函数的表示跟人的自然的逻辑思维之间还是有差距

ArcTan是个奇葩函数，Reduce, Simplify不处理。

RegionPlot3D[Sqrt[x^2+y^2+z^2]<=2 
&&((0<ArcTan[z,Sqrt[x^2+y^2]]<\[Pi]&&(0<ArcTan[x,y]<\[Pi]||0<ArcTan[-x,-y]<\[Pi]/2))
||(0<ArcTan[-z,Sqrt[x^2+y^2]]<\[Pi]/2&&0<ArcTan[x,-y]<\[Pi]/2))
||(Sqrt[x^2+y^2+z^2]<=1),
{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},PlotPoints->200,Mesh->None,Boxed->False,Axes->False,PlotTheme->"Classic"]

RegionPlot3D[1<=Sqrt[x^2+y^2+z^2]<=2
&&((0<ArcTan[z,Sqrt[x^2+y^2]]<\[Pi]&&(0<ArcTan[x,y]<\[Pi]
||0<ArcTan[-x,-y]<\[Pi]/2))
||(0<ArcTan[-z,Sqrt[x^2+y^2]]<\[Pi]/2&&0<ArcTan[x,-y]<\[Pi]/2)),
{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},PlotPoints->160,Mesh->None,Boxed->False,Axes->False,PlotTheme->"Classic"]

Mathematica中绘制3D模型的函数，典型的，比较符合人们思维方式的是 RegionPlot3D。 3D模型可以转stl之类格式的起码有两类，一类是solid model， 一类surface model。

估计 RegionPlot3D 是为了 solid model 而生的。这使得它在绘图的时候虽然方便理解，但是存在诸多缺陷。尤其是棱角的地方，如果PlotPoints选项用默认、或者设定太小，就明显会出现视觉上的缺陷、直至根本不能用；如果设定太大，一般的电脑内存和CPU的情况下，累死也画不出来。

这里上面的例子简单，RegionPlot3D 都能搞定。最近发现，碰上稍微繁琐复杂的情况时，还是要考虑用Surface model，或者ContourPlot3D。这就涉及进一步的，如何把对体solid model的描述转化成对面surface model的描述。

这里有一个独立于built-in-function的很好的例子，让人看了非常开心。改用Surface model之后，大大提高了效率，改进了模型出图的视觉效果，简直是网友们智慧结晶的精品自定义函数。函数名字 contourRegionPlot3D,还是挺有意义的：

contourRegionPlot3D[region_,{x_,x0_,x1_},{y_,y0_,y1_},{z_,z0_,z1_},opts:OptionsPattern[]]
:=Module[{reg,preds},
reg=LogicalExpand[region&&x0<=x<=x1&&y0<=y<=y1&&z0<=z<=z1];
preds=Union@Cases[reg,_Greater|_GreaterEqual|_Less|_LessEqual,-1];
Show@Table[ContourPlot3D[Evaluate[Equal@@p],{x,x0,x1},{y,y0,y1},{z,z0,z1},
RegionFunction->Function@@{{x,y,z},Refine[reg,p]&&Refine[!reg,!p]},opts],
{p,preds}]]

放个例子：

contourRegionPlot3D[(x < 0 || y > 0 || z < 0) && 
  0.5 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 0.99, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}, Mesh -> None, BoundaryStyle -> None, PlotPoints -> 80,  Boxed -> False, Axes -> False, PlotTheme -> "Classic"]

以及

contourRegionPlot3D[-2x+2y-2z+Sqrt[2]>=0
&&-2x-2y-2z+Sqrt[2]>=0
&&2x-2y-2z+Sqrt[2]>=0
&&2x+2y-2z+Sqrt[2]>=0
&&2x+2y+2z+Sqrt[2]>=0
&&-2x+2y+2z+Sqrt[2]>=0
&&2x-2y+2z+Sqrt[2]>=0
&&-2x-2y+2z+Sqrt[2]>=0
&&(-(1/Sqrt[2])-x)^2+y^2+z^2>1/4
&&x^2+(1/Sqrt[2]-y)^2+z^2>1/4
&&x^2+y^2+(-(1/Sqrt[2])-z)^2>1/4
&&x^2+y^2+(1/Sqrt[2]-z)^2>1/4
&&x^2+(-(1/Sqrt[2])-y)^2+z^2>1/4
&&(1/Sqrt[2]-x)^2+y^2+z^2>1/4,
{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},
PlotPoints->80,Mesh->None,PlotTheme->"Classic",BoundaryStyle->None,Axes->False,Boxed->False]