cf888G. Xor-MST(Boruvka最小生成树 Trie树)

题意

题目链接

给出\(n\)点，每个点有一个点权\(a[i]\)，相邻两点之间的边权为\(a[i] \oplus a[j]\)，求最小生成树的值

sol

非常interesting的一道题，我做过两种这类题目，一种是直接打表找规律，另一种就像这种用boruvka算法加一些骚操作来搞。

首先，把所有元素扔到trie树里面，这样对于trie树上的每一层(对应元素中的每一位)共有两种情况:

1. 全为0或全为1

2. 一部分为0另一部分为1

对于第一种情况，我们无需考虑，因为任意点相邻产生的贡献都是0，对于第二种情况，需要找到一条最小的边来连接链各个集合，这可以在trie树上贪心实现

另外还有一个小trick，我们把元素从小到大排序，这样trie树上每个节点对应的区间就都是连续的

实现的时候可以从底往上update，也可以从上往下dfs

时间复杂度：\(o(nlognlog_{max(a_i)})\)

本来以为这题要写一年，结果写+调只用了1h不到？

#include<bits/stdc++.h>
#define pair pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10, b = 31, inf = 1e9 + 7;
inline ll read() {
    char c = getchar(); ll x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int n, a[maxn], l[maxn * 30], r[maxn * 30], ch[maxn * 30][2], tot = 0;
void insert(int val, int pos) {
    int now = 0;
    for(int i = b; ~i; i--) {
        int x = val >> i & 1;
        if(!ch[now][x]) ch[now][x] = ++tot, l[tot] = pos, r[tot] = pos;//???ʵ???֮?????λ 
        l[now] = min(l[now], pos); r[now] = max(r[now], pos);
        now = ch[now][x];
    }
}
int query(int val, int now, int nowbit) {
    ll ans = 1 << (nowbit + 1);
    for(int i = nowbit; ~i; i--) {
        int x = val >> i & 1;
        if(ch[now][x]) now = ch[now][x];
        else ans |= 1 << i, now = ch[now][x ^ 1];
    }
    return ans;
}
ll dfs(int x, int nowbit) {
    ll res = 0;
    if(nowbit == 0)
        return (ch[x][0] && ch[x][1]) ? (a[l[ch[x][0]]] ^ a[r[ch[x][1]]]) : 0;
    //if(nowbit == 0) return ;
    if(ch[x][0] && ch[x][1]) {
        int tmp = inf;
        for(int i = l[ch[x][0]]; i <= r[ch[x][0]]; i++) tmp = min(tmp, query(a[i], ch[x][1], nowbit - 1));
        res += tmp;
    }
    if(ch[x][0]) res += dfs(ch[x][0], nowbit - 1);
    if(ch[x][1]) res += dfs(ch[x][1], nowbit - 1);
    return res;
}
int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
    sort(a + 1, a + n + 1);
    l[0] = inf; r[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) insert(a[i], i);
    cout << dfs(0, b);
    return 0;
}