > p->value_) {
            p->right = nullptr;
        } else {
            p->left = nullptr;
        }

        return;
    }

    // 情况c，选择和右子树最小值交换
    if (left && right) {
        auto target = right->min();
        target->remove_node();
        // 这里和图解有一点小小的不同
        // 删除target前改变了value_，会导致target被删除时无法正确确认自己是在parent的左侧还是右侧
        // 所以只能在target删除结束后再将值赋值给当前节点
        value_ = target->value_;
        return;
    }

    // 下面是情况b的两种可能的形式
    // 只存在左子树
    if (left) {
        if (value_ > p->value_) {
            p->right = left;
        } else {
            p->left = left;
        }
        left->parent = p;
        return;
    }

    // 只存在右子树
    if (right) {
        if (value_ > p->value_) {
            p->right = right;
        } else {
            p->left = right;
        }
        right->parent = p;
        return;
    }
}

进行分类讨论后代码实现起来也就没有那么复杂了。

测试

现在该测试上面的代码了：

int main()
{
    auto root = std::make_shared<binarytreenode>(3);
    root->insert(1);
    root->insert(0);
    root->insert(2);
    root->insert(5);
    root->insert(4);
    root->insert(6);
    root->insert(7);
    root->layer_print();
    std::cout << "max: " << root->max()->value_ << std::endl;
    std::cout << "min: " << root->min()->value_ << std::endl;
    root->remove(1);
    // 删除后是否还是二叉搜索树使用中序遍历即可得知
    std::cout << "after remove 1\n";
    root->ldr();
    root->insert(1);
    root->remove(5);
    std::cout << "after remove 5\n";
    root->ldr();
}

结果：

如图，二叉搜索树的中序遍历结果是一个有序的序列，两次元素的删除后中序遍历的结果都为有序序列，算法是正确的。