直纹面的简要介绍 以及matlab程序实现

一. 直纹面的定义

        直纹面是一类特殊的曲面，它可以由一族直线“织成”，即过曲线上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上。
        直纹面在几何造型中的应用非常广泛。直纹面是直线段在空间中沿某一定曲线运动所形成的轨迹. 定曲线称为准线，直线段称为母线。如下图：

        设准线为 h ( u ) h(u) h(u), 母线的方向向量为 l ( u ) l(u) l(u), 则直纹面的方程为：
       
P ( u , v ) = h ( u ) + v h ( u ) , P(u,v) = h(u) + vh(u), P(u,v)=h(u)+vh(u),
其中， u ∈ [ u 0 , u 1 ] , v ∈ [ v 0 , v 1 ] . u\in[u_0,u_1],v\in[v_0,v_1]. u∈[u0​,u1​],v∈[v0​,v1​].

       在实际应用中，直纹面还可以表示为
       
P ( u , v ) = ( 1 − v ) a ( u ) + v b ( u ) , P(u,v) = (1-v)a(u) + vb(u), P(u,v)=(1−v)a(u)+vb(u),
其中， u ∈ [ u 0 , u 1 ] , v ∈ [ 0 , 1 ] . u\in[u_0,u_1],v\in[0,1]. u∈[u0​,u1​],v∈[0,1]. 显然曲线 a ( u ) , b ( u ) a(u),b(u) a(u),b(u)为直纹面在 v = 0 , 1 v = 0,1 v=0,1时的两条边界曲线
       
       

       
       
       

二. matlab程序：

% 直纹面编程示例：
% 直纹面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; 
% 其中a(v)，b(v)在程序中分别取了两条bezier曲线
clear;
clc;
[U,V] = meshgrid(0:0.02:1,0:0.02:1);
%第一条bezier曲线  a(v)
rx=[0,1,2,3,4,7];
ry=[0,0,-3,5,6,6];                         %控制顶点(0,0),(1,0),(2,-3),...
M = 40;
hx = 1/M;                                    %将[0,1]区间M等分
x = V;
n=length(rx)-1;
Rx = 0;
Ry = 0;
for i = 1:n+1
    Rx = Rx + rx(i)*B(x,n,i-1) ;       %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线
    Ry = Ry + ry(i)*B(x,n,i-1) ;
end
figure(1)
plot(Rx,Ry,'r')                             %bezier曲线a(v)

%第二条bezier曲线  b(v)
px=[0,1,2,3,4,6];
py=[0,2,15,5,6,6];                       %控制顶点(0,0),(1,2),....
M = 40;
hx = 1/M;                                    %将[0,1]区间M等分
x = V;
n=length(px)-1;
PX = 0;
PY = 0;
for i = 1:n+1
    PX = PX + px(i)*B(x,n,i-1) ;       %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线
    PY = PY + py(i)*B(x,n,i-1) ;
end
figure(2)
plot(PX,PY,'b')                              %bezier曲线b(v)

%将两条边界bezier曲线带入直纹面方程
X = (1-U).*Rx + U.*PX;
Y = (1-U).*Ry + U.*PY ;
Z = (1-U).*2 + U.*(33) ;
%两种方式画图
figure(3)
surf(U,V,Y)
figure(5)
surf(X,Y,Z)
figure(4)
mesh(X,Y,Z)

              
       

三. 图像

1.第一条边界bezier曲线：

      
        
2. 第二条边界bezier曲线：

       
3. 最终生成的直纹面